Metody numeryczne fizyki/Rozwiązywanie równań różniczkowych cząstkowych z warunkami początkowymi

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Metody numeryczne fizyki
Metody numeryczne fizyki
Rozwiązywanie równań różniczkowych cząstkowych z warunkami początkowymi

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Będziemy się tutaj zajmowali równaniami cząstkowymi względem różnych parametrów wraz z warunkami brzegowymi.

Wprowadzenie do równań różniczkowych cząstkowych[edytuj]

Przykładem równania brzegowego jest:

(8.1)

Rozwiązaniem równania różniczkowego (8.1) jest u=u(x,t), które jest spełnione wewnątrz prostokąta D={(x,t):0≤x≤l,0≤t≤T}, którego warunkami brzegowymi są u(x,0)=g(x), 0≤x≤l, a także u(0,t)=φ(t) oraz u(l,t)=ψ(t) dla 0≤t≤T. Opisane powyżej zagadnienia nazywamy zagadnieniami brzegowymi pierwszego rodzaju lub zagadnieniami Dirichleta.

Sprowadzanie pochodnych cząstkowych do zagadnień różnicowych[edytuj]

Weźmy sobie prostokąt o osiach położenia x i czasu t, który podzielimy na malutkie prostokąciki o kroku h względem osi położenia i o kroku k względem osi czasowej:

(8.2)

Obierzmy sobie operator Λ, który w wyniku działania na funkcję u(x,t), otrzymamy pewne wyrażenie różnicowe, które możemy przedstawić względem pochodnych cząstkowych pierwszego rzędu względem czasu i drugiego rzędu względem położenia.




(8.3)



(8.4)

Weźmy teraz rodzinę operatorów różnicowych , który jest zależny od parametru σ i operatora Λ i na samym końcu od funkcji u(x,t), i na podstawie (8.3) i (8.4), mamy:





(8.5)

Oznaczmy teraz przez u(x,t) dokładne rozwiązanie pewnego zagadnienia różnicowego, a v(x,t) rozwiązanie jego odpowiednika różnicowego. Rozpocznijmy rozważania nad warunkami brzegowymi, które to możemy przedstawić jako: vi,0=gi dla i=1,...,N-1, gdzie gi=g(ih). W wezłach (0,j) i (N,j) możemy przedstawić warunki brzegowe v0,jj i vN,jj dla j=0,1,...,M. W węzłach (i,j) podczas działania operatora na funkcję vij zapisaną w kolejnych węzłach otrzymujemy równanie zależne od parametru σ oraz od "h", "k", "i" i "j":

(8.6)

We wzorze (8.6) użyto oznaczenia fi,j+1/2=f(ih,jk+k/2). Wykorzystując definicję zapisaną na początku obliczeń (8.5), to równanie (8.6), przy założeniu α=k/h2, możemy przepisać do postaci:




(8.7)

W równaniu (8.7) należy przyjąć σ≠0, wtedy ono wiąże wartości vij w sześciu węzłach, ale już dla σ=0 lub σ=1 wartości vij wiążą w czterech węzłach. Gdy σ=0 równanie (8.7) możemy przepisać jako:

(8.8)

Natomiast, gdy α≠0 równanie (8.7) zapisujemy w postaci macierzowej:

(8.9)

Co rozpisując poszczególne macierze i wektory występujące w równaniu (8.9), otrzymujemy:

(8.10)
(8.11)

Macierz (8.10) jest macierzą silnie diagonalnie dominującą dla σ>0, zatem układy równań o takich macierzach mają jednoznaczne rozwiązanie. Ale już dla σ<0, macierz (8.10) już nie jest macierzą diagonalnie dominującą. Można udowodnić, że układy o takich macierzach dla pewnej wartości σ<0 macierz (8.10) może być macierzą osobliwą Oznaczmy przez , która oznacza zbiór funkcji określonych na zbiorze , które ma m ciągłych pochodnych względem x i n ciągłych pochodnych względem t. Patrząc na obliczenia (8.5) dochodzimy do dwóch wniosków jedno dla σ=1/2 (dla ), a drugie dla σ≠1/2 (dla ):

