Matematyka dla szkoły podstawowej/Śladami odkrywców

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Witam W Podręczniku dla Szkoły Podstawowej - Matematyka[edytuj]

Śladami Odkrywców , tutaj poznasz trochę Historii związanej z matematyką.

Jak podają osoby które zajmują się matematyką, matematyka rozwijała się w różnych częściach świata odrębnie i nierównomiernie. Jeśli przyjąć, że początkiem matematyki jest już pojawienie się myślenia matematycznego oraz zalążków pojęć leżących u podstaw tej nauki, to można uznać, że na terenie obecnej Europy dzieje matematyki rozpoczęły się już, być może, pod koniec epoki lodowcowej. 

Natomiast pojęcie liczby kształtowało się bardzo powoli. Jeszcze dziś istnieją języki, w których używa się tylko nazw liczb 1 i 2. Dużą rolę odegrały naturalne zworce, np. dłoń z pięcioma palcami. Jednakże umiejąc nazwać tylko liczby do 10 czy też do 20, niewiele można było w rachunkach osiągnąć. Pojęcie i nazwy większych liczb całkowitych dodatnich mogły się pojawić dopiero dzięki doniosłemu pomysłowi wiązania jednostek w grupy, traktowanych znów jako jednostki, lecz już wyższego rzędu, a tych z kolei - w jednostki rzędu jeszcze wyższego, podobnie jak drobne towary sprzedaje się na wiązki, pęczki, tuziny, kopy. I tak właśnie w różnych czasach i miejscach powstawały systemy liczbowe: dwudziestkowy - przez łączenie w grupy po 20, sześćdziesiątkowy i dziesiątkowy. Istnienie dziesiątkowego systemu liczbowego w krajach śródziemnomorskich poświadczają najstarsze znane dokumenty handlowe z III, a nawet z IV tysiąclecia p.n.e. Można mieć wątpliwość, czy była to już matematyka, ale wydaje się bezsporne, że bez elementarnej arytmetyki matematyka nie mogłaby osiągnąć swego obecnego kształtu, chociaż wiele jej ważnych działów obywa się dziś bez liczb. Zawiązków matematyki dopatrują się niektórzy historycy tej nauki już w geometrycznym zdobnictwie wyrobów człowieka z późnej epoki lodowcowej. Pomijając najdalej idące domysły, można jednak uznać sztukę prehistoryczną za świadectwo zainteresowań kształtem figur, symetrią i rytmem układów liniowych i dwuwymiarowych. Przedhistoryczne wykopaliska etruskie i celtyckie, pochodzące z epoki brązu, zawierają powtarzający się motyw foremnego dwunastościanu lub półforemnego sześcio-ośmiościanu (sześcian o narożach ściętych ścianami ośmiościanu). Odkrycie tych pięknych brył wyprzedza więc o wiele wieków pitagorejską teorię wielościanów foremnych i archimedesową - półforemnych.

