Mechanika kwantowa

Książka wymaga poprawek językowych i stylistycznych.

Mechanika kwantowa zajmuje się opisem obiektów bardzo małych, których rozmiary są porównywalne z rozmiarami jego fali de Broglie'a. Ten dział fizyki dzielimy na mechanikę kwantową klasyczną, opisującą ciała bardzo małe i o prędkościach o wiele mniejszych od prędkości światła, a także na mechanikę relatywistyczną, opisującą ciała bardzo małe dodatkowo z prędkościami o porównywalnymi z prędkością światła. Natomiast mechanikę relatywistyczną dzielimy na mechanikę Klieina-Gordona opisujących cząstki bez spinu, a także na mechanikę Diraca opisujących elektrony.

Spis treści

Podstawy mechaniki kwantowej

1. Zasada Huygensa
2. Dualizm korpuskularno-falowy
3. Energia kwantu energii w zależności od częstotliwości kołowej lub częstości fali
4. Efekt fotoelektryczny
5. Fale de Broglie'a
6. Ciało doskonale czarne według Plancka
   1. Prawo Stefana-Boltzmanna
   2. Prawo przesunięć Wiena
7. Paczki falowe w nowej teorii kwantów
8. Prędkość grupowa paczki falowej i prędkość cząstki oraz dowód wzoru na fale de Broglie'a i energię kwantu
9. Warunek Braggów, a doświadczenie, fale materii

Teoria atomu wodoru Bohra

1. Teoria nierelatywistyczna Bohra atomów wodoropodobnych
   1. Postulaty teorii Bohra dla atomów wodoropodobnych
   2. Wyprowadzenie wzoru Rydberga
   3. Serie w atomie wodoru

Teoria atomu wodoru Sommerfelda

1. Teoria nierelatywistyczna atomów wodoropodobnych Sommerfelda
   1. Orbity eliptyczne w przybliżonym modelu atomu wodoru Sommerfelda

Postulat pierwszy mechaniki kwantowej

1. Współrzędne położenia i pędu w reprezentacji klasycznej i kwantowej
2. Kwadrat całkowitego operatora pędu
3. Newtonowski i einsteinowski lagrangian cząstki w polu elektromagnetycznym
4. Hamiltonian H w polu elektromagnetycznym, a energia mechaniczna bądź całkowita E
   1. Nierelatywistyczny (newtonowski) hamiltonian H w polu elektromagnetycznym, a energia mechaniczna E
   2. Relatywistyczny (einsteinowski) hamiltonian H w polu elektromagnetycznym, a całkowita energia E
5. Operator energii kinetycznej bez potencjału wektorowego w elektromagnetyzmie
6. Operator energii kinetycznej w polu elektromagnetycznym
7. Operator energii mechanicznej bez potencjału wektorowego w elektromagnetyzmie
8. Operator energii mechanicznej w polu elektromagnetycznym
9. Operator momentu pędu
10. Kwadrat operatora momentu pędu we współrzędnych kulistych
11. Operatory współrzędnych momentu pędu we współrzędnych kulistych
12. Operatory zdefiniowane w oparciu o operatory współrzędnych momentu pędu
13. Operatory zdefiniowane w oparciu o operatory współrzędnych momentu pędu we współrzędnych kulistych

Komutacja operatorów fizycznych

1. Komutacja współrzędnych operatora położenia
2. Komutacja współrzędnych operatora pędu
3. Komutacja współrzędnych operatorów położenia i pędu
4. Komutacja współrzędnych operatora pędu i momentu pędu
5. Komutacja współrzędnych operatora momentu pędu
6. Komutacja operatorów kwadratu momentu pędu i pewnej współrzędnej operatora momentu pędu
7. Komutacja operatorów ciąg dalszy

Postulat drugi mechaniki kwantowej

1. Warunki na funkcje własne równania własnego w mechanice kwantowej
2. Zagadnienie własne operatora położenia
3. Zagadnienie własne operatorów pędu
4. Zagadnienie własne operatora momentu pędu współrzędnej zetowej
5. Zagadnienie własne operatora kwadratu momentu pędu
6. Zagadnienie własne operatora energii cząstki swobodnej
7. Zagadnienie własne operatora energii mechanicznej
8. Ruch cząstki w polu potencjalnym o symetrii sferycznej
9. Atom wodoru w mechanice kwantowej