(8.12)
(8.13)

Stabilność rozwiązań równań cząstkowych z warunkami brzegowymi i jego zbieżność[edytuj]

Weźmy dwie takie funkcje f(x,t), dwie funkcje g(x), która jest warunkiem brzegowym początkowym dla t=0 dla funkcji v(x,t), i na samym końcu dwie funkcje v. Jedne funkcje oznaczymy bez daszka, a drugie z daszkiem, wtedy możemy napisać oznaczenia:, i , wtedy równanie (8.7) możemy przepisać jako:





(8.14)

Warunki początkowe na równanie (8.12) są bardzo podobne do warunków początkowych (8.6), i dlatego nie będziemy tutaj rozważać. Warunki brzegowe jakie wchodzą do równania (8.14) zwykle są obarczone pewnymi błędami. Zaburzenia spowodowane funkcjami f,g,φ,ψ, które występują w równaniu (8.1) i w jego warunkach brzegowych powodują, że przy zagęszczaniu siatki powodują, że zmiany w poszczególnych warstwach wzrastają nieograniczenie. Tutaj będziemy dlatego rozważać, że f i g są obarczone pewnymi błędami, a pozostałe funkcje są są wyznaczane dokładnie, tzn. φ i ψ. Jeśli chcemy określić jakie są zmiany w kolejnych warstwach wprowadza się normę ||⋅|| w klasie funkcji, którego argumentami jest zmienna xi=ih. Weźmy sobie Y=Y(x,t), wtedy przez Yr oznaczmy funkcję, dla której dziedziną jest zbiór zmiennych oznaczony przez xi, która przyjmuje wartości Y(ih,rk) dla t=rk. Wtedy możemy określić, czy (8.12) jest stabilna względem prawej strony i warunku początkowego, wtedy musimy określić stałe dodatnie, jeśli istnieją takie, że dla dowolnych funkcji G możemy napisać warunek:

(8.15)

Jeśli dodatkowo mamy tożsamościowo F=0 lub G=0, to wtedy na podstawie tego dla zachodzącej tożsamości (8.14) możemy określić metodę, którą nazwiemy stabilną względem warunku początkowego lub stabilną względem prawej strony, która wedle (8.13) możemy zapisać w postaci dwóch nierówności :

(8.16)
(8.17)

Widzimy, że małe zmiany funkcji g(x) dla t=0, a także małe zmiany funkcji f dla t=(j+1/2)k, dla j=0,1,..,M-1 powodują małe zmiany rozwiązania całego funkcji u(x,t). Zdefiniujmy normę:

(8.18)

Naszym dalszym celem jest udowodnienie nierówności, którą napiszemy w postaci poniżej zależne od normy ||G|| oraz od ||Fj+1/2||:

(8.19)

Określmy, teraz dwie funkcje y i Y, które są określone na zbiorze xi dla i=0,1,..,N, wtedy zdefiniujmy taki operator P, który na działaniu na funkcję yi otrzymujemy pewną kombinację liniową yi+1, yi, yi-1:

(8.20)
Twierdzenie pierwsze
Weźmy sobie ciąg niestałej funkcji y i jeśli zachodzi Pyi≥0 (Pyi≤0), to wtedy yi nie może mieć wartości największej dodatniej (najmniejszej ujemnej) w punktach xi określonych dla i=1,..,N
Dowód
Udowodnijmy pierwszą część twierdzenia powyższego, gdy Pyi≥0, to yi nie może przyjmować wartości największej dodatniej. Będziemy dowodzili to twierdzenie nie wprost. W tym celu weźmy takie największe ys, by by przyjmowało wartość , wtedy napiszmy prawą stronę (8.18) dla i=s w sposób:
(8.21)
Otrzymaliśmy w (8.21), że to wyrażenie Pyi jest mniejsze od zera, a powinno być większe lub równe niż zero, co otrzymaliśmy sprzeczność, co znaczy, że udowodniliśmy pierwszą część powyższego twierdzenia. Drugą jego część dowodzimy podobnie.
Twierdzenie drugie
Jeśli zachodzi nierówność pierwsza |Pyi|≤-PYi dla i=1,...,N-1, nierówność druga |y0|≤Y0 i na ostatku nierówność trzecia |yn|≤YN, to wtedy zachodzi |yi|≥Yi dla i=0,1,..,N.
Dowód
Z nierówności pierwszej dowodzonego twierdzenia możemy powiedzieć P(Yi-yi)<0 i P(Yi+yi)<0, co z twierdzenia pierwszego wynika, że wartości Yi-yi, Yi+yi przyjmują wartości dodatnie, stad biorąc jeszcze drugą i trzecią nierówność dowodzonego twierdzenie udowodniliśmy, że zachodzi |yi|≤Yi
Twierdzenie trzecie
Jeśli zachodzi PYi=-H dla H≥0, a także Y0=YN=0, to zachodzi nierówność Yi≤H dla i=0,1,...,N
Dowód
Dla i=0 i i=N na pewno zachodzi Yi≤H, By udowodnić nasze twierdzenie dla i=1,..,N-1 weźmy takie Ys, dla s=1,..,N-1, by przyjmowało wartość największą równą H, wtedy możemy napisać:
(8.22)
Stąd dochodzimy do wniosku, że Yi≤H dla i=0,1,..,N.

Wzór (8.12) możemy zapisać, wiedząc, że istnieje największa wartość Vi,j i Fi,j+1/2 po prawej stronie naszego równania:

(8.23)

Obierzmy sobie ograniczenie na σ, tzn. pierwsze ograniczenie 0≤σ≤1, i drugie ograniczenie wykorzystując definicję α, wtedy:

(8.24)

Jesli wybierzemy największą wartość Vi,j względem "i" i wykorzystując (8.22), wtedy otrzymujemy (8.23) i pamiętając o ograniczeniu na σ, dalej używając jeszcze twierdzenie drugie i trzecie, dochodzimy do wniosku:

(8.25)

Pierwszy wyraz w (8.23) po jego prawej stronie możemy rozwinąć używając tego samego równania aż do ||V0||, otrzymujemy:



(8.26)

Weźmy sobie równanie (8.14) i do niego podstawmy rozwiązanie zależne od λs, która nie zależy od "i" i "j", które zapisujemy w postaci:

(8.27)

Co po podstawieniu (8.27) otrzymujemy:


(8.28)

We wzorze (8.28) będziemy wykorzystywać wzory z trygonometrii, co tuż po wykorzystaniu nasze równanie dzielimy przez , w ten sposób otrzymujemy tożsamość:

(8.29)

Rozwiązaniem całego zagadnienia (8.12) jest kombinacją liniową względem wskaźnika "s" (8.27):

(8.30)

Funkcja Gi, czyli funkcja (8.30) zapisana dla j=0, spełnia równanie zapisane bez udziału współczynników λs, ale przy udziale parametru N (która jest ilością punktów na osi iskowej w przedziale zmienności o długości "l" i "i", który jest numerem punktu na osi iksowej):

(8.31)

Mnożymy wyrażenie (8.29) przez oraz z sumując tak otrzymane równanie:

(8.32)

Wyznaczmy teraz sumę, którą wykorzystamy w obliczeniach (8.32), do którego wykorzystamy obliczenia przeprowadzone w punkcie (2.49):

(8.33)

Wykorzystując obliczenia przeprowadzone w punkcie (8.33) obliczenia (8.32) możemy dokończyć do końca i przepisać gotowy wynik na współczynnik as:

(8.34)

