Mechanika kwantowa

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Skocz do: nawigacja, szukaj
Informacja Książka wymaga poprawek językowych i stylistycznych.

Mechanika kwantowa zajmuje się opisem obiektów bardzo małych, których rozmiary są porównywalne z rozmiarami jego fali de Broglie'a. Ten dział fizyki dzielimy na mechanikę kwantową klasyczną, opisującą ciała bardzo małe i o prędkościach o wiele mniejszych od prędkości światła, a także na mechanikę relatywistyczną, opisującą ciała bardzo małe dodatkowo z prędkościami o porównywalnymi z prędkością światła. Natomiast mechanikę relatywistyczną dzielimy na mechanikę Klieina-Gordona opisujących cząstki bez spinu, a także na mechanikę Diraca opisujących elektrony.

Spis treści

Spis treści[edytuj]

Podstawy mechaniki kwantowej
  1. Zasada Huygensa
  2. Dualizm korpuskularno-falowy
  3. Energia kwantu energii w zależności od częstotliwości kołowej lub częstości fali
  4. Efekt fotoelektryczny
  5. Fale de Broglie'a
  6. Ciało doskonale czarne według Plancka
    1. Prawo Stefana-Boltzmanna
    2. Prawo przesunięć Wiena
  7. Paczki falowe w nowej teorii kwantów
  8. Prędkość grupowa paczki falowej i prędkość cząstki oraz dowód wzoru na fale de Broglie'a i energię kwantu
  9. Warunek Braggów a doświadczenie i fale materii
Teoria atomu wodoru Bohra
  1. Teoria nierelatywistyczna Bohra atomów wodoropodobnych
    1. Postulaty teorii Bohra dla atomów wodoropodobnych
    2. Wyprowadzenie wzoru Rydberga
    3. Serie w atomie wodoru
Teoria atomu wodoru Sommerfelda
  1. Teoria nierelatywistyczna atomów wodoropodobnych Sommerfelda
Zjawisko Comptona
Postulat zerowy mechaniki kwantowej
Postulat pierwszy mechaniki kwantowej
  1. Współrzędne położenia i pędu w reprezentacji klasycznej i kwantowej
  2. Kwadrat całkowitego operatora pędu
  3. Nierelatywistyczny lagrangian cząstki w polu elektromagnetycznym
  4. Nierelatywistyczny hamiltonian w polu elektromagnetycznym
  5. Operator energii kinetycznej bez potencjału wektorowego w elektromagnetyzmie
  6. Operator energii kinetycznej w polu elektromagnetycznym
  7. Operator energii mechanicznej bez potencjału wektorowego w elektromagnetyzmie
  8. Operator energii mechanicznej w polu elektromagnetycznym
  9. Operator momentu pędu
  10. Kwadrat operatora momentu pędu we współrzędnych kulistych
  11. Operatory współrzędnych momentu pędu we współrzędnych kulistych
  12. Operatory zdefiniowane w oparciu o operatory współrzędnych momentu pędu
  13. Operatory zdefiniowane w oparciu o operatory współrzędnych momentu pędu we współrzędnych kulistych
Komutacja operatorów fizycznych
  1. Komutacja współrzędnych operatora położenia
  2. Komutacja współrzędnych operatora pędu
  3. Komutacja współrzędnych operatorów położenia i pędu
  4. Komutacja współrzędnych operatora pędu i momentu pędu
  5. Komutacja współrzędnych operatora momentu pędu
  6. Komutacja operatorów kwadratu momentu pędu i pewnej współrzędnej operatora momentu pędu
  7. Komutacja operatorów ciąg dalszy
Postulat drugi mechaniki kwantowej
  1. Warunki na funkcje własne równania własnego w mechanice kwantowej
  2. Zagadnienie własne operatora położenia
  3. Zagadnienie własne operatorów pędu
  4. Zagadnienie własne operatora momentu pędu współrzędnej zetowej
  5. Zagadnienie własne operatora kwadratu momentu pędu
  6. Zagadnienie własne operatora energii cząstki swobodnej
  7. Zagadnienie własne operatora energii mechanicznej
  8. Ruch cząstki w polu potencjalnym o symetrii sferycznej
  9. Atom wodoru w mechanice kwantowej
Zaawansowane własności funkcji kulistych
  1. Własności funkcji kulistych
  2. Elementy macierzowe operatorów momentu pędu
  3. Współrzędne operatorów momentu pędu a funkcję kuliste
Postulat trzeci mechaniki kwantowej
  1. Współczynniki rozwinięcia funkcji w danej bazie dyskretnej
  2. Współczynniki rozwinięcia funkcji w danej bazie ciągłej
  3. Wartość średnia w mechanice kwantowej
  4. Średnia wartość uzyskanych wyników pomiarów
  5. Interpretacja funkcji falowej
  6. Reprezentacja położeniowa i pędowa
  7. Zasada Heisenberga, czyli zasada jednoczesnego pomiaru kilku wartości
Postulat czwarty mechaniki kwantowej
  1. Wyprowadzenie równania falowego zależnego i niezależnego od czasu
  2. Nieoznaczność czasu i energii
  3. Rozwiązanie równania zależnego od czasu przy hamiltonianie niezależnym od czasu
  4. Operator ewolucji
  5. Gęstość znalezienia cząstki w całej przestrzeni trójwymiarowej
  6. Charakter falowy funkcji stanu
Proste przykłady zagadnień kwantowomechanicznych
  1. Cząstka w nieskończenie głębokiej studni potencjału
  2. Cząstka w skończonej studni potencjału
    1. Stany związane
      1. Współczynniki rozwiązań parzystych
      2. Współczynniki rozwiązań nieparzystych
      3. Funkcje parzyste i nieparzyste
      4. Normowanie funkcji parzystych
      5. Normowanie funkcji nieparzystych
      6. Energie własne stanów związanych
      7. Prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w studni potencjału
    2. Stany rozproszeniowe
      1. Współczynnik odbicia i transmisji
      2. Rezonanse
      3. Dyskusja nad energiami rezonansowymi nad rozpraszaniem niskoenergetycznym
      4. Rozpraszanie niskoenergetyczne
      5. Zależność współczynnika odbicia R i transmisji T od energii cząstki
      6. Szerokość rezonansów
Równanie Ehrenfesta
  1. Równanie Ehrenfesta
  2. Równanie Ehrenfesta dla cząstki w polu bez potencjału wektorowego magnetycznego
  3. Równanie Ehrenfesta dla cząstki w polu z potencjałem wektorowym i skalarnym magnetycznym
Gęstość prądu prawdopodobieństwa a równanie Schrödingera
Cząstki o spinie połówkowym
  1. Moment magnetyczny, a spin
  2. Warunki komutacji operatorów spinu
    1. Ogólne warunki komutacji spinu
  3. Wzór na operator spinu w zależności od operatorów (macierzy) Pauliego
  4. Warunki komutacji operatorów (macierzy) Pauliego
    1. Ogólna postać komutacji macierzy Pauliego
    2. Szczególne postacje komutacji macierzy Pauliego
  5. Wyznaczanie warunków antykomutacyjnych macierzy Pauliego
    1. Postacie szczególne antykomutacji macierzy Pauliego
    2. Postać ogólna antykomutacji macierzy Pauliego
  6. Wyznaczanie macierzy Pauliego
    1. Postać macierzy Pauliego σx
    2. Wyznaczanie dalszych macierzy Pauliego
    3. Postacie trzech macierzy Pauliego σx, σy i σz
    4. Operatory σi jako operatory hermitowskie
  7. Sprawdzenie własności macierzowych na macierzach Pauliego
    1. Sprawdzenie komutacji macierzy Pauliego σi
    2. Sprawdzenie antykomutacji macierzy Pauliego σi
  8. Wyznaczanie trzech macierzy Pauliego σ+, σ- i σ0
    1. Wyznaczanie warunków komutacyjnych macierzy σ+, σ- i σ0
      1. Szczególne warunki komutacji macierzy σ+, σ- i σ0
    2. Własności działania operatorów σ+, σ- i σ0 na wektory pionowe dwuwymiarowe χ1 i χ2
Zakaz Pauliego dla układu wielu cząstek
  1. Układy nierozróżnialnych cząstek kwantowych jednakowego rodzaju
    1. Przypadek układu dwóch cząstek kwantowych
    2. Przypadek układu n cząstek kwantowych
Układ dwóch cząstek w mechanice kwantowej
Kwantowy oscylator harmoniczny
  1. Kwantowy jednowymiarowy oscylator harmoniczny
    1. Zamiana zmiennych
    2. Rozwiązania asymptotyczne
    3. Równanie różniczkowe dla funkcji aplitudowej rozwiązania asymptotycznego
    4. Rozwiązania aplitudowe funkcji asymptotycznej
    5. Rozwiązania funkcji własnych równania własnego operatora energii oscylatora harmonicznego
  2. Kwantowy trójwymiarowy oscylator harmoniczny
    1. Radialne równanie trójwymiarowego oscylatora harmonicznego
    2. Część radialna rozwiązania względem rozwiązań Laguerra
    3. Rozwiązania względem równania różniczkowego Laguerra
    4. Wartości własne energii własnych
    5. Funkcje własne trójwymiarowego kwantowego oscylatora harmonicznego
    6. Operator energii całkowitej z uwzględnieniem oddziaływania spin-orbita
Doświadczenie Sterna-Gerlacha i efekt Zeemana
Rachunek zaburzeń dla równania Schrödingera niezależnego od czasu
Wprowadzenie do teorii wektorów Diraca
  1. Własności wektorów "bra" i "ket"
  2. Operatory w przestrzeni Hilberta
  3. Zagadnienie własne operatorów hermitowskich
  4. Reprezentacja dowolnego keta w bazie dyskretnej
  5. Reprezentacja dowolnego keta w bazie ciągłej
  6. Wektory i wartości własne w widmie dyskretnym
  7. Wektory i wartości własne w widmie ciągłym
  8. Wprowadzenie do transformacji unitarnej
Kwantowa teoria całkowitego momentu pędu
  1. Dodawanie dwóch momentów pędu a współczynniki Clebscha-Gordona
    1. Ortogonalizacja współczynników Clebscha-Gordona
    2. Tabela współczynników Clebscha-Gordona
  2. Dodawanie trzech momentów pędu a współczynniki Racah
  3. Model jednocząstkowego momentu magnetycznego
  4. Energia sprzężenia spin-orbita w polu magnetycznym
    1. Energia sprzężenia spin-orbita w przypadku silnego pola magnetycznego
    2. Energia sprzężenia spin-orbita w przypadku słabego pola magnetycznego
Wprowadzenie do interpretacji fizycznych operatorów
  1. Zasada superpozycji stanów
  2. Zespoły czyste i mieszane
  3. Obrazy według Schrodingera i Heisenberga
  4. Operatory kreacji i anihilacji
    1. Reprezentacja liczby obsadzeń-operatory kreacji i anihilacji fermionów
      1. Operator liczby obsadzeń fermionów na k-tej stanie
      2. Krótkie wprowadzenie do operatorów kreacji i i anihilacji
      3. Działanie operatorów kreacji i anihilacji na dany stan fermionowy
      4. Wyrażanie operatorów kreacji i anihilacji fermionów
      5. Przykłady stanów fermionowych i działania na te stany operatorów kreacji i anihilacji
    2. Reprezentacja liczby obsadzeń-operatory kreacji i anihilacji bozonów
    3. Wyrażenie operatora hamiltonianu poprzez operatory kreacji i anihilacji
Symetrie a prawa zachowania wartości średniej
  1. Wprowadzenie do symetrii zasad zachowania
  2. Obroty, a prawo zachowania momentu pędu
  3. Przesunięcia w przestrzeni euklidesowej, a prawo zachowania pędu
  4. Transformacja inwersji przestrzeni, a prawo zachowania parzystości
Relatywistyczna teoria kwantów Kleina-Gordona
  1. Równania mechaniki kwantowej relatywistycznej Kleina-Gordona
  2. Wyprowadzenie równań mechaniki kwantowej relatywistycznej Kleina-Gordona zależnego i niezależnego od czasu
  3. Równanie Schrödingera jako szczególny przypadek teorii kwantów Kliena-Gordona
  4. Ruch swobodny elektronu według teorii Kliena-Gordona
  5. Atom wodoru według teorii Kleina-Gordona
Relatywistyczna teoria kwantów Diraca
  1. Równania mechaniki kwantowej relatywistycznej Diraca
    1. Linearyzacja Hamiltonianu
      1. Linearyzacja operatora energii relatywistycznej bez uwzględnienia pola magnetycznego
      2. Linearyzacja operatora energii relatywistycznej z uwzględnieniem pola magnetycznego
        1. Definicja operatorów σi
        2. Przedstawienie w postaci wektorowej operatorów σi w zależności od iloczynu wektorowego dwóch takich samych wektorów α zbudowanej jako wektor operatorów αi
        3. Macierzowe przedstawienie operatorów β, αx, αy i αz
        4. Macierzowe przedstawienie operatorów σx, σy i σz
        5. Komutacja operatorów αi
        6. Antykomutacja operatorów αi
        7. Antykomutacja operatorów αi z operatorem β
        8. Operatory σi jako operatory hermitowskie
        9. Antykomutacja operatorów σi
        10. Komutacje operatorów σi
        11. Dalsze rozważania na temat operatora Hamiltonianu
    2. Pełne równanie Diraca z uwzględnieniem pól elektrycznych, magnetycznych i innych
  2. Wyprowadzenie równania własnego zależnego i niezależnego od czasu równań mechaniki kwantowej relatywistycznej Diraca
    1. Równanie własne operatora energii relatywistycznej
    2. Równanie własne operatora energii (hamiltonianu Diraca) dla słabych i małych zmian pola magnetycznego
    3. Dowód operatora energii (hamiltonian Diraca) i jego równania własnego
    4. Równanie zależne od czasu mechaniki kwantowej Diraca
  3. Uogólnienie klasycznego Hamiltonianu o moment magnetyczny elektronu (q=e)
  4. Prawo zachowania momentu pędu, a spin elektronu w teorii Diraca, w zerowym polu elektrycznym i magnetycznym
  5. Atom wodoru według teorii Diraca
  6. Ruch swobodny elektronu według teorii Diraca
  7. Stany elektronu o ujemnej energii a istnienie pozytonu
Teoria pola we wzorach Eulera-Lagrange'a
  1. Przejście między równaniem Eulera-Lagrange'a a równaniem Newtona
  2. Przejście od układu sprężynek o długości a do układu ciągłego i jego Lagrangian
  3. Sprzężenie hermitowskie pochodnej tensorowej
  4. Relatywistyczne równanie Kliena-Gordona, pole, jego Lagrangian
  5. Relatywistyczne równanie Diraca, pole i jego Lagrangian
  6. Równanie Kleina-Gordona, a równania Diraca w teorii kwantów
Symetria cechowania transformacji ładunkowej
  1. Globalna symetria cechowania czyli obrót o kąt niezależny od położenia
  2. Lokalna symetria cechowania czyli obrót o kąt zależny od położenia
  3. Maxwellowskie pole elektromagnetyczne, a lokalna symetria cechowania
  4. Lagrangian Diraca, a lokalna symetria cechowania z polem elektromagnetycznym
Funkcje Greena w teorii kwantów
  1. Funkcje Greena dla hamiltonianu Schrödingera
  2. Funkcja Greena a zmodyfikowane pole Kleina-Gordona
Asymptotyczne właściwości wektora własnego Hamiltonianu a jego przekroje
  1. Fala asymptotyczna i jego przekrój różniczkowy i całkowity
  2. Asymptotyczne rozwiązanie Hamiltonianu a przybliżenie Borna
  3. Rozwinięcie w falach cząstowych S,P,D,...
    1. Rozwinięcie funkcji rozwiązania operatora energii kinetycznej
    2. Asymptotyczne rozwinięcie funkcji falowej rozwiązania Hamiltonianu
Wstęp do teorii promieniowania kwantów pola elektromagnetycznego
  1. Całkowity moment pędu kwantu pola elektromagnetycznego a jego obroty
  2. Wyznaczenie macierzy spinowych kwantów pola elektromagnetycznego
  3. Wektory spinowe, równania własne dla całkowitego momentu pędu kwantu
Zasada wariacyjna Schwingera
  1. Przejście między klasycznym i kwantowym Hamiltonianem, a zasada wariacyjna Schwingera
  2. Zasada wariacyjna, a pole Kleina-Gordona
  3. Zasada wariacyjna, a pole Diraca
  4. Własności operatorów kreacji i anihilacji a pole Kleina-Gordona

Bibliografia[edytuj]

Licencja[edytuj]

Autor: Mirosław Makowiecki.

Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie.

Email: miroslaw.makowiecki@gmail.com.

Dotyczy: tej strony i jej podstron powiązanych ze sobą.

Użytkownika tej strony i jej podstron nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.

Licencja: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części.