Zaawansowane własności funkcji kulistych

1. Własności funkcji kulistych
2. Elementy macierzowe operatorów momentu pędu
3. Współrzędne operatorów momentu pędu a funkcję kuliste

Postulat trzeci mechaniki kwantowej

1. Współczynniki rozwinięcia funkcji w danej bazie dyskretnej
2. Współczynniki rozwinięcia funkcji w danej bazie ciągłej
3. Wartość średnia w mechanice kwantowej
4. Średnia wartość uzyskanych wyników pomiarów
5. Interpretacja funkcji falowej
6. Reprezentacja położeniowa i pędowa
7. Zasada Heisenberga, czyli zasada jednoczesnego pomiaru kilku wartości

Postulat czwarty mechaniki kwantowej

1. Wyprowadzenie równania falowego zależnego i niezależnego od czasu
2. Nieoznaczność czasu i energii (dowód)
3. Rozwiązanie równania zależnego od czasu przy hamiltonianie niezależnym od czasu
4. Operator ewolucji
5. Gęstość znalezienia cząstki w całej przestrzeni trójwymiarowej
6. Charakter falowy funkcji stanu

Proste przykłady zagadnień kwantowomechanicznych

1. Cząstka w nieskończenie głębokiej studni potencjału
2. Cząstka w skończonej studni potencjału
   1. Stany związane
      1. Współczynniki rozwiązań parzystych
      2. Współczynniki rozwiązań nieparzystych
      3. Funkcje parzyste i nieparzyste
      4. Normowanie funkcji parzystych
      5. Normowanie funkcji nieparzystych
      6. Energie własne stanów związanych
      7. Prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w studni potencjału
   2. Stany rozproszeniowe
      1. Współczynnik odbicia i transmisji
      2. Rezonanse
      3. Dyskusja o energiach rezonansowych dla rozpraszania niskoenergetycznego
      4. Rozpraszanie niskoenergetyczne
      5. Zależność współczynnika odbicia R i transmisji T od energii cząstki
      6. Szerokość rezonansów

Równanie Ehrenfesta

1. Równanie Ehrenfesta
2. Równanie Ehrenfesta dla cząstki w polu bez potencjału wektorowego magnetycznego
3. Równanie Ehrenfesta dla cząstki w polu z potencjałem wektorowym i skalarnym magnetycznym

Cząstki o spinie połówkowym

1. Moment magnetyczny, a spin
2. Warunki komutacji operatorów spinu
   1. Ogólne warunki komutacji spinu
3. Wzór na operator spinu w zależności od operatorów (macierzy) Pauliego
4. Warunki komutacji operatorów (macierzy) Pauliego
   1. Ogólna postać komutacji macierzy Pauliego
   2. Szczególne postacje komutacji macierzy Pauliego
5. Wyznaczanie warunków antykomutacyjnych macierzy Pauliego
   1. Postacie szczególne antykomutacji macierzy Pauliego
   2. Postać ogólna antykomutacji macierzy Pauliego
6. Wyznaczanie macierzy Pauliego
   1. Postać macierzy Pauliego σ_x
   2. Wyznaczanie dalszych macierzy Pauliego
   3. Postacie trzech macierzy Pauliego σ_x, σ_y i σ_z
   4. Operatory σ_i jako operatory hermitowskie
7. Sprawdzenie własności macierzowych na macierzach Pauliego
   1. Sprawdzenie komutacji macierzy Pauliego σ_i
   2. Sprawdzenie antykomutacji macierzy Pauliego σ_i
8. Wyznaczanie trzech macierzy Pauliego σ₊, σ_- i σ₀
   1. Wyznaczanie warunków komutacyjnych macierzy σ₊, σ_- i σ₀
      1. Szczególne warunki komutacji macierzy σ₊, σ_- i σ₀
   2. Własności działania operatorów σ₊, σ_- i σ₀ na wektory pionowe dwuwymiarowe χ₁ i χ₂

Zakaz Pauliego dla układu wielu cząstek

1. Układy nierozróżnialnych cząstek kwantowych jednakowego rodzaju
   1. Przypadek układu dwóch cząstek kwantowych
   2. Przypadek układu n cząstek kwantowych