Funkcja (8.28) jest określona przy pomocy λs (8.29) i przy pomocy współczynników as (8.34). Zbudujmy iloczyn skalarny oparty o iloczyn funkcji V i W przy kroku h:

(8.35)

Jest ona różnicowym odpowiednikiem . Weźmy sobie ciąg funkcji zależnych od s, który definiujemy w zależności od "l" przedstawiający długość osi iksowej, dla której jest słuszne rozwiązanie Xr(x):

(8.36)

Ciąg funkcji X1(x), X2(x),...,XN-1 jest ortogonalny na zbiorze punktów dla i=1,...,N-1, tzn.:


(8.37)

Funkcję (8.28) zapisujemy przy pomocy funkcji (8.36) i względem wskaźników "j" i "i" oraz od długości przedziału zmienności iksów:

(8.38)

Napiszmy czemu jest równa norma ciągu (8.38), który napiszemy przy definicji iloczynu skalarnego (8.35):

(8.39)

Gdy we wzorze (8.39) mamy j=0, to możemy napisać normę funkcji G wychodząc od normy funkcji Vi,j zależną od kwadratów współczynników as i od długości przedziału zmienności iksów, czyli "l":

(8.40)

Natomiast, gdy |λs|≤1, to normę ||Vj|| zapisujemy w zależności od współczynników as, jak się przekonamy, że opisywana norma jest zawsze mniejsza od normy ||G|| (8.40):

(8.41)

Zbadajmy dla jakich współczynników σ,h,k zachodzi |λs|≤1, s=1,..,N-1, jeśli definicję λs zapisaliśmy w punkcie (8.27):



(8.42)

Z nierówności (8.40) możemy wywnioskować dla s=1,...,N-1 i z definicji funkcji sinus:

(8.43)

Jeśli natomiast σ<1/2, to na podstawie obliczeń (8.43) ograniczenie na stosunek liczby k przez kwadrat liczby h2:

(8.44)

dla tego σ opisywana metoda jest stabilna względem warunku początkowego. Dla σ=0 okreslenie równania różnicowego jest zadaniem bardzo prostym. Już dla σ≥1/2 metoda różnicowa jest słuszna dla dowolnych h i k. Wykażemy, jeśli (gdzie ε jest dowolną stałą dodatnią), to ona jest niestabilna względem normy ||⋅||L2. Obierzmy N na tyle duże, by spełniony warunek s0<N, takie by był spełniony warunek |λs0|>1+ε1, wtedy na podstawie (8.39) powiemy:

(8.45)

Gdy k=0, wtedy "j" jest bardzo duże, i dlatego wyrażenie (8.45) dąży do nieskończoności. Rozpatrzmy przypadek σ=0, wtedy drugą pochodną w równaniu przewodnictwa cieplnego możemy przybliżyć wyrażeniem w postaci ilorazu różnicowego przy oznaczeniu Ui(t)=u(x,t):

(8.46)

Równanie (8.1) w takim bądź razem zapisujemy przy rozbiciu drugiej pochodnej wielkości U(x,t) względem położenia na wyrazenie różnicowe (8.44):

(8.47)

Dla którego mamy warunki brzegowe U0(t)=φ(t) i UN(t)=ψ(t) dla 0≤t≤T i z warunkiem poczatkowym Ui(0)=G(xI) dla i=1,...,N-1. Równanie (8.45) możemy zapisać w postaci macierzowej wzgledem wektora pionowego opisującego wielkość, którego elementami są Ui:

(8.48)

z warunkiem początkowym U(0)=G. Macierze występujące w (8.48) są to obiekty zdefiniowane jako:

(8.49)
(8.50)
(8.51)
(8.52)

Równania różnicowe i ich zbieżność względem parametrów siatki względem osi położenia i czasu[edytuj]

Weźmy sobie definicję , gdy jest spełnione Gi=0, wtedy możemy odjąć równanie (8.12) i (8.13) od równania (8.6), w ten sposób możemy otrzymać ograniczenie od góry na |Fi,j+1/2| dla odpowiednich σ przy użyciu stałych c1, c2:

(8.53)

Patrząc na udowodnione twierdzenie (8.26) otrzymane w końcowym wniosku w tym punkcie, a także wykorzystując (8.53), otrzymujemy bardzo ważny wniosek na oszacowania różnicy vij-uij względem normy ||⋅||c:


(8.54)

Norma błędu dąży do zera, gdy wielkości "h" i "k" dążą do zera, przy zastąpieniu równania różniczkowego równaniem różnicowym, co na podstawie (8.54) możemy powiedzieć:

(8.55)

Zbieżność przy nieskończonym zagęszczaniu siatki[edytuj]

Równanie różnicowe (8.7) podobnie się rozwiązuje jak równanie (8.14), to na podstawie (8.30) i wzoru na λs (8.29) możemy otrzymać wzór na vij przy założeniu i σ=0, wiedząc przy tym, że x=ih i t=jk, dalej przechodząc do granicy h→0 i k→0, otrzymujemy ważne dokładne rozwiązanie:


(8.56)

Rozwiązanie równania (8.1) przy f(x,t)=0 jest u(x,t)=e2tsinπx.

Rozwiązywanie różnicowego równania według schematu blokowego[edytuj]

Równanie (8.7) dzielimy przez -ασ i w rezultacie otrzymujemy następne równanie przy definicji :



(8.57)

Rozwiązanie (8.57) będziemy wyznaczać kolejno warstwami dla t=jk. Dla każdej warstwy mamy do rozwiązania N-1 równań tworzące jeden układ równań. Tutaj będziemy rozważać "j" jako ustalona liczba. Ponieważ równanie (8.57) zapisujemy względem macierzy trójdiagonalnej, który zapisujemy w formie (5.93). Podczas działania macierzy trójdiagonalnej na macierz o elementach vi,j (które będziemy wyznaczać) otrzymujemy wektor pionowy o elementach rij. Z tożsamości (5.103) otrzymujemy zależność łączącą vi,j z vi+1,j poprzez parametry pi i ti,j:

(8.58)

wyznaczmy elementy pi wykorzystując wzór (5.98) oraz (5.99), wtedy możemy napisać związek rekurencyjny pi względem pi-1 w zależności dodatkowo od parametru "s" zdefiniowanego powyżej:

(8.59)
(8.60)

Dalej jeśli wykorzystamy równanie (5.101), to otrzymamy zależność rekurencyjną ti,j w zależności od ti-1,j poprzez parametr ri,j zdefiniowanej w punkcie (8.57) w jego drugiej linijce:

(8.61)

Patrząc na (8.57) na trzecią linijkę (pierwszy wzór w tej linijce), a także na wzór (8.60) i (8.58), dochodzimy natychmiast, że:

(8.62)

Drgająca struna[edytuj]

Równanie struny jednorodnej jako przykład równania hiperbolicznego przedstawimy jako równanie różniczkowe, w której wyznaczaną funkcją jest u(x,t), którą wyznaczamy względem funkcji f(x,t):

(8.63)

Równanie (8.63) jest określone w dziedzinie napisanej wewnątrz prostokąta . Warunkiem początkowym dla rozwiązania struny jednorodnej (8.63) jest u(x,0)=g(x) i dla 0≤x≤l, a warunkami brzegowymi są u(0,t)=φ(t), u(l,t)=ψ(t) dla 0≤t≤T. Zdefiniujmy operator , który działa na funkcję vij wedle:

(8.64)

Zakładamy, że naszymi warunkami brzegowymi są vi,0=gi dla i=1,...,N-1 i v0,jj, vN,jj dla j=0,1,...,M, gdzie gi=g(xi), φi=φ(tj) oraz ψj=ψ(tj). Jeśli obierzemy funkcję dla dowolnego parametru σ, która nie zależy od parametru podziału siatki, tzn. od h, k, wtedy możemy napisać:

(8.65)

Rozważmy przypadek brzegowy dla czasu równego zero, co na tej podstawie równania (8.63) iloraz różnicowy funkcji u(x,t) piszemy:


(8.66)

Jeśli będziemy rozpatrywać funkcje vi,j dla warunku początkowego, to na podstawie (8.66) możemy napisać równość:

(8.67)

Równanie (8.64) będziemy rozwiązywać warstwami dla i=1,..,N-1 i go możemy przepisać w postaci dwóch równości przy pewnej definicji rij:

(8.68)
(8.69)

Rozwiązywanie równań Poissona metodami różnicowymi[edytuj]

Weźmy najprostszy przykład równania Poissona obowiązującego w przestrzeni trójwymiarowej:

(8.70)

Funkcja f(x,y) w powyższym równaniu powinna być ciągła na obszarze . Rozpatrzmy dla równania (8.69) zagadnienie brzegowe pierwszego rodzaju (zagadnienie Dirichleta), który wewnątrz tego obszaru u(x,y) spełnia równanie Poissona, a na brzegu tego obszaru jest spełnione zagadnienie , gdzie funkcja φ jest określona na brzego Γ. Rozpatrzmy drugie pochodne na obszarze Γ.

(Rys. 8.1) Siatka prostokątna a równanie Poissona

Rozpatrzmy drugie pochodne w węźle zerowym, tzn. , , które zapisujemy sposobem:

(8.71)
(8.72)

Całe równanie Poissona (8.69) dla węzła zerowego możemy zapisać jako:

(8.73)

Jesli natomiast będziemy rozważać funkcje , gdzie jest klasą funkcji mające ciągłe pochodne do rzęd m-tego włącznie w zbiorze , to możemy napisać:

(8.74)

Użyjmy dziewięć punktów opisane na rysunku obok, dzięki któremu równanie aproksymacyjne, które po odpowiednim przegrupowaniu wyrazów, możemy napisać:


(8.75)
(Rys. 8.2) Siatka trójkątna
(Rys. 8.3) stw

Rozpatrzmy siatkę trójkątną wyglądającą jak w powyższych rysunkach, wtedy równanie różnicowe symbolizujące równanie Poissona (8.69) jest:

(8.76)

Problem Dirichleta w aproksymacji różnicowej[edytuj]

(Rys. 8.4) Krzywa z zaznaczeniem punktów należących do krzywej Γ i punktów wewnętrznych D

Określmy sobie zbiór składających się z punktów wewnętrznych D i punktów krzywej Γ, wtedy możemy poszukiwać rozwiązania zagadnienia Dirichleta, pokrywając płaszczyznę prostokątną siatką prostych:

(8.77)

Określmy przez zbiór węzłów należących do zbioru wyżej określonego, które dzielimy na zbiór węzłów wewnętrznych ω i na zbiór węzłów brzegowych. Dwa punkty nazywamy sąsiednimi, gdy jest spełniony warunek:

(8.78)

Węzeł nazywamy wewnętrzny, jeśli każdy jego sąsiad leży w zbiorze , a pozostałe węzły nazywamy brzegowymi. Zbiór węzłów brzegowych podzielmy na dwa zbiory, zbiór γ1, które leżą bezpośrednio na krzywej Γ, a pozostałe węzły brzegowe oznaczmy przez γ2. Przez zamalowane kółeczko na rysunku obok będziemy oznaczać węzły ω, a przez niezamalowane kółeczko węzły γ1, a przez niezmalowaną gwiazdkę węzły γ2. Jeśli punkt , to na pewno powiemy:

(8.79)
(Rys. 8.5) Interpolacja wartości

Dla punktów węzłowych siatki w obszarze D równanie różnicowe symbolizujące równanie Poissona piszemy:


(8.80)

