Mechanika kwantowa

Książka wymaga poprawek językowych i stylistycznych.

Spis treści
1Spis treści 2Bibliografia

BoksySpis treści

Prawa autorskie • Informacje prawne • Tworzenie podręczników • Tworzenie podręcznika • Edycja kodu

Mechanika kwantowa zajmuje się opisem obiektów bardzo małych, których rozmiary są porównywalne z rozmiarami jego fali de Broglie'a. Ten dział fizyki dzielimy na mechanikę kwantową klasyczną, opisującą ciała bardzo małe i o prędkościach o wiele mniejszych od prędkości światła, a także na mechanikę relatywistyczną, opisującą ciała bardzo małe dodatkowo z prędkościami o porównywalnymi z prędkością światła. Natomiast mechanikę relatywistyczną dzielimy na mechanikę Klieina-Gordona opisujących cząstki bez spinu, a także na mechanikę Diraca opisujących elektrony.

Spis treści

Podstawy mechaniki kwantowej

• 1Zasada Huygensa
• 2Dualizm korpuskularno-falowy
• 3Energia kwantu energii w zależności od częstotliwości kołowej lub częstości fali
• 4Efekt fotoelektryczny
• 5Fale de Broglie'a
• 6Ciało doskonale czarne według Plancka
  • 6.1Prawo Stefana-Boltzmanna
  • 6.2Prawo przesunięć Wiena
• 7Paczki falowe w nowej teorii kwantów
• 8Prędkość grupowa paczki falowej i prędkość cząstki oraz dowód wzoru na fale de Broglie'a i energię kwantu Plancka
• 9Warunek Braggów, a doświadczenie, fale materii

Teoria atomu wodoru Bohra

• 1Teoria nierelatywistyczna Bohra atomów wodoropodobnych
  • 1.1Postulaty teorii Bohra dla atomów wodoropodobnych
  • 1.2Wyprowadzenie wzoru Rydberga
  • 1.3Serie w atomie wodoru

Teoria atomu wodoru Sommerfelda

• 1Teoria nierelatywistyczna atomów wodoropodobnych Sommerfelda
  • 1.1Orbity eliptyczne w przybliżonym modelu atomu wodoru Sommerfelda

Zjawisko Comptona

Postulat zerowy mechaniki kwantowej

Postulat pierwszy mechaniki kwantowej

• 1Współrzędne położenia i pędu w reprezentacji klasycznej i kwantowej
• 2Kwadrat całkowitego operatora pędu
• 3Newtonowski i einsteinowski lagrangian cząstki w polu elektromagnetycznym
• 4Hamiltonian H w polu elektromagnetycznym, a energia mechaniczna bądź całkowita E
  • 4.1Nierelatywistyczny (newtonowski) hamiltonian H w polu elektromagnetycznym, a energia mechaniczna E
  • 4.2Relatywistyczny (einsteinowski) hamiltonian H w polu elektromagnetycznym, a całkowita energia E
• 5Operator energii kinetycznej bez potencjału wektorowego w elektromagnetyzmie
• 6Operator energii kinetycznej w polu elektromagnetycznym
• 7Operator energii mechanicznej bez potencjału wektorowego w elektromagnetyzmie
• 8Operator energii mechanicznej w polu elektromagnetycznym
• 9Operator momentu pędu
• 10Kwadrat operatora momentu pędu we współrzędnych kulistych
• 11Operatory współrzędnych momentu pędu we współrzędnych kulistych
• 12Operatory zdefiniowane w oparciu o operatory współrzędnych momentu pędu
• 13Operatory zdefiniowane w oparciu o operatory współrzędnych momentu pędu we współrzędnych kulistych

Komutacja operatorów fizycznych

• 1Komutacja współrzędnych operatora położenia
• 2Komutacja współrzędnych operatora pędu
• 3Komutacja współrzędnych operatorów położenia i pędu
• 4Komutacja współrzędnych operatora pędu i momentu pędu
• 5Komutacja współrzędnych operatora momentu pędu
• 6Komutacja operatorów kwadratu momentu pędu i pewnej współrzędnej operatora momentu pędu
• 7Komutacja operatorów ciąg dalszy