Kwantowy oscylator harmoniczny

1. Kwantowy jednowymiarowy oscylator harmoniczny
   1. Zamiana zmiennych
   2. Rozwiązania asymptotyczne
   3. Równanie różniczkowe dla funkcji aplitudowej rozwiązania asymptotycznego
   4. Rozwiązania aplitudowe funkcji asymptotycznej
   5. Rozwiązania funkcji własnych równania własnego operatora energii oscylatora harmonicznego
2. Kwantowy trójwymiarowy oscylator harmoniczny
   1. Radialne równanie trójwymiarowego oscylatora harmonicznego
   2. Część radialna rozwiązania względem rozwiązań Laguerra
   3. Rozwiązania względem równania różniczkowego Laguerra
   4. Wartości własne energii własnych
   5. Funkcje własne trójwymiarowego kwantowego oscylatora harmonicznego
   6. Operator energii całkowitej z uwzględnieniem oddziaływania spin-orbita

Wprowadzenie do teorii wektorów Diraca

1. Własności wektorów "bra" i "ket"
2. Operatory w przestrzeni Hilberta
3. Zagadnienie własne operatorów hermitowskich
4. Reprezentacja dowolnego keta w bazie dyskretnej
5. Reprezentacja dowolnego keta w bazie ciągłej
6. Wektory i wartości własne w widmie dyskretnym
7. Wektory i wartości własne w widmie ciągłym
8. Wprowadzenie do transformacji unitarnej

Kwantowa teoria całkowitego momentu pędu

1. Dodawanie dwóch momentów pędu a współczynniki Clebscha-Gordona
   1. Ortogonalizacja współczynników Clebscha-Gordona
   2. Tabela współczynników Clebscha-Gordona
2. Dodawanie trzech momentów pędu a współczynniki Racah
3. Model jednocząstkowego momentu magnetycznego
4. Energia sprzężenia spin-orbita w polu magnetycznym
   1. Energia sprzężenia spin-orbita w przypadku silnego pola magnetycznego
   2. Energia sprzężenia spin-orbita w przypadku słabego pola magnetycznego

Wprowadzenie do interpretacji fizycznych operatorów

1. Zasada superpozycji stanów
2. Zespoły czyste i mieszane
3. Obrazy według Schrödingera i Heisenberga
4. Operatory kreacji i anihilacji
   1. Reprezentacja liczby obsadzeń-operatory kreacji i anihilacji fermionów
      1. Operator liczby obsadzeń fermionów na k-tej stanie
      2. Krótkie wprowadzenie do operatorów kreacji i i anihilacji
         1. Fermiony
         2. Bozony
      3. Działanie operatorów kreacji i anihilacji na dany stan fermionowy
      4. Wyrażanie operatorów kreacji i anihilacji fermionów
      5. Przykłady stanów fermionowych i działania na te stany operatorów kreacji i anihilacji
   2. Reprezentacja liczby obsadzeń-operatory kreacji i anihilacji bozonów
   3. Wyrażenie operatora hamiltonianu poprzez operatory kreacji i anihilacji

Symetrie, a prawa zachowania wartości średniej

1. Wprowadzenie do symetrii zasad zachowania
2. Obroty, a prawo zachowania momentu pędu
3. Przesunięcia w przestrzeni euklidesowej, a prawo zachowania pędu
4. Transformacja inwersji przestrzeni, a prawo zachowania parzystości

Relatywistyczna teoria kwantów Kleina-Gordona

1. Równania mechaniki kwantowej relatywistycznej Kleina-Gordona
2. Wyprowadzenie równań mechaniki kwantowej relatywistycznej Kleina-Gordona zależnego i niezależnego od czasu
3. Równanie Schrödingera jako szczególny przypadek teorii kwantów Kliena-Gordona
4. Ruch swobodny elektronu według teorii Kliena-Gordona
5. Atom wodoru według teorii Kleina-Gordona