Dla punktów brzegowych, ale nieleżących na krzywej Γ, czyli należącej do obszaru γ2 można w przybliżeniu napisać vij=φ(Bij). Dla punktów brzegowych można policzyć wartość vij znając wartość funkcji v(x,y) na krzywej Γ (punkt B) i znając wartość dla punktów wewnętrznych (punkt C) według interpolacji liniowej jak to podał Colatz z błędem O(h2+k2) według wzoru:

(8.81)
(Rys. 8.6) Zastosowanie równania różnicowego dla poszczególnych punktów

Weźmy sobie punkt A, który jest punktem brzegowym należącym do zbioru γ2. Weźmy dodatkowo cztery punkty, które otaczają ten punkt A, które z tych punktów są albo węzłami, albo punktami przecięcia siatki z krzywą Γ, wtedy równanie różnicowe możemy zapisać przez:


(8.82)

We wzorze (8.82) w punktach, które pokrywają się z punktami na krzywej γ podstawiamy wartości funkcji φ w tychże punktach. Równanie (8.82) możemy zapisać w sposób bardziej przekształcony pisząc je:

(8.83)

Rozwiązywanie równań różnicowych w wykorzystaniem zbieżności jednostajnej[edytuj]

Jeśli będziemy korzystać z równości (8.79) i vij=φ(Bij), wtedy oszacowanie maksymalne pomiędzy wartością uij, a vij jest:

(8.84)

a jeśli weżniemy pod uwagę (8.79), (8.81) i (8.79), (8.82), wtedy oszacowanie błędu pomiędzy wartościami uij i vij jest:

(8.85)

Dla węzłów, których wartości są vij możemy zbudować twierdzenia, które jest bardzo łatwo udowodnić na podstawie rozdziału Stabilność rozwiązań równań cząstkowych z warunkami brzegowymi i jego zbieżność, które tutaj przedstawimy bez dowodu:

Twierdzenie pierwsze
Dla v niestałego wyrażenie Lh,k≥0 (Lh,k≤0) funkcja w węzłach wewnętrznych nie może przyjmować wartości największej (najmniejszej).
Twierdzenie drugie
Jeśli są spełnione warunki na węzłów wewnętrznych |Lh,kvij|≤-Lh,kYij i |vij|≤Yij dla węzłów brzegowych, to wtedy na pewno dla węzłów brzegowych i wewnętrznych spełniony jest warunek |vij|≤Yij.

Równanie (8.79) ma jednoznaczne rozwiązanie w funkcjach vij, w tym celu należy rozwiązać równanie jednorodne:

(8.86)

i stwierdzić czy ono ma tylko rozwiązania vij zerowe, ale przy wykorzystaniu twierdzenia pierwszego stwierdzamy, że nie ma ani rozwiązań dodatnich, ani ujemnych, zatem jedynymi rozwiązaniami są rozwiązania zerowe. Objeżmy sobie funkcję v=z+q, wtedy możemy powiedzieć dla funkcji "z", że Lh,kzi,j=0 dla punktów wewnętrznych i zij=φ(Bij) dla punktów brzegowych, a także dla funkcji "q" zachodzą dwa warunki Lh,kqij=fij dla punktów wewnętrznych i qij=0 dla punktów brzegowych. Na podstawie powyższych wniosków możemy powiedzieć:

(8.87)

Przyjmijmy teraz funkcję Y(x,y)=K(r2-x2-y2), gdzie przez R będziemy oznaczać promieniem koła, w której zawarty jest obszar D, wtedy na podstawie tego napiszemy Lh,kYij=-4K. Przyjmijmy oznaczenie:

(8.88)

wtedy możemy przyjąć oznaczenie na qij na podstawie twierdzenia drugiego:

(8.89)

zatem funkcję vij według definicji samego v podanego powyżej możemy napisać:

(8.90)

Patrząc na (8.89) udowodniliśmy, że wyrazy vij zależą w sposób ciągły od funkcji f i φ. Weźmy sobie funkcję błędu ε=u-v, wtedy napiszemy Lh,kεij=Fij dla punktów wewnętrznych i εijij dla punktów brzegowych, wtedy oszacowania na funkcje Fij i ψij możemy napisać przy definicji stałej Ms równą :