Postulat drugi mechaniki kwantowej

• 1Warunki na funkcje własne równania własnego w mechanice kwantowej
• 2Zagadnienie własne operatora położenia
• 3Zagadnienie własne operatorów pędu
• 4Zagadnienie własne operatora momentu pędu współrzędnej zetowej
• 5Zagadnienie własne operatora kwadratu momentu pędu
• 6Zagadnienie własne operatora energii cząstki swobodnej
• 7Zagadnienie własne operatora energii mechanicznej
• 8Ruch cząstki w polu potencjalnym o symetrii sferycznej
• 9Atom wodoru w mechanice kwantowej

Zaawansowane własności funkcji kulistych

• 1Własności funkcji kulistych
• 2Elementy macierzowe operatorów momentu pędu
• 3Współrzędne operatorów momentu pędu a funkcję kuliste

Postulat trzeci mechaniki kwantowej

• 1Współczynniki rozwinięcia funkcji w danej bazie dyskretnej
• 2Współczynniki rozwinięcia funkcji w danej bazie ciągłej
• 3Współczynniki rozwinięcia funkcji w danej bazie dyskretno-ciągłej
• 4Wartość średnia w mechanice kwantowej
• 5Średnia wartość uzyskanych wyników pomiarów
  • 5.1Baza dyskretna
  • 5.2Baza ciągła
  • 5.3Baza dyskretno-ciągła
• 6Interpretacja funkcji falowej
• 7Reprezentacja położeniowa i pędowa
• 8Zasada Heisenberga, czyli zasada jednoczesnego pomiaru kilku wartości

Postulat czwarty mechaniki kwantowej

• 1Wyprowadzenie równania falowego zależnego i niezależnego od czasu
  • 1.1Rozważania ogólne
  • 1.2Dowód niepełny
  • 1.3Dowód pełny
• 2Nieoznaczność czasu i energii (dowód)
• 3Rozwiązanie równania zależnego od czasu przy hamiltonianie niezależnym od czasu
• 4Operator ewolucji
• 5Gęstość znalezienia cząstki w całej przestrzeni trójwymiarowej
• 6Charakter falowy funkcji stanu

Proste przykłady zagadnień kwantowomechanicznych

• 1Cząstka w nieskończenie głębokiej studni potencjału
• 2Cząstka w skończonej studni potencjału
  • 2.1Stany związane
    • 2.1.1Współczynniki rozwiązań parzystych
    • 2.1.2Współczynniki rozwiązań nieparzystych
    • 2.1.3Funkcje parzyste i nieparzyste
    • 2.1.4Normowanie funkcji parzystych
    • 2.1.5Normowanie funkcji nieparzystych
    • 2.1.6Energie własne stanów związanych
    • 2.1.7Prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w studni potencjału
  • 2.2Stany rozproszeniowe
    • 2.2.1Współczynnik odbicia i transmisji
    • 2.2.2Rezonanse
    • 2.2.3Dyskusja o energiach rezonansowych dla rozpraszania niskoenergetycznego
    • 2.2.4Rozpraszanie niskoenergetyczne
    • 2.2.5Zależność współczynnika odbicia R i transmisji T od energii cząstki
    • 2.2.6Szerokość rezonansów

Równanie Ehrenfesta

• 1Równanie Ehrenfesta
• 2Równanie Ehrenfesta dla cząstki w polu bez potencjału wektorowego magnetycznego
• 3Równanie Ehrenfesta dla cząstki w polu z potencjałem wektorowym i skalarnym magnetycznym

