Metody numeryczne fizyki

Będziemy się tutaj zajmować metodami, które mają na określenie odpowiednich liczb przy obliczaniu numerycznych odpowiednich układów, przybliżonym rozwiązywaniem pewnych układów równań, a także mających na określeniu pewnych wartości poprzez interpolacje i aproksymację pewnych układów liczbowych. Będziemy się też zajmować przybliżonym rozwiązywaniem równań różniczkowych zwyczajnych czy cząstkowych.

Spis treści

Interpolacja

1. Zagadnienie interpolacji
2. Zagadnienie interpolacji przy pomocy wielomianów
3. Interpolacja według Lagrange'a
4. Metoda interpolacyjna Aitkena
5. Oszacowanie błędu dla problemu interpretacyjnego Lagrange'a
6. Problem najlepszego wyboru węzłów interpolacji
7. Wzór interpolacyjny Newtona dla dowolnych odstępu argumentu
8. Różnice progresywne i wsteczne
   1. Różnice progresywne
      1. Pewne dowody ważnych twierdzeń na różnicach progresywnych
   2. Różnice wsteczne
9. Równanie interpolacyjne Newtona dla jednakowych różnic argumentów
10. Interpolacja przy pomocy funkcji sklejanych
    1. Wstęp do funkcji sklejanych
    2. Interpolacja funkcji interpolowanej przy pomocy funkcji sklejanej stopnia trzeciego

Aproksymacja

1. Wprowadzenie do aproksymacji średniokwadratowej
2. Wprowadzenie aproksymacji jednostajnej
3. Omówienie aproksymacji średniokwadratowej
4. Omówienie aproksymacji wielomianowej
5. Wielomiany ortogonalne i ich aproksymacja przy pomocy tychże wielomianów
   1. Średniokwadratowa aproksymacja funkcji ciągłych
6. Omówienie aproksymacji trygonometrycznej
7. Funkcje sklejane i aproksymacja za pomocą niej
8. Aproksymacja jednostajna przy pomocy wielomianów
9. Metoda aproksymacji jednostajnych, czyli metoda szeregów potęgowych
10. Naprawdę szybka transformacja Fouriera
    1. Wyliczanie współczynników c_k
    2. Metoda Cooleya-Tukeya
    3. Algorytm szybkiego mnożenia
11. Przybliżenie Padégo, czyli przybliżenie wielomianami wymiernymi
12. Przybliżenia szeregami Czebyszewa

Rozwiązywanie równań nieliniowych w sposób przybliżony

1. Metoda znajdowania pierwiastków metodą połowienia
2. Reguła falsi
   1. Wartość graniczna zespołu przybliżeń
   2. Oszacowanie błędu bezwzględnego w tym przybliżeniu
   3. Błędy bezwzględne przybliżonej wartości regułą falsi przy kolejnych przybliżeniach wartości miejsca zerowego funkcji f(x)
   4. Inny wzór na błąd bezwzględny oszacowania wartości dokładnej pierwiastka funkcji f(x)
3. Metoda siecznych
4. Metoda Newtona (stycznych)
5. Poszukiwanie pierwiastków wielomianów o dziedzinie zespolonej
   1. Znajdowanie liczby miejsc zerowych rzeczywistych dla wielomianu o współczynnikach rzeczywistych
      1. Twierdzenie Sturma
      2. Twierdzenie Fouriera
      3. Twierdzenie Laguerre'a
      4. Reguła Kartezjusza
   2. Lokalizowanie miejsc zerowych rzeczywistych wielomianów rzeczywistych
   3. Metoda znajdowania przybliżonych miejsc zerowych wielomianu rzeczywistego
   4. Umieszczanie zer wielomianów ogólnie zespolonych
      1. Warunki na miejsca zerowe zespolone wielomianów zespolonych
      2. Kryterium Michajłowa
      3. Kryterium Routha
      4. Kryterium Hurwitza
   5. Poszukiwanie miejsc zerowych wielomianu zespolonego
6. Wprowadzenie do układów równań nieliniowych
   1. Metoda Newtona a rozwiązywanie układu równań wielu zmiennych
      1. Metoda kolejnych poprawek trójmianu kwadratowego - metoda Bairstowa
   2. Metoda siecznych jako metoda n+1 punktowa
   3. Poszukiwanie wartości minimalnej funkcji jednej zmiennej
      1. Dwie metody podziału na równe przedziały
         1. Podział na trzy równe części w wyniku kolejnych przedziałów w wyniku iteracji
         2. Podział na cztery równe części wyniku kolejnych podziałów w wyniku iteracji - metoda połowienia
      2. Metoda Johnsona optymalnych podziałów
      3. Efektywna metoda złotego podziału

