Matematyka dla liceum/Zaczynamy

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Zbiory

Pojęcie zbioru[edytuj]

Zbiór jest jednym z podstawowych pojęć matematycznych. Pojęcia tego nie definiujemy – jest ono pojęciem pierwotnym. Czasami, zamiast „zbiór” możemy powiedzieć „rodzina”, „przestrzeń” czy „kolekcja”. Zbiór będziemy intuicyjnie rozumieć jako pewną całość złożoną z wielu obiektów, które będziemy nazywać elementami tego zbioru. Jeszcze bardziej obrazowo, zbiór można przedstawić jako worek, wypełniony przedmiotami, które są elementami zbioru.

Popatrzmy na przykłady:

  • zbiór ciastek,
  • zbiór liczb całkowitych nieparzystych,
  • zbiór uczniów w klasie.

Wyobraźmy sobie, że trzymamy w ręce cztery cukierki – jeden o smaku cytrynowym, drugi o smaku truskawkowym, trzeci o smaku jabłkowym, a czwarty o smaku waniliowym. Zbiory są oznaczane zazwyczaj wielkimi literami alfabetu, np. A, B, C, D. Możemy nasz zbiór cukierków nazwać literą C (oczywiście, od słowa „cukierki”).

Element (przedmiot), który należy do pewnego zbioru, najczęściej oznaczamy małą literą, np. x, y, z. W związku z tym, oznaczmy cukierek cytrynowy jako c, truskawkowy jako t, jabłkowy jako j, a waniliowy jako w.

Jeśli element a należy do zbioru A, zapisujemy to i czytamy „element a należy do zbioru A”. Możemy zapisać, używając naszych oznaczeń, że cukierek truskawkowy t należy do naszego zbioru cukierków C jako .

Podobnie, aby zaznaczyć, że dany element nie należy do zbioru, użyjemy zapisu -czyli a nie należy do zbioru A. Ponieważ nie posiadamy cukierka pomarańczowego p, cukierek p nie należy do naszego zbioru cukierków C, co zapiszemy: .

Aby oznaczyć, że wymieniane elementy tworzą razem zbiór (lub odwrotnie, że zbiór składa się z danych elementów), umieszczamy je w nawiasach klamrowych. Nasz zbiór C składa się z cukierka cytrynowego c, truskawkowego t, jabłkowego j i waniliowego w, więc możemy zapisać .

Liczbę elementów zbioru A oznaczamy i nazywamy mocą zbioru A. W przykładzie z cukierkami powiemy, że moc zbioru cukierków C wynosi 4, co zapiszemy .

Ze względu na liczbę elementów w zbiorze, wyróżniamy zbiory skończone, np. nasz zbiór cukierków, oraz zbiory nieskończone, np. zbiór liczb rzeczywistych.

Szczególnym przypadkiem zbioru jest zbiór pusty, do którego nie należy żaden element. Oznaczamy go lub .

Zbiory liczb[edytuj]

Wyróżniamy pewne zbiory liczb, które odgrywają istotną rolę w matematyce; do najważniejszych zaliczamy:

  • zbiór liczb naturalnych,
  • zbiór liczb całkowitych,
  • zbiór liczb wymiernych,
  • zbiór liczb niewymiernych,
  • zbiór liczb rzeczywistych.

Przyjrzymy się teraz pokrótce każdemu z nich. Przedstawionych niżej opisów nie można traktować jako definicji tych zbiorów, ale raczej jako luźne wytłumaczenie tych pojęć, które może zawierać pewne nieścisłości.

Zbiór liczb naturalnych[edytuj]

Liczba naturalna to każda z liczb, do której możemy doliczyć, startując od 0 (co może trwać bardzo długo...). Zbiór liczb naturalnych jest więc zbiorem wszystkich takich liczb. Liczbą naturalną jest więc 4, 1001 i 100000000000. Liczbą naturalną nie jest natomiast -5 ani 2,5, ani też π.

W matematyce zbiór liczb naturalnych jest z reguły oznaczany przez . Ponieważ początkowe liczby naturalne to 0, 1, 2, 3 itd., zbiór liczb naturalnych jest to

.