Gęstość prądu prawdopodobieństwa a równanie Schrödingera

Cząstki o spinie połówkowym

• 1Moment magnetyczny, a spin
• 2Warunki komutacji operatorów spinu
  • 2.1Ogólne warunki komutacji spinu
• 3Wzór na operator spinu w zależności od operatorów (macierzy) Pauliego
• 4Warunki komutacji operatorów (macierzy) Pauliego
  • 4.1Ogólna postać komutacji macierzy Pauliego
  • 4.2Szczególne postacje komutacji macierzy Pauliego
• 5Wyznaczanie warunków antykomutacyjnych macierzy Pauliego
  • 5.1Postacie szczególne antykomutacji macierzy Pauliego
  • 5.2Postać ogólna antykomutacji macierzy Pauliego
• 6Wyznaczanie macierzy Pauliego
  • 6.1Postać macierzy Pauliego σ_x
  • 6.2Wyznaczanie dalszych macierzy Pauliego
  • 6.3Postacie trzech macierzy Pauliego σ_x, σ_y i σ_z
  • 6.4Operatory σ_i jako operatory hermitowskie
• 7Sprawdzenie własności macierzowych na macierzach Pauliego
  • 7.1Sprawdzenie komutacji macierzy Pauliego σ_i
  • 7.2Sprawdzenie antykomutacji macierzy Pauliego σ_i
• 8Wyznaczanie trzech macierzy Pauliego σ₊, σ_- i σ₀
  • 8.1Wyznaczanie warunków komutacyjnych macierzy σ₊, σ_- i σ₀
    • 8.1.1Szczególne warunki komutacji macierzy σ₊, σ_- i σ₀
  • 8.2Własności działania operatorów σ₊, σ_- i σ₀ na wektory pionowe dwuwymiarowe χ₁ i χ₂

Zakaz Pauliego dla układu wielu cząstek

• 1Układy nierozróżnialnych cząstek kwantowych jednakowego rodzaju
  • 1.1Przypadek układu dwóch cząstek kwantowych
  • 1.2Przypadek układu n cząstek kwantowych

Układ dwóch cząstek w mechanice kwantowej

Kwantowy oscylator harmoniczny

• 1Kwantowy jednowymiarowy oscylator harmoniczny
  • 1.1Zamiana zmiennych
  • 1.2Rozwiązania asymptotyczne
  • 1.3Równanie różniczkowe dla funkcji aplitudowej rozwiązania asymptotycznego
  • 1.4Rozwiązania aplitudowe funkcji asymptotycznej
  • 1.5Rozwiązania funkcji własnych równania własnego operatora energii oscylatora harmonicznego
• 2Kwantowy trójwymiarowy oscylator harmoniczny
  • 2.1Radialne równanie trójwymiarowego oscylatora harmonicznego
  • 2.2Część radialna rozwiązania względem rozwiązań Laguerra
  • 2.3Rozwiązania względem równania różniczkowego Laguerra
  • 2.4Wartości własne energii własnych
  • 2.5Funkcje własne trójwymiarowego kwantowego oscylatora harmonicznego
  • 2.6Operator energii całkowitej z uwzględnieniem oddziaływania spin-orbita

Doświadczenie Sterna-Gerlacha i efekt Zeemana

Rachunek zaburzeń dla równania Schrödingera niezależnego od czasu

Wprowadzenie do teorii wektorów Diraca

• 1Własności wektorów "bra" i "ket"
• 2Operatory w przestrzeni Hilberta
• 3Zagadnienie własne operatorów hermitowskich
• 4Reprezentacja dowolnego keta w bazie dyskretnej
• 5Reprezentacja dowolnego keta w bazie ciągłej
• 6Reprezentacja dowolnego keta w bazie dyskretno-ciągłej
• 7Wektory i wartości własne w widmie dyskretnym
• 8Wektory i wartości własne w widmie ciągłym
• 9Wprowadzenie do transformacji unitarnej

Kwantowa teoria całkowitego momentu pędu

• 1Dodawanie dwóch momentów pędu a współczynniki Clebscha-Gordona
  • 1.1Ortogonalizacja współczynników Clebscha-Gordona
  • 1.2Tabela współczynników Clebscha-Gordona
• 2Dodawanie trzech momentów pędu a współczynniki Racah
• 3Model jednocząstkowego momentu magnetycznego
• 4Energia sprzężenia spin-orbita w polu magnetycznym
  • 4.1Energia sprzężenia spin-orbita w przypadku silnego pola magnetycznego
  • 4.2Energia sprzężenia spin-orbita w przypadku słabego pola magnetycznego

Wprowadzenie do interpretacji fizycznych operatorów

• 1Zasada superpozycji stanów
• 2Zespoły czyste i mieszane
• 3Obrazy według Schrödingera i Heisenberga
• 4Operatory kreacji i anihilacji
  • 4.1Reprezentacja liczby obsadzeń-operatory kreacji i anihilacji fermionów
    • 4.1.1Operator liczby obsadzeń fermionów na k-tej stanie
    • 4.1.2Krótkie wprowadzenie do operatorów kreacji i i anihilacji
      • 4.1.2.1Fermiony
      • 4.1.2.2Bozony
    • 4.1.3Działanie operatorów kreacji i anihilacji na dany stan fermionowy
    • 4.1.4Wyrażanie operatorów kreacji i anihilacji fermionów
    • 4.1.5Przykłady stanów fermionowych i działania na te stany operatorów kreacji i anihilacji
  • 4.2Reprezentacja liczby obsadzeń-operatory kreacji i anihilacji bozonów
  • 4.3Wyrażenie operatora hamiltonianu poprzez operatory kreacji i anihilacji

Symetrie, a prawa zachowania wartości średniej

• 1Wprowadzenie do symetrii zasad zachowania
• 2Obroty, a prawo zachowania momentu pędu
• 3Przesunięcia w przestrzeni euklidesowej, a prawo zachowania pędu
• 4Transformacja inwersji przestrzeni, a prawo zachowania parzystości

Relatywistyczna teoria kwantów Kleina-Gordona

• 1Równania mechaniki kwantowej relatywistycznej Kleina-Gordona
• 2Wyprowadzenie równań mechaniki kwantowej relatywistycznej Kleina-Gordona zależnego i niezależnego od czasu
  • 2.1Dowód niepełny
  • 2.2Dowód pełny
• 3Równanie Schrödingera jako szczególny przypadek teorii kwantów Kliena-Gordona
• 4Ruch swobodny elektronu według teorii Kliena-Gordona
• 5Atom wodoru według teorii Kleina-Gordona

Wyprowadzenie relatywistycznej teorii kwantów Diraca

• 1Równania mechaniki kwantowej relatywistycznej Diraca
  • 1.1Linearyzacja Hamiltonianu
    • 1.1.1Linearyzacja operatora energii relatywistycznej bez uwzględnienia pola magnetycznego
    • 1.1.2Linearyzacja operatora energii relatywistycznej z uwzględnieniem pola magnetycznego
      • 1.1.2.1Definicja operatorów σ_i
      • 1.1.2.2Przedstawienie w postaci wektorowej operatorów σ_i w zależności od iloczynu wektorowego dwóch takich samych wektorów α zbudowanej jako wektor operatorów α_i
      • 1.1.2.3Macierzowe przedstawienie operatorów β, α_x, α_y i α_z
      • 1.1.2.4Macierzowe przedstawienie operatorów σ_x, σ_y i σ_z
      • 1.1.2.5Komutacja operatorów α_i
      • 1.1.2.6Antykomutacja operatorów α_i
      • 1.1.2.7Antykomutacja operatorów α_i z operatorem β
      • 1.1.2.8Operatory σ_i jako operatory hermitowskie
      • 1.1.2.9Antykomutacja operatorów σ_i
      • 1.1.2.10Komutacje operatorów σ_i
      • 1.1.2.11Dalsze rozważania na temat operatora Hamiltonianu
  • 1.2Pełne równanie Diraca z uwzględnieniem pól elektrycznych, magnetycznych i innych
• 2Wyprowadzenie równania własnego zależnego i niezależnego od czasu równań mechaniki kwantowej relatywistycznej Diraca
  • 2.1Równanie własne pewnego operatora występującego w definicji operatora energii relatywistycznej
  • 2.2Dowód niepełny wyprowadzenia operatora energii relatywistycznej
  • 2.3Dowód pełny wyprowadzenia operatora energii relatywistycznej
  • 2.4Równanie własne operatora energii (hamiltonianu Diraca) dla słabych i małych zmian pola magnetycznego
    • 2.4.1Dowód niepełny
    • 2.4.2Dowód pełny
  • 2.5Dowód operatora energii relatywistycznej Diraca, że jego przedstawienie jest dokładne z układu dla punktu, w którym dla pola magnetycznego jego indukcja i jego zmiany są małe
  • 2.6Równanie zależne od czasu mechaniki kwantowej Diraca

Wnioski wynikające z mechaniki kwantowej Diraca

• 1Uogólnienie klasycznego Hamiltonianu o moment magnetyczny elektronu (q=e)
• 2Prawo zachowania momentu pędu, a spin elektronu w teorii Diraca, w zerowym polu elektrycznym i magnetycznym
• 3Atom wodoru według teorii Diraca
• 4Ruch swobodny elektronu według teorii Diraca
• 5Stany elektronu o ujemnej energii, a istnienie pozytonu

Teoria pola we wzorach Eulera-Lagrange'a

• 1Przejście między równaniem Eulera-Lagrange'a a równaniem Newtona
• 2Przejście od układu sprężynek o długości a do układu ciągłego i jego Lagrangian
• 3Sprzężenie hermitowskie pochodnej tensorowej
• 4Relatywistyczne równanie Kliena-Gordona, pole, jego Lagrangian
• 5Relatywistyczne równanie Diraca, pole i jego Lagrangian
• 6Równanie Kleina-Gordona, a równania Diraca w teorii kwantów

Symetria cechowania transformacji ładunkowej

• 1Globalna symetria cechowania czyli obrót o kąt niezależny od położenia
• 2Lokalna symetria cechowania czyli obrót o kąt zależny od położenia
• 3Maxwellowskie pole elektromagnetyczne, a lokalna symetria cechowania
• 4Lagrangian Diraca, a lokalna symetria cechowania z polem elektromagnetycznym

Funkcje Greena w teorii kwantów

• 1Funkcje Greena dla hamiltonianu Schrödingera
• 2Funkcja Greena a zmodyfikowane pole Kleina-Gordona

Asymptotyczne właściwości wektora własnego Hamiltonianu, a jego przekroje

• 1Fala asymptotyczna i jego przekrój różniczkowy i całkowity
• 2Asymptotyczne rozwiązanie Hamiltonianu a przybliżenie Borna
• 3Rozwinięcie w falach cząstowych S,P,D,...
  • 3.1Rozwinięcie funkcji rozwiązania operatora energii kinetycznej
  • 3.2Asymptotyczne rozwinięcie funkcji falowej rozwiązania Hamiltonianu

Wstęp do teorii promieniowania kwantów pola elektromagnetycznego

• 1Całkowity moment pędu kwantu pola elektromagnetycznego a jego obroty
• 2Wyznaczenie macierzy spinowych kwantów pola elektromagnetycznego
• 3Wektory spinowe, równania własne dla całkowitego momentu pędu kwantu

Zasada wariacyjna Schwingera

• 1Przejście między klasycznym i kwantowym Hamiltonianem, a zasada wariacyjna Schwingera
• 2Zasada wariacyjna, a pole Kleina-Gordona
• 3Zasada wariacyjna, a pole Diraca
• 4Własności operatorów kreacji i anihilacji, a pole Kleina-Gordona

Bibliografia

• Bibliografia

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.