Matematyka dawnego Egiptu.Tekst pochyłą czcionką

Informacje o matematyce dawnego Egiptu zostały zaczerpnięte głównie z dwu zwojów papirusu o łącznej powierzchni ok. 2m2, z paru drobnych fragmentów pism o treści matematycznej, nie licząc wniosków ze studnium nad zabytkami staroegipskiej architektury i sztuki zdobniczej. Zachowane teksty matematyczne zawiązują do stanu tej nauki w Egipcie w epoce Średniego Państwa, a więc bez mała 4 tys. lat temu. Treść nie przypomina dzisiejszych traktatów matematycznych czy nawet podręczników. Są to raczej zbiory zadań, wziętych przeważnie z praktyki, z rozwiązaniami, lecz bez ich uzasadnienia na konkretnych liczbach. Ze źródeł tych wynika, że Egipcjanie już wtedy umieli zapisywać liczby całkowite dodatnie, aż do dziesiątek milionów, oraz ich odwrotności, ułamki proste o liczniku 1, do których wliczano i 2/3. """ Matematyka Sumerów i Babilończyków.""" Ulepszone przez semickich Akadów pismo sumerskie, używane ok 4 tys. lat temu, zawierało tylko dwa podstawowe znaki cyfrowe: pojedyncze kliny ostre i kliny rozwarte. Klin ostry oznaczał liczbę 1, a powtarzając do w grupach aż do dziewięciu otrzymywało się odpowiedniki obecnych cyfr od 2 do 9; klin rozwarty oznaczał 10 i jego powtórzenia dawały liczby 20, 30, 40, 50, ale 60 oznaczano znowu linem ostrym, który w zależności od pozycji w zapisie liczby mógł oznaczać także 3600, 216000, ... lub 1/60, 1/3600, ... Podobnie i klin rozwarty mógł oznaczać liczbę 10 pomnożoną lub podzieloną przez jakąkolwiek potęgę liczby 60. I tak np. 7 klinów ostrych, 3 rozwarte i 9 ostrych mogło oznaczać 7*60+3*10+9, ale także 7*3600+3/6+9/216000, nie było bowiem znaku oddzielającego część całkowitą liczby od części ułamkowej oraz znaku zera, który został wprowadzony dopiero w czasach hellenizmu. Mimo tej niedoskonałości systemu liczbowego, Babilończycy rachowali podobnie jak my, w systemie dziesiątkowym, nie wychodząc jednak poza liczby wymierne postaci n/60k, n i k - naturalne.

Matematyka w czasach greckich i hellenistycznych.

Wielkie ożywienie w dziejach matematyki nastąpiło wraz z rozwojem matematyki w Grecji i greckich koloniach wokół Morza Śródziemnego. Mądrość kapłanów i urzędników staroegipskich i babilońskich była anonimowa. W Grecji po raz pierwszy pojawili się twórcy nauk znani z nazwiska i osobistych sukcesów. Listę ich otwiera Tales z Miletu (VII/VI w. p.n.e.), podobno autor pierwszych dowodów geometrycznych, biegły także w zastosowaniu geometrii. Pitagorasowi (VI w. p.n.e.) i jego uczniom (pitagorejczykom) przypisuje się pierwsze definicje pojęć matematycznych, sformułowanie twierdzeń i abstrakcyjne dowody. Prawdopodobnie dzięki nim właśnie skrystalizowało się wiele podstawowych pojęć geometrii elementarnej, będącej obecnie przedmiotem nauczania w szkole średniej. Mniejsze już dziś znaczenie mają pitagorejskie badania liczb naturalnych, wiążące się z teorią muzyki i ze spekulacjami filozoficznymi. Ale właśnie pitagorejczykom przypisuje się odkrycie, w końcu V w. p.n.e., istnienia w idealnym świecie geometrii pary odcinków współmiernych, których stosunek długości nie da się wyrazić stosunkiem (ilorazem) liczb naturalnych, a więc jedynych, jakie były znane w starożytności. To obaliło wiarę w możliwość stosowania liczb do mierzenia długości odcinków przy danej jednostce długości. Dlatego w nauce zastąpiono liczby stosunkami wielkości takimi, jak odcinki, figury płaskie, bryły (tj. ich długości, pola, objętości). Źródła starogreckie wymieniają Eudoksosa z Knidos jako twórcę teorii stosunków - wiadomo jednak, że rozwijało ją dalej wielu jego następców. Jej kształt ostateczny jest zawarty w słynnych Elementach Euklidesa (ok. 300r. p.n.e.) i w tej formie zachowała się przez wiele wieków. Stosunek np. odcinka A do odcinka B uważa się tam za równy stosunkowi odcinka C do odcinka D, jeżeli dla dowolnych liczb naturalnych (całkowitych dodatnich) m i n jest albo mA<nB i jednocześnie mC<nD, albo mA=nB i mC=nD, albo też mA>nB i mC>nD. Podobie za pomocą liczb naturalnych określa się mniejszość i większość w zakresie stosunków wielkości. Pomysł Eudoksosa pozwala np. stwierdzić, że stosunek przekątnej kwadratu do jego boku, przedstawiany dziś liczbą \sqrt{2}, równa się takiemu stosunkowi w dowolnym innym kwadracie. Jest rzeczą sporną, czy owe stosunki wielkości są, i w jakim stopniu, odpowiednikami nowoczesnych liczb rzeczywistych dodatnich. W każdym razie teoria stosunków usunęła trudności, które wystąpiły w teorii mierzenia i umożliwiła świetne osiągnięcia geometrii starogreckiej. Z czasem jednak ograniczenie się w nauce do liczb naturalnych stało się czynnikiem hamującym jej rozwój. Dopiero czasy nowożytne przyniosły nowe spojrzenie na liczbę i znaczne rozszerzenie tego pojęcia.