Wyprowadzenie relatywistycznej teorii kwantów Diraca

1. Równania mechaniki kwantowej relatywistycznej Diraca
   1. Linearyzacja Hamiltonianu
      1. Linearyzacja operatora energii relatywistycznej bez uwzględnienia pola magnetycznego
      2. Linearyzacja operatora energii relatywistycznej z uwzględnieniem pola magnetycznego
         1. Definicja operatorów σ_i
         2. Przedstawienie w postaci wektorowej operatorów σ_i w zależności od iloczynu wektorowego dwóch takich samych wektorów α zbudowanej jako wektor operatorów α_i
         3. Macierzowe przedstawienie operatorów β, α_x, α_y i α_z
         4. Macierzowe przedstawienie operatorów σ_x, σ_y i σ_z
         5. Komutacja operatorów α_i
         6. Antykomutacja operatorów α_i
         7. Antykomutacja operatorów α_i z operatorem β
         8. Operatory σ_i jako operatory hermitowskie
         9. Antykomutacja operatorów σ_i
         10. Komutacje operatorów σ_i
         11. Dalsze rozważania na temat operatora Hamiltonianu
   2. Pełne równanie Diraca z uwzględnieniem pól elektrycznych, magnetycznych i innych
2. Wyprowadzenie równania własnego zależnego i niezależnego od czasu równań mechaniki kwantowej relatywistycznej Diraca
   1. Równanie własne operatora energii relatywistycznej
   2. Równanie własne operatora energii (hamiltonianu Diraca) dla słabych i małych zmian pola magnetycznego
   3. Dowód operatora energii (hamiltonian Diraca) i jego równania własnego dla pól elektrycznych i magnetycznych
   4. Równanie zależne od czasu mechaniki kwantowej Diraca

Wnioski wynikające z mechaniki kwantowej Diraca

1. Uogólnienie klasycznego Hamiltonianu o moment magnetyczny elektronu (q=e)
2. Prawo zachowania momentu pędu, a spin elektronu w teorii Diraca, w zerowym polu elektrycznym i magnetycznym
3. Atom wodoru według teorii Diraca
4. Ruch swobodny elektronu według teorii Diraca
5. Stany elektronu o ujemnej energii, a istnienie pozytonu

Teoria pola we wzorach Eulera-Lagrange'a

1. Przejście między równaniem Eulera-Lagrange'a a równaniem Newtona
2. Przejście od układu sprężynek o długości a do układu ciągłego i jego Lagrangian
3. Sprzężenie hermitowskie pochodnej tensorowej
4. Relatywistyczne równanie Kliena-Gordona, pole, jego Lagrangian
5. Relatywistyczne równanie Diraca, pole i jego Lagrangian
6. Równanie Kleina-Gordona, a równania Diraca w teorii kwantów

Symetria cechowania transformacji ładunkowej

1. Globalna symetria cechowania czyli obrót o kąt niezależny od położenia
2. Lokalna symetria cechowania czyli obrót o kąt zależny od położenia
3. Maxwellowskie pole elektromagnetyczne, a lokalna symetria cechowania
4. Lagrangian Diraca, a lokalna symetria cechowania z polem elektromagnetycznym

Funkcje Greena w teorii kwantów

1. Funkcje Greena dla hamiltonianu Schrödingera
2. Funkcja Greena a zmodyfikowane pole Kleina-Gordona

Asymptotyczne właściwości wektora własnego Hamiltonianu, a jego przekroje

1. Fala asymptotyczna i jego przekrój różniczkowy i całkowity
2. Asymptotyczne rozwiązanie Hamiltonianu a przybliżenie Borna
3. Rozwinięcie w falach cząstowych S,P,D,...
   1. Rozwinięcie funkcji rozwiązania operatora energii kinetycznej
   2. Asymptotyczne rozwinięcie funkcji falowej rozwiązania Hamiltonianu

Wstęp do teorii promieniowania kwantów pola elektromagnetycznego

1. Całkowity moment pędu kwantu pola elektromagnetycznego a jego obroty
2. Wyznaczenie macierzy spinowych kwantów pola elektromagnetycznego
3. Wektory spinowe, równania własne dla całkowitego momentu pędu kwantu

Zasada wariacyjna Schwingera

1. Przejście między klasycznym i kwantowym Hamiltonianem, a zasada wariacyjna Schwingera
2. Zasada wariacyjna, a pole Kleina-Gordona
3. Zasada wariacyjna, a pole Diraca
4. Własności operatorów kreacji i anihilacji, a pole Kleina-Gordona

Bibliografia

• Bibliografia

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.