(8.91)
(8.92)

wtedy patrząc na wzór (8.90), a także na podstawie (8.91) i (8.92) możemy napisać na maksymalną wartość bezwzględną różnicy pomiędzy uij i vij według:

(8.93)

Jeśli brzeg jest prostokątem, to można tak wybrać brzeg tego prostokąta by on leżał na liniach tworzących naszą prostokątną siatkę, tzn. ψij=0, to wtedy dla tego przypadku (8.93) możemy przepisać dla przypadku M1 równą zero. Niech kolejno będą rozwiązaniami równania różnicowego przy , wtedy zaburzenie wielkości vij na podstawie (8.90) piszemy wzorem:

(8.94)

Rozwiązywanie równania przewodnictwa cieplnego metodą prostych[edytuj]

Rozpatrzmy równanie przewodnictwa cieplnego, którego rozwiązaniem są funkcje wektorowe u=u(x,t) spełnionego wewnątrz prostokąta , zapisaną w postaci:

(8.95)

z warunkiem początkowym u(x,0)=g1(x) dla 0≤x≤t i z warunkami brzegowymi u(0,t)=φ(t) i u(l,t)=ψ(t) dla 0≤t≤T. Rozwiązania zagadnienia będziemy poszukiwali metodą prostych x=xi=ih przy zdefiniowanym h=l/N, gdzie i=0,1,..,N. Drugą pochodną wielkości u względem położenia w równaniu (8.95) zastępujemy wyrażeniem różnicowym przy pomocy prostych x=xi dla i=1,...,N-1, wtedy po tej operacji piszemy:

(8.96)

przy warunkach początkowych vi(0)=g1(xi) i przy warunkach brzegowych v0(t)=φ(t), vN(t)=ψ(t) dla 0≤t≤T. Równanie (8.96) możemy zapisać w postaci wektorowej wraz z warunkiem początkowym:

(8.97)

Metoda prostych polega na rozwiązaniu zagadnienia rozpisanego powyższym równaniem w postaci składowych V(t). Rozwiązanie równania macierzowego (8.97) jest zbieżne do rozwiązania dokładnego z dokładnością O(h2) i macierze tam występujące piszemy wzorami:

(8.98)
(8.99)
(8.100)
(8.101)

Jeśli mamy rozwiązanie równania różniczkowego (8.95) w postaci składowych o elementach u(xi,t) i rozwiązania równania różnicowego (8.97) o elementach vi(t), to wtedy dla :

(8.102)

Rozwiązywanie równania drgania struny metodą prostych[edytuj]

Rozpatrzmy równanie drgań struny, którego rozwiązaniem są funkcje wektorowe u=u(x,t) spełnionego wewnątrz prostokąta , zapisaną w postaci:

(8.103)

z warunkami początkowymi u(x,0)=g1(x), dla 0≤x≤l i z warunkami brzegowymi u(0,t)=φ(t), u(l,t)=φ(t) dla 0≤t≤T. Równanie różniczkowe (8.103) zastępujemy równaniem różnicowym o skoku iksowym h:

(8.104)

przy warunkach brzegowych vi(0)=g1(xi), v'i(0)=G2(xi). Równanie różnicowe (8.104) możemy zastąpić równaniem wektorowym zapisanym w postaci jednego równania:

(8.105)

Wektory występujące w równaniu (8.105) piszemy takimi samymi wzorami co w punkcie (8.98), (8.99), (8.100) , a wektor G2 podobnie definiujemy jak wektor (8.99), ale ze wskaźnikiem dwa zamiast jeden. Jeśli mamy rozwiązanie równania różniczkowego (8.103) w postaci składowych o elementach u(xi,t) i rozwiązania równania różnicowego (8.104) o elementach vi(t), to wtedy dla :

(8.106)