Czasy nowe.

Wzbogacona o elementy orientalne powróciła matematyka hellenistyczna do Europy za pośrednictwem Arabów. Były to najpierw liczby całkowite w dziesiątkowym systemie liczbowym, z użyciem cyfr arabskich 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9,pochodzących z Indii. W czasach odrodzenia posługiwano się liczbą swobodniej i śmielej niż w starożytności.Stosunki wielkości, choćby niewspółmiernych, zaczęto traktować wprost jak liczby, mimo że natura takich liczb była długo jeszcze niejasna. Był więc liczbą stosunek przekątnej kwadratu do jego boku wziętego za jednostkę. Co więcej, nie troszcząc się o logiczne wyjaśnienie, wprowadzono różne typy liczb "fikcyjnych" (jak liczby ujemne i urojone), co umożliwiło szybki rozwój algebry w XVI wieku, kiedy to za ich pomocą matematycy włoscy (G.Cardano, N.Tartaglia, L.Ferrari i inni) znaleźli ogólne rozwiązania równań algebraicznych trzeciego i czwartego stopnia. Pod koniec XVI wieku zaczęły się pojawiać bardzo dokładne tablice funkcji trygonometrycznych. Matematyk francuski F.Viete podał trygonometryczne rozwiązanie równania trzeciego stopnia, mające zastosowanie także w przypadku nieprzewidywalnym, gdzie wzory czysto algebraiczne nie dawały si stosować. On też wprowadził literowe oznaczenia współczynników równań w miejsce uciążliwych opisów słownych, co przyspieszyło wydatnie dalszy rozwój algebry. W początkach XVII wieku powstały bardzo dokładne tablice logarytmów dziesiętnych jako narzędzie techniki obliczeń. Bardziej jeszcze tajemnicze niż pojęcie liczby rzeczywistej były pojęcia nieskończonościowe, leżące u podstaw powstającej w XVII wieku analizy matematycznej. Nieskończenie małe kawałki linii krzywych były już proste i wyznaczały kierunki stycznych, iloraz nieskończenie małego przemieszczenia do nieskończenie krótkiego czasu, w jakim się dokonało, był chwilową prędkością punktu materialnego. Figurę płaską ograniczoną liniami krzywymi dzielono w myśl na nieskończenie wiele nieskończenie wąskich pasków prostokątnych, których nieskończenie małe pola dawały w sumie (nieskończonej) pole danej figury. Nie było to ani jasne, ani precyzyjne, ale doprowadziło do rozwinięcia potężnej techniki rachunku różniczkowego i całkowego (I.Newton, G.W.Leibniz oraz bracia Jacob i Johann Bernoulli), dzięki której matematyka znalazła szerokie zastosowanie w mechanice i astronomii, i do rozwoju wielu gałęzi nowoczesnej analizy matematycznej. W ciągu XVII wieku, wypełniając program Kartezjusza stosowania rachunku w geometrii, doprowadzono do powstania geometrii analitycznej w jej obecnym kształcie. Zapoczątkowano także rachunek prawdopodobieństwa (matematycy francuscy P. de Fermat i B.Pascal).