Mechanika kwantowa/Formalizm matematyczny mechaniki kwantowej/Przestrzeń funkcji falowych

Przestrzeń funkcji falowych

Spróbujmy wywnioskować jakie własności musi posiadać przestrzeń w której opisuje się funkcje falową. W mechanice kwantowej stosuje się najczęściej notacje wektora w postaci $|\psi \rangle$ :

$|\psi \rangle \equiv {\vec {\psi }}$

Spróbujmy znaleźć własności przestrzeni w której jest opisana funkcja falowa. Jednym z podstawowych aksjomatów jest to, że funkcja falowa jest zespolona:

$\psi ({\vec {r}},t)\in \mathbb {C}$

Co prowadzi do wymogu, by przestrzeń w której funkcja falowa jest opisywana była nad ciałem liczb zespolonych $\mathbb {C}$

Zasada superpozycji wymaga by funkcja falowa była liniowa (suma dwóch funkcji falowych jest także funkcją falową). Więc przestrzeń w której opisywane są funkcje falowe również musi być liniowa. Z poprzednim warunkiem $\psi ({\vec {r}},t)\in \mathbb {C}$ można wysunąć konkluzje, że tą przestrzenią jest przestrzeń wektorowa nad ciałem liczb zespolonych:

$(V,C,\oplus ,\otimes )$

Oczywiście operacje $\oplus$ i $\otimes$ muszą spełniać aksjomaty zgodności przestrzeni wektorowej.

Z warunku normalizacji otrzymujemy zasadę, że norma funkcji falowej musi być równa 1. Wynika z tego, że przestrzeń musi być unitarna (wymóg istnienia iloczynu skalarnego i normy jest spowodowany wymogiem całkowalności w kwadracie funkcji falowej i poprawnej normalizacji).

Żeby móc przedstawić superpozycje w danej przestrzeni wektorowej dana przestrzeń musi być nie-ortogonalna. Nie-ortogonalność przestrzeni jest wymgiem zasady superpozycji.

Z rozważań fizycznych można też zapostulować, że przestrzeń w której opisuje się funkcje falową musi być zupełna. Wynika to z następującego rozumowania:

Załóżmy, że posiadamy ciąg stanów kwantowych będących ciągiem Cauchyego w której opisana jest funkcja falowa. Jeżeli będziemy zmieniać wartości stanów kwantowych to wymagamy aby granica zmienianych stanów kwantowych także należała do tej przestrzeni, inaczej nie będzie posiadać sensu fizycznego.

Z powyższych rozważań możemy wysunąć wniosek, że przestrzeń w której opisujemy funkcje falowe jest przestrzenią Hilberta.

W poprzednim rozdziale o interpretacji probalistycznej funkcji falowej móiliśmy, że funkcja falowa musi być całkowalna w kwadracie by miała sens fizyczny. Więc dokładniej, przestrzeń funkcji falowych jest podprzestrzenią przestrzeni Hilberta - należy ona do przestrzeni funkcji całkowalnych w kwadracie z iloczynem skalarnym:

$(x,y)=\int _{\mathcal {V}}\,x^{*}yd^{3}r$

Gdzie $x^{*}\,$ jest sprzężeniem funkcji (wektora w przestrzeni funkcyjnej), a ${\mathcal {V}}$ dowolną podprzestrzenią przestrzeni funkcji całkowalnych w kwadracie. Jak widać funkcja falowa $\psi ({\vec {r}},t)$ z 3 składowymi położenia jest po prostu wektorem należącym do 4 wymiarowej (3 składowe położenia i 1 czasu) podprzestrzeni przestrzeni funkcji całkowalnych w kwadracie. Dlatego funkcje falową można zapisać w postaci wektora:

$\psi ({\vec {r}},t)\equiv |\psi \rangle$

Wtedy wektor $|\psi \rangle$ nazywamy wektorem stanu. Choć ten zapis nie jest zbyt precyzjny - niektórych wektorów stanu nie można zapisać w postaci funkcji falowej.