Należy dodać, że czasami przyjmuje się, że 0 nie należy do naturalnych. Dla jednoznaczności niektórzy autorzy stosują wówczas symbol :

.

Zbiór liczb całkowitych[edytuj]

Co to znaczy, że liczba jest całkowita? Liczba całkowita, to liczba postaci -1, -5, 1000, czyli liczby całkowite różnią się od naturalnych tym, że mogą być ujemne. Liczbą całkowitą znowu nie będzie π, jako że π = 3,14..., więc ma jakąś niezerową część ułamkową.

Zbiór liczb całkowitych będziemy oznaczać przez . Widzimy, że

.
  • Ciekawostka
    Mała dygresja dla bardziej spostrzegawczych. Niektórzy może zarzucą, dlaczego , a nie . To prawda, że w wielu podręcznikach szkolnych używa się literki C do oznaczania zbioru liczb całkowitych, jednak w rzeczywistości, większość podręczników dotyczących matematyki zawiera oznaczenie . Są to jednocześnie oznaczenia międzynarodowe, ponadto, używane są na uczelniach wyższych. Z podobnych względów oznaczymy zbiór liczb wymiernych literką .

Zbiór liczb wymiernych[edytuj]

Liczba wymierna to taka liczba, którą można zapisać w postaci ułamka zwykłego, gdzie licznik i mianownik będą liczbami całkowitymi przy czym mianownik będzie różny od zera. Liczbami wymiernymi będą: 1, 2, , , czy też 2,7563. Czy będzie nią liczba π? Okazuje się, że nie - ponieważ liczba π jest na tyle skomplikowana, że nie da się jej zapisać w postaci ułamka zwykłego.

Zbiór liczb wymiernych w matematyce oznaczamy przez .

Zbiór liczb rzeczywistych[edytuj]

Jest to "uniwersalny worek", ponieważ wszystkie liczby (których będziemy używać w liceum) są liczbami rzeczywistymi. Wszystkie zbiory liczb, opisane wyżej, możemy do tego "worka" włożyć. Tak więc.. przykładem może być każda liczba, jaka przyjdzie do głowy.

Czym charakteryzują się liczby rzeczywiste? Otóż posiadają one w zapisie dziesiętnym cyfry od 0 do 9, mogą posiadać znak minus i część ułamkową po przecinku, ale nic więcej. Można by zapytać: jaka liczba nie spełnia tych warunków? Istnieje, na przykład, pewien zbiór (jest on jednakże w programie uczelni wyższych) liczb zespolonych [1] (oznaczenie: ).

Zbiór liczb rzeczywistych oznaczamy przez .

Zbiór liczb niewymiernych[edytuj]

Jest to dopełnienie zbioru liczb wymiernych. Oznacza to, że każda liczba rzeczywista, która nie jest liczbą wymierną, jest liczbą niewymierną (i żadna inna). Są to wszystkie liczby rzeczywiste, których nie można zapisać w postaci ułamka zwykłego, gdzie licznik i mianownikliczbami całkowitymi. Tu też znajdzie się liczba π i pierwiastki takie jak np. pierwiastek z trzech czy pięciu, ale nie z czterech, gdyż wynosi on 2. Z kolei, nie będą już liczbami niewymiernymi:1, 2, , (do niewymiernych należą te liczby rzeczywiste, które nie są wymiernymi).

Zbiór liczb niewymiernych będziemy oznaczać przez (co można tłumaczyć jako "zbiór liczb rzeczywistych bez liczb wymiernych ", symbol oznacza różnicę zbiorów).

Zbiory - więcej[edytuj]


  1. Więcej o liczbach zespolonych można znaleźć np. na Wikipedii.


Działania arytmetyczne

Potęgi i pierwiastki[edytuj]

Potęga o wykładniku całkowitym[edytuj]

Zacznijmy od prostego przypadku, gdy wykładnik jest liczbą naturalną.

Definicja
DEFINICJA

Potęgą o podstawie a i wykładniku naturalnym n nazywamy liczbę

Pamiętajmy o tym, że nie ma sensu liczbowego.[1]

Powyższa definicja to tylko teoria, sprawdźmy co oznacza ona w praktyce:

Powinniśmy to pamiętać z wcześniejszych klas.

Co wtedy, gdy wykładnik jest liczbą całkowitą mniejszą od zera? Skorzystamy z poniższej definicji.

Definicja
DEFINICJA

Potęgą o podstawie a różnej od zera i wykładniku całkowitym ujemnym (-n) nazywamy odwrotność potęgi :

.

Zatem jeśli wykładnik jest ujemny, to aby zmienić go na dodatni, musimy odwrócić daną liczbę, na przykład:

Dla potęg całkowitych zachodzą poniższe własności:

Twierdzenie
TWIERDZENIE

Jeśli m i n są liczbami całkowitymi, a i b liczbami rzeczywistymi różnymi od 0, to:

Powyższe własności można wykorzystać, aby obliczyć:




Pierwiastkowanie[edytuj]

Spójrzmy na definicję:

Definicja
DEFINICJA

Pierwiastek arytmetyczny n-tego stopnia z liczby nieujemnej a i oznaczany przez to liczba , która spełnia zależność .

W liczba a jest nazywana liczbą podpierwiastkową.

Definicja może wydawać się dziwna, ale powinniśmy przede wszystkim zapamiętać, że:

  • jeśli , to np. , ponieważ ;
  • ani a, ani b nie jest liczbą ujemną, np. nie wiemy, co oznacza ;
  • n jest liczbą całkowitą, większą bądź równą 2, np. , , , itd.

Jeśli widzimy pierwiastek, to szukamy takiej nieujemnej liczby b, aby , czyli:

, ponieważ ,
, ponieważ ,
, ponieważ .

Zauważmy, że pierwiastek drugiego stopnia zapisujemy jako zamiast .

Powyższa definicja jest niekiedy uogólniana dla pierwiastków nieparzystego stopnia, gdy a jest ujemne:

dla a nieujemnego i nieparzystego n

Na przykład:

,
,
.

W tym podręczniku będziemy korzystać z tego uogólnienia.

Stosowany tutaj symbol pierwiastka arytmetycznego został przyjęty w definicji pierwiastka arytmetycznego dla liczb nieujemnych, co może prowadzić do niejednoznaczności i błędów.

W Niemczech i wielu innych krajach uogólnienie to jest niedopuszczalne.

Twierdzenie
TWIERDZENIE

Jeśli n i m są liczbami naturalnymi większymi od 1, oraz a i b są nieujemnymi liczbami rzeczywistymi, to:

  • ,
  • ,
  • ,
  • .

Zobaczmy, jak te własności możemy wykorzystać w praktyce:

  • ,
  • ,
  • ,
  • .

Oczywiście powyższe przykłady można zrobić na wiele sposobów.

Zauważmy, że dla n parzystego i zachodzą poniższe własności:

  • , ale
  • .

Jednak nie są one spełnione dla n nieparzystego.

Dla n nieparzystego i dowolnego zachodzi[2]:

Zobaczmy na przykłady:

, ale także , ponieważ ;
, ale ;
, a także ();
, ale .

Potęga o wykładniku wymiernym[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Potęgę o podstawie i wykładniku określamy wzorem:

Popatrzmy na kilka przykładów:

  • ,
  • ,
  • .

Nie wiemy, co oznacza , czy też . Co prawda , ale wartość pozostawimy niezdefiniowaną.

Definicja
DEFINICJA

Potęgę o podstawie i wykładniku wymiernym określamy wzorem:

I znowu popatrzmy na kilka przykładów:

  • ,

Dla potęg zachodzą poniższe własności:

Twierdzenie
TWIERDZENIE

Jeśli m i n są liczbami rzeczywistymi, a i b liczbami rzeczywistymi większymi od 0, to:

  • ,
  • ,
  • ,
  • ,
  • .

Powyższe prawa możemy wykorzystać, aby policzyć na przykład:

  • ,
  • ,
  • .

Działania na liczbach rzeczywistych[edytuj]

Kolejność wykonywania działań[edytuj]

Kolejność wykonywania działań jest nastepująca:

  1. potęgowanie lub pierwiastkowanie,
  2. mnożenie lub dzielenie (w zależności od kolejności),
  3. dodawanie lub odejmowanie (kolejność także ważna).