Całkowanie numeryczne funkcji interpolacyjnej

1. Wprowadzenie do wzorów całkowania numerycznego
2. Całkowanie wielomianu interpolacyjnego z ustalonymi punktami
   1. Metoda całkowa wielomianu interpolacyjnego Newtona-Cotesa
   2. Złożone metody całkowania wielomianu interpolującego Newtona-Cotesa
   3. Metoda całkowania wielomianu interpolacyjnego Romberga
3. Całkowanie wielomianu interpolacyjnego Gaussa
   1. Wprowadzenie do kwadratur określonych w przedziale skończonym, a kwadratura Gaussa-Legendre'a
   2. Całkowanie interpolacyjne dla przedziału skończonego, a kwadratura Gaussa-Jacobiego
   3. Całkowanie interpolacyjne dla przedziału skończonego, a kwadratura Gaussa-Czybyszewa
   4. Całkowanie interpolacyjne dla przedziału nieskończonego
4. Złożone metody całkowania interpolacyjnego Gaussa

Algebraiczne sposoby rozwiązywania układów równań liniowych

1. Wprowadzenie do pojęcia normy
2. Błędy rozwiązań układów równań algebraicznych
3. Układy równań algebraicznych o trójkątnej macierzy
4. Rozwiązania równań liniowych metodą eliminacji Gaussa
   1. Wyznaczanie macierzy L i U, a metoda Doolittle'a
   2. Błędy przybliżeń w metodzie Gaussa i Doolittle'a
5. Rozwiązania równań liniowych metodą eliminacji Jordana (metodą eliminacji zupełnej)
6. Rozkład macierzy symetrycznej A na LDL^T i LL^T
7. Równanie macierzowe z macierzą trójdiagonalną
8. Równanie macierzowe z macierzą podobną do trójdiagonalnej
9. Wyznaczanie wartości wyznacznika oraz macierzy odwrotnej
10. Poprawianie rozwiązań układów równań liniowych i wektor reszt
11. Macierzowe algebraiczne liniowe równania iteracyjne
12. Rozwiązanie algebraicznych układów równań metodą Jacobiego
13. Rozwiązanie algebraicznych układów równań metodą Gaussa-Seidla
14. Błędy iteracyjne w algebraicznych równaniach macierzowych
15. Rozwiązanie algebraicznych układów równań metodą Czebyszewa

Wyznaczanie wektorów własnych i wartości własnych dla dowolnej macierzy

1. Wstęp do obliczania wartości i wektorów własnych dla macierzy kwadratowej
2. Błędy zaokrągleń dowolnej macierzy wraz z jego wartościami i wektorami własnymi
3. Znajdowanie miejsc zerowych dowolnej macierzy
4. Wykorzystanie metod potęgowych przy wyznaczaniu poszczególnych wartości własnych i wektorów własnych dla dowolnej macierzy
5. Wykorzystanie metod Hessenberga przy wyznaczaniu poszczególnych wartości własnych dla dowolnej macierzy
6. Znajdowanie wartości własnych dowolnej macierzy poprzez doprowadzenie jej do postaci Hessenberga
7. Przegląd metod wyznaczania wektorów własnych metodą QR,LR i metodą iteracji odwrotnej
   1. Wyznaczanie wektorów własnych metodą QR
   2. Wyznaczanie wektorów własnych metodą LR
   3. Wyznaczanie wektorów własnych metodą iteracji odwrotnej
8. Ogólne metody rozkładu dowolnej macierzy na iloczyn macierzy QR
   1. Metoda rozkładu dowolnej macierzy A na iloczyn macierzy Q i R metodą Grama-Schmidta
   2. Metoda rozkładu dowolnej macierzy A na iloczyn macierzy Q i R metodą Householdera
   3. Metoda rozkładu dowolnej macierzy A na iloczyn macierzy Q i R metodą Givensa
9. Wyznaczenie wartości własnej dla symetrycznej trójdiagonalnej macierzy
   1. Wyznaczanie wartości własnych dla trójdiagonalnej macierzy symetrycznej metodