Mechanika kwantowa
![]() |
Książka wymaga poprawek językowych i stylistycznych. |
Mechanika kwantowa zajmuje się opisem obiektów bardzo małych, których rozmiary są porównywalne z rozmiarami jego fali de Broglie'a. Ten dział fizyki dzielimy na mechanikę kwantową klasyczną, opisującą ciała bardzo małe i o prędkościach o wiele mniejszych od prędkości światła, a także na mechanikę relatywistyczną, opisującą ciała bardzo małe dodatkowo z prędkościami o porównywalnymi z prędkością światła. Natomiast mechanikę relatywistyczną dzielimy na mechanikę Klieina-Gordona opisujących cząstki bez spinu, a także na mechanikę Diraca opisujących elektrony.
Spis treści[edytuj]
Podstawy mechaniki kwantowej
- Zasada Huygensa
- Dualizm korpuskularno-falowy
- Energia kwantu energii w zależności od częstotliwości kołowej lub częstości fali
- Efekt fotoelektryczny
- Fale de Broglie'a
- Ciało doskonale czarne według Plancka
- Paczki falowe w nowej teorii kwantów
- Prędkość grupowa paczki falowej i prędkość cząstki oraz dowód wzoru na fale de Broglie'a i energię kwantu
- Warunek Braggów, a doświadczenie, fale materii
Teoria atomu wodoru Bohra
Teoria atomu wodoru Sommerfelda
Zjawisko Comptona
Postulat zerowy mechaniki kwantowej
Postulat pierwszy mechaniki kwantowej
- Współrzędne położenia i pędu w reprezentacji klasycznej i kwantowej
- Kwadrat całkowitego operatora pędu
- Newtonowski i einsteinowski lagrangian cząstki w polu elektromagnetycznym
- Hamiltonian H w polu elektromagnetycznym, a energia mechaniczna bądź całkowita E
- Operator energii kinetycznej bez potencjału wektorowego w elektromagnetyzmie
- Operator energii kinetycznej w polu elektromagnetycznym
- Operator energii mechanicznej bez potencjału wektorowego w elektromagnetyzmie
- Operator energii mechanicznej w polu elektromagnetycznym
- Operator momentu pędu
- Kwadrat operatora momentu pędu we współrzędnych kulistych
- Operatory współrzędnych momentu pędu we współrzędnych kulistych
- Operatory zdefiniowane w oparciu o operatory współrzędnych momentu pędu
- Operatory zdefiniowane w oparciu o operatory współrzędnych momentu pędu we współrzędnych kulistych
Komutacja operatorów fizycznych
- Komutacja współrzędnych operatora położenia
- Komutacja współrzędnych operatora pędu
- Komutacja współrzędnych operatorów położenia i pędu
- Komutacja współrzędnych operatora pędu i momentu pędu
- Komutacja współrzędnych operatora momentu pędu
- Komutacja operatorów kwadratu momentu pędu i pewnej współrzędnej operatora momentu pędu
- Komutacja operatorów ciąg dalszy
Postulat drugi mechaniki kwantowej
- Warunki na funkcje własne równania własnego w mechanice kwantowej
- Zagadnienie własne operatora położenia
- Zagadnienie własne operatorów pędu
- Zagadnienie własne operatora momentu pędu współrzędnej zetowej
- Zagadnienie własne operatora kwadratu momentu pędu
- Zagadnienie własne operatora energii cząstki swobodnej
- Zagadnienie własne operatora energii mechanicznej
- Ruch cząstki w polu potencjalnym o symetrii sferycznej
- Atom wodoru w mechanice kwantowej
Zaawansowane własności funkcji kulistych
- Własności funkcji kulistych
- Elementy macierzowe operatorów momentu pędu
- Współrzędne operatorów momentu pędu a funkcję kuliste
Postulat trzeci mechaniki kwantowej
- Współczynniki rozwinięcia funkcji w danej bazie dyskretnej
- Współczynniki rozwinięcia funkcji w danej bazie ciągłej
- Współczynniki rozwinięcia funkcji w danej bazie dyskretno-ciągłej
- Wartość średnia w mechanice kwantowej
- Średnia wartość uzyskanych wyników pomiarów
- Interpretacja funkcji falowej
- Reprezentacja położeniowa i pędowa
- Zasada Heisenberga, czyli zasada jednoczesnego pomiaru kilku wartości
Postulat czwarty mechaniki kwantowej
- Wyprowadzenie równania falowego zależnego i niezależnego od czasu
- Nieoznaczność czasu i energii (dowód)
- Rozwiązanie równania zależnego od czasu przy hamiltonianie niezależnym od czasu
- Operator ewolucji
- Gęstość znalezienia cząstki w całej przestrzeni trójwymiarowej
- Charakter falowy funkcji stanu
Proste przykłady zagadnień kwantowomechanicznych
- Cząstka w nieskończenie głębokiej studni potencjału
- Cząstka w skończonej studni potencjału
Równanie Ehrenfesta
- Równanie Ehrenfesta
- Równanie Ehrenfesta dla cząstki w polu bez potencjału wektorowego magnetycznego
- Równanie Ehrenfesta dla cząstki w polu z potencjałem wektorowym i skalarnym magnetycznym
Gęstość prądu prawdopodobieństwa a równanie Schrödingera
Cząstki o spinie połówkowym
- Moment magnetyczny, a spin
- Warunki komutacji operatorów spinu
- Wzór na operator spinu w zależności od operatorów (macierzy) Pauliego
- Warunki komutacji operatorów (macierzy) Pauliego
- Wyznaczanie warunków antykomutacyjnych macierzy Pauliego
- Wyznaczanie macierzy Pauliego
- Sprawdzenie własności macierzowych na macierzach Pauliego
- Wyznaczanie trzech macierzy Pauliego σ+, σ- i σ0
Zakaz Pauliego dla układu wielu cząstek
Układ dwóch cząstek w mechanice kwantowej
Kwantowy oscylator harmoniczny
- Kwantowy jednowymiarowy oscylator harmoniczny
- Kwantowy trójwymiarowy oscylator harmoniczny
- Radialne równanie trójwymiarowego oscylatora harmonicznego
- Część radialna rozwiązania względem rozwiązań Laguerra
- Rozwiązania względem równania różniczkowego Laguerra
- Wartości własne energii własnych
- Funkcje własne trójwymiarowego kwantowego oscylatora harmonicznego
- Operator energii całkowitej z uwzględnieniem oddziaływania spin-orbita
Doświadczenie Sterna-Gerlacha i efekt Zeemana
Rachunek zaburzeń dla równania Schrödingera niezależnego od czasu
Wprowadzenie do teorii wektorów Diraca
- Własności wektorów "bra" i "ket"
- Operatory w przestrzeni Hilberta
- Zagadnienie własne operatorów hermitowskich
- Reprezentacja dowolnego keta w bazie dyskretnej
- Reprezentacja dowolnego keta w bazie ciągłej
- Reprezentacja dowolnego keta w bazie dyskretno-ciągłej
- Wektory i wartości własne w widmie dyskretnym
- Wektory i wartości własne w widmie ciągłym
- Wprowadzenie do transformacji unitarnej
Kwantowa teoria całkowitego momentu pędu
- Dodawanie dwóch momentów pędu a współczynniki Clebscha-Gordona
- Dodawanie trzech momentów pędu a współczynniki Racah
- Model jednocząstkowego momentu magnetycznego
- Energia sprzężenia spin-orbita w polu magnetycznym
Wprowadzenie do interpretacji fizycznych operatorów
- Zasada superpozycji stanów
- Zespoły czyste i mieszane
- Obrazy według Schrödingera i Heisenberga
- Operatory kreacji i anihilacji
- Reprezentacja liczby obsadzeń-operatory kreacji i anihilacji fermionów
- Operator liczby obsadzeń fermionów na k-tej stanie
- Krótkie wprowadzenie do operatorów kreacji i i anihilacji
- Działanie operatorów kreacji i anihilacji na dany stan fermionowy
- Wyrażanie operatorów kreacji i anihilacji fermionów
- Przykłady stanów fermionowych i działania na te stany operatorów kreacji i anihilacji
- Reprezentacja liczby obsadzeń-operatory kreacji i anihilacji bozonów
- Wyrażenie operatora hamiltonianu poprzez operatory kreacji i anihilacji
- Reprezentacja liczby obsadzeń-operatory kreacji i anihilacji fermionów
Symetrie, a prawa zachowania wartości średniej
- Wprowadzenie do symetrii zasad zachowania
- Obroty, a prawo zachowania momentu pędu
- Przesunięcia w przestrzeni euklidesowej, a prawo zachowania pędu
- Transformacja inwersji przestrzeni, a prawo zachowania parzystości
Relatywistyczna teoria kwantów Kleina-Gordona
- Równania mechaniki kwantowej relatywistycznej Kleina-Gordona
- Wyprowadzenie równań mechaniki kwantowej relatywistycznej Kleina-Gordona zależnego i niezależnego od czasu
- Równanie Schrödingera jako szczególny przypadek teorii kwantów Kliena-Gordona
- Ruch swobodny elektronu według teorii Kliena-Gordona
- Atom wodoru według teorii Kleina-Gordona
Wyprowadzenie relatywistycznej teorii kwantów Diraca
- Równania mechaniki kwantowej relatywistycznej Diraca
- Linearyzacja Hamiltonianu
- Linearyzacja operatora energii relatywistycznej bez uwzględnienia pola magnetycznego
- Linearyzacja operatora energii relatywistycznej z uwzględnieniem pola magnetycznego
- Definicja operatorów σi
- Przedstawienie w postaci wektorowej operatorów σi w zależności od iloczynu wektorowego dwóch takich samych wektorów α zbudowanej jako wektor operatorów αi
- Macierzowe przedstawienie operatorów β, αx, αy i αz
- Macierzowe przedstawienie operatorów σx, σy i σz
- Komutacja operatorów αi
- Antykomutacja operatorów αi
- Antykomutacja operatorów αi z operatorem β
- Operatory σi jako operatory hermitowskie
- Antykomutacja operatorów σi
- Komutacje operatorów σi
- Dalsze rozważania na temat operatora Hamiltonianu
- Pełne równanie Diraca z uwzględnieniem pól elektrycznych, magnetycznych i innych
- Linearyzacja Hamiltonianu
- Wyprowadzenie równania własnego zależnego i niezależnego od czasu równań mechaniki kwantowej relatywistycznej Diraca
- Równanie własne operatora energii relatywistycznej
- Równanie własne operatora energii (hamiltonianu Diraca) dla słabych i małych zmian pola magnetycznego
- Dowód operatora energii (hamiltonian Diraca) i jego równania własnego dla pól elektrycznych i magnetycznych
- Równanie zależne od czasu mechaniki kwantowej Diraca
Wnioski wynikające z mechaniki kwantowej Diraca
- Uogólnienie klasycznego Hamiltonianu o moment magnetyczny elektronu (q=e)
- Prawo zachowania momentu pędu, a spin elektronu w teorii Diraca, w zerowym polu elektrycznym i magnetycznym
- Atom wodoru według teorii Diraca
- Ruch swobodny elektronu według teorii Diraca
- Stany elektronu o ujemnej energii, a istnienie pozytonu
Teoria pola we wzorach Eulera-Lagrange'a
- Przejście między równaniem Eulera-Lagrange'a a równaniem Newtona
- Przejście od układu sprężynek o długości a do układu ciągłego i jego Lagrangian
- Sprzężenie hermitowskie pochodnej tensorowej
- Relatywistyczne równanie Kliena-Gordona, pole, jego Lagrangian
- Relatywistyczne równanie Diraca, pole i jego Lagrangian
- Równanie Kleina-Gordona, a równania Diraca w teorii kwantów
Symetria cechowania transformacji ładunkowej
- Globalna symetria cechowania czyli obrót o kąt niezależny od położenia
- Lokalna symetria cechowania czyli obrót o kąt zależny od położenia
- Maxwellowskie pole elektromagnetyczne, a lokalna symetria cechowania
- Lagrangian Diraca, a lokalna symetria cechowania z polem elektromagnetycznym
Funkcje Greena w teorii kwantów
Asymptotyczne właściwości wektora własnego Hamiltonianu, a jego przekroje
- Fala asymptotyczna i jego przekrój różniczkowy i całkowity
- Asymptotyczne rozwiązanie Hamiltonianu a przybliżenie Borna
- Rozwinięcie w falach cząstowych S,P,D,...
Wstęp do teorii promieniowania kwantów pola elektromagnetycznego
- Całkowity moment pędu kwantu pola elektromagnetycznego a jego obroty
- Wyznaczenie macierzy spinowych kwantów pola elektromagnetycznego
- Wektory spinowe, równania własne dla całkowitego momentu pędu kwantu
Zasada wariacyjna Schwingera
- Przejście między klasycznym i kwantowym Hamiltonianem, a zasada wariacyjna Schwingera
- Zasada wariacyjna, a pole Kleina-Gordona
- Zasada wariacyjna, a pole Diraca
- Własności operatorów kreacji i anihilacji, a pole Kleina-Gordona
Bibliografia[edytuj]
Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.