Oczywiście jeśli gdziekolwiek występują nawiasy, to najpierw wykonujemy działania w nich zawarte. Przypomnijmy to sobie na kilku przykładach.

Przykład 1.

Ze względu na nieobecność potęg przechodzimy od razu do mnożenia i dzielenia wykonując je w takiej kolejności, jakiej są zapisane – zaraz przed mnożeniem mamy dzielenie, więc wykonujemy je najpierw:
.
Teraz zostało tylko dodawanie i odejmowanie, więc dodajemy i odejmujemy zgodnie z kolejnością (od lewej do prawej):
.

Przykład 2.

Najpierw potęgowanie i pierwiastkowanie:
.
Aby obliczyć pierwiastek musimy najpierw obliczyć wartość pod nim:
najpierw dzielenie i mnożenie pod pierwiastkiem (bo już nie ma pod nim potęg):
,
następnie dodawanie i odejmowanie pod pierwiastkiem:
i w końcu wyciągamy pierwiastek:
.
Następne na liście jest mnożenie i dzielenie, które nas nie dotyczy, pozostaje więc dodawanie i odejmowanie:

Dwa poniższe przykłady rozwiążemy nieco szybciej.

Przykład 3.

Przykład 4.

Wzory skróconego mnożenia[edytuj]

Poznajmy lub przypomnijmy sobie ważniejsze wzory skróconego mnożenia:

  • (kwadrat sumy),
  • (kwadrat różnicy),
  • (różnica kwadratów),
  • (sześcian sumy),
  • (sześcian różnicy),
  • (suma sześcianów),
  • (różnica sześcianów).

Możemy je wykorzystać np. do obliczenia:

  • ,
  • ,
  • ,

choć jak widać metoda ta nie należy do najszybszych, zatem nazwa „wzorów skróconego mnożenia” wydaje się być nieuzasadniona. Spójrzmy jednak na następujący problem:

.

Obliczenie powyższej wielkości mogłoby być trochę nużące, jednak gdy zauważymy, że jest to po prostu jeden ze wzorów skróconego, to zadanie wyda się proste:

.

Oczywiście po nieco żmudnych i nudnych obliczeniach otrzymamy to samo.

Różne prawa działań[edytuj]

Pierwszym prawem, którym się pokrótce zajmiemy będzie prawo przemienności:

Czyli np. , podobnie też . Jednak prawo przemienności nie zachodzi dla odejmowania i dzielenia, ponieważ czy też .

Jednakże dla odejmowania spełnione jest następujące prawo:

Kolejnym prawem będzie prawo łączności, które zachodzi dla dodawania i mnożenia:

  • ,
  • ,

czyli na przykład:

, ponieważ
, a także
.

Podobnie dla mnożenia:

, ponieważ
i .

Prawo łączności nie sprawdza się w przypadku odejmowania i dzielenia. Zobaczymy to na dwóch przykładach:

  • , dosyć duża różnica.
  • , różnica jeszcze większa.

Innym prawem jest prawo redukcji (skreśleń):

  • jeśli , to (skreśliliśmy c),
  • jeśli i , to (także skreśliliśmy c)

Przykłady:

  • Jeśli , to .
  • Jeśli , to .

Kolejnymi prawami są prawa rozdzielności opisane niżej:

  • prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania:
  • prawo rozdzielności mnożenia względem odejmowania:
  • prawo rozdzielności dzielenia względem dodawania:
  • prawo rozdzielności dzielenia względem odejmowania:

Zobaczmy na kilka przykładów:

,
podobnie:
,
a także:

Ważną obserwacją jest na przykład:

,
,
.

Ze względu na tę własność, mianowicie , liczba 0 jest nazywana elementem neutralnym dodawania. Niezależnie jaką liczbę byśmy dodali do 0, to i tak byśmy otrzymali tę samą liczbę.

Podobnie w przypadku mnożenia liczba 1 jest elementem neutralnym mnożenia, ponieważ np.

,
,
.

Czy liczba 1 jest neutralna względem dzielenia? Nie. Co prawda zachodzi , jednak , np. . Dla elementu neutralnego dane działanie musi być przemienne.

Nie wszystkie działania posiadają element neutralny, przykładami są wspomniane wyżej odejmowanie i dzielenie.

Dla każdej liczby rzeczywistej a istnieje dokładniej jedna liczba przeciwna (-a), która spełnia warunek:

.

Na przykład liczbą przeciwną do 7 jest -7, do -1000 jest 1000, a do 0 jest też 0.

Dla każdej liczby rzeczywistej a różnej od 0 istnieje dokładnie jedna liczba odwrotna spełniająca warunek:

.

Liczbą odwrotną do 2 będzie , do -10 będzie , do będzie , a do będzie .

Na koniec przedstawimy ważną własność mnożenia, otóż iloczyn liczb rzeczywistych jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy 0:

wtedy i tylko wtedy, gdy ,

np. jedynie wtedy, gdy .

Podrozdział ten stanowił powtórzenie z poprzednich lat nauki. Teraz przypominamy sobie, jak rozwiązywać proste równania i nierówności.


Przypisy


  1. W niektórych zastosowaniach wygodnie jest przyjąć, że także (zob. np. argumenty w Wikipedii), jednak nie jest to umowa przyjmowana powszechnie.
  2. Korzystamy z uogólnionej wersji pierwiastka arytmetycznego, który jest zdefiniowany także dla a ujemnego.


Rozwiązywanie równań i nierówności

Równania[edytuj]

Pewnie pamiętasz, czym jest równanie. Równanie jest to większe wyrażenie składające się z mniejszych wyrażeń połączonych znakiem równości. Najprostsze równanie wygląda mniej więcej tak:

wyrażenie po lewej = wyrażenie po prawej

Lewa strona równania często jest oznaczana przez L, a prawa przez P.

W równaniu z reguły występują jakieś niewiadome oznaczone najczęściej małymi literami.

Przykładami równania mogą być:

  • ,
  • ,
  • ,
  • ,
  • .

Gdy zadanie zawiera polecenie „rozwiąż równanie”, oznacza to, że musimy znaleźć taką liczbę, która podstawiona do równania zamiast pewnej zmiennej (czyli niewiadomej) x, f, czy np. a spełni je, tzn. po lewej i po prawej stronie będziemy mieli te same wartości.

Dla równania jego rozwiązaniem będzie x równy 1, co wydaje się zresztą oczywiste. Gdy zamiast x podstawimy 1 otrzymamy:

,

rzeczywiście obydwie strony równania są sobie równe.

Rozwiązaniem tego równania nie będzie np. . Dlaczego? Podstawmy zamiast x liczbę 3:

,

widać, że coś nie pasuje! Przecież trzy nigdy nie będzie równe jeden: jeśli mamy jedno jajko, to nie zrobimy jajecznicy z trzech jaj.

A następny przykład, ? Ktoś spostrzegawczy mógłby od razu zauważyć, że gdy zamiast t damy 1, otrzymamy:

zatem będzie rozwiązaniem tego równania.

Podobnie dla równania rozwiązaniem będzie lub , ponieważ:

i jest wszystko się zgadza.

Rozwiązaniem nie będzie , ponieważ:

i teraz nic nie pasuje.

Tak naprawdę powinniśmy unikać zapisu typu , bo znak równości powinna oznaczać spełnioną równość, a tu przecież ona nie zachodzi. Możemy co najwyżej zapisać (4 nie jest równe -1). W takim razie jak to ładniej zapisać?

Zacznijmy od początku. Mamy równanie i chcemy pokazać, że nie jest rozwiązaniem. Rozbijamy to równanie na dwie części, na wyrażenie po lewej i wyrażenie po prawej, co zapisujemy następująco:

,
.

Jeśli , to:

,

ale

,

a więc:

.

Równanie nie jest spełnione, zatem nie jest rozwiązaniem tego równania.

Gdyby zaszła równość , to równanie zostałoby spełnione przez , a zatem 3 byłoby rozwiązaniem tego równania.

Nie powinniśmy jednak rozwiązywać równań w tak „brutalny” sposób (tzw. metoda brute force). Zdarza się, że równania mają często więcej niż jedno rozwiązanie, a strzelając, możemy po prostu niektóre pominąć.

Przekształcanie równań[edytuj]

Aby ładnie [1], a przede wszystkim poprawnie rozwiązać równanie, powinniśmy je upraszczać przekształcając je krok po kroku do prostszych, ale mu równoważnych równań.

W jaki sposób należy przekształcać równanie? Skorzystamy z faktu, że rozwiązania równania nie ulegną zmianie, gdy:

  1. dodamy (lub odejmiemy) z obu stron równania pewną wartość,
  2. wymnożymy (lub podzielimy) obie strony równania przez dowolną stałą różną od zera.

Gdy mamy równanie, np. , to liczbę 5 możemy przenieść na prawą stronę równania zmieniając znak na przeciwny, otrzymujemy:

, czyli

i doszliśmy do rozwiązania. Zauważmy, że przeniesienie 5 na przeciwną stronę równania jest równoważne dodaniu do obydwu stron równania -5, dlatego też podczas tej operacji należy zmienić znak na przeciwny:

.

Zapamiętajmy, że przenosząc pewną liczbę z jednej strony na drugą musimy zmienić znak na przeciwny. Zobaczmy na trzy kolejne przykłady:

  • jeśli , to ,
  • jeśli , to ,
  • jeśli , to .

Jeśli równanie chcemy wymnożyć lub podzielić przez pewną liczbę, wówczas najlepiej o tym poinformować wstawiając „/⋅ ...” lub „/: ...”, na przykład:

  • - obustronnie mnożymy przez 2
  • - obustronnie dzielimy przez 3
  • - obustronnie mnożymy przez .

To koniec teorii. Przejdźmy do praktyki. Rozwiążmy cztery prościutkie równania:

  • (1)
  • (2)
  • (3)
  • (4)

Idziemy po kolei. Zacznijmy od (1):

- obustronnie dzielimy przez 2
, które jest poszukiwanym rozwiązaniem.

Przejdźmy do drugiego przykładu:

Teraz zrobimy (3):

Pozostał ostatni przykład:

I to już wszystko na temat równań. Przejdźmy teraz do nierówności.

Nierówność liniowa z jedną niewiadomą[edytuj]

Mamy do rozwiązania następujące problemy:

  • 2x > 3 (1)
  • 5x - 2 < 2 (2)
  • (3)
  • (4)

Jednak na początek trochę teorii.

Nierówności przekształcamy w prawie taki sam sposób jak równania, z jednym wyjątkiem: jeśli obustronnie mnożymy (lub dzielimy) przez liczbę ujemną, musimy zmienić znak na przeciwny, na przykład:

dla będziemy mieli:
(nie zmieniamy znaku na przeciwny, 2 nie jest ujemne)
ale dla będzie:
(musimy zmienić znak na przeciwny, -2 jest ujemne)

Przejdźmy do rzeczy, czyli rozwiążmy powyższe przykłady.

Zaczniemy od (1):

Rozwiążmy teraz nierówność (2):

Teraz możemy przejść do kolejnego przykładu (3):

I został ostatni przykład (4):

Przypisy


  1. zdaniem niektórych


Podsumowanie

Zbiory 
Zbiór jest pojęciem pierwotnym, którego nie definiujemy. Słowo zbiór rozumiemy jako pewną mnogość, zestaw, np. zbiór ciastek, zbiór liczb, zbiór uczniów w klasie.
Przyjęto oznaczać zbiory za pomocą wielkich liter, np. A, B, czy też X, natomiast elementy zbioru za pomocą małych, np. a, b, x.
element a należy do zbioru A,
b nie należy do B,
wypisanie elementów zbioru C,
ilość elementów zbioru, czyli jego moc.
Zbiory liczb
zbiór liczb naturalnych (nie zawiera ułamków i liczb ujemnych)
zbiór liczb całkowitych (nie zawiera ułamków), szkolny zapis: C
zbiór liczb wymiernych (nie zawiera liczb, których nie da się zapisać jako ułamek lub liczbę całkowitą), szkolny zapis: W
zbiór liczb rzeczywistych, inaczej zbiór (niemal) wszystkich liczb (suma zbiorów liczb wymiernych i niewymiernych)
zbiór pusty.


Potęga 
Potęga o wykładniku naturalnym n:
,
przy czym .
Liczba nie ma sensu liczbowego.
Pierwiastek 
Jeśli , to
dla nieparzystych n lub dla n parzystych ( to wartość bezwzględna liczby).
Kolejność wykonywania działań 
  1. potęgowanie lub pierwiastkowanie
  2. mnożenie lub dzielenie (wg kolejności zapisu)
  3. dodawanie lub odejmowanie (kolejność także ważna)
Wzory skróconego mnożenia 
  • (kwadrat sumy)
  • (kwadrat różnicy)
  • (różnica kwadratów)
  • (sześcian sumy)
  • (sześcian różnicy)
  • (suma sześcianów)
  • (różnica sześcianów)
Przekształcanie równań i nierówności 
  • Do każdego równania możemy dodać lub odjąć obustronnie dowolną liczbę.
  • Przy przenoszeniu pewnej zmiennej lub liczby z jednej na drugą stronę równania/nierówności należy zmienić znak na przeciwny.
  • Każde równanie i nierówność można obustronnie wymnożyć przez liczbę różną od 0, jednak przy wymnażaniu nierówności przez liczbę ujemną należy zmienić znak nierówności na przeciwny.


Ćwiczenia

Podstawy[edytuj]

3. Co może stanowić zbiór, a co element zbioru?

a) książki do geografii e) bułka słodka i) głośnik
b) zwierzęta f) Jacek, Bolek i Agata j) zielone marchewki
c) kangur g) litera k) poziomka
d) kredki h) wszystkie zbiory l) zeszyty szkolne

4. Wypisz nieujemne elementy zbioru:

a) liczb naturalnych, mniejszych od 10 c)
b) liczb całkowitych mniejszych od 97 i podzielnych przez 5 d) liczb niedodatnich

5. Wyznacz moc zbioru:

a) d) g)
b) e) h)
c) f) i)

6. Czy do zbioru A należy element a?

a) , e) ,
b) , f) ,
c) , g) ,
d) , h) ,

7. Pokaż, że dowolny niepusty podzbiór liczb naturalnych posiada element najmniejszy.

Ćwiczenia domowe[edytuj]

8. Która z poniższych liczb jest naturalna, całkowita, wymierna, a która niewymierna?

a) e) i)
b) f) j)
c) g) k)
d) h) l)

9. Rozwiąż równania:

a) d)
b) e)
c) f)

10. Rozwiąż nierówności:

a) d)
b) e)
c) f)

11. Oblicz:

a) j)
b) k)
c) l)
d) m)
e) n)
f) o)
g) p)
h) q)
i) r)

Ćwiczenia na myślenie[edytuj]

12. Wypiszmy wszystkie podzbiory zbioru :

  • , zbiór pusty jest podzbiorem każdego zbioru
a) Wypisz wszystkie podzbiory zbioru:
b) Ile różnych podzbiorów ma zbiór:
  • 4-elementowy
  • 5-elementowy
  • 10-elementowy
  • n-elementowy

13. Pokaż, że:

a) jeśli liczba p i q jest wymierna (), to liczba p + q także jest wymierna (czyli ).
b) jeśli liczba p jest wymierna () i q jest niewymierna (), to liczba p + q jest niewymierna ().
c) oznaczmy przez zbiór dodatnich liczb wymiernych; jeśli liczba , i , to .

Ćwiczenia dodatkowe[edytuj]

14. Niektóre zbiory mają tę samą moc, tzn. mają taką samą liczbę elementów, np. zbiór ma taką samą liczbę elementów co . Zbiory są równoliczne (są tej samej mocy), gdy istnieje między nimi funkcja wzajemnie jednoznaczna. Pokaż, że:

a) zbiory i są równoliczne
b) zbiory i mają taką samą liczbę elementów
c) zbiory i są równoliczne
d) zbiór jest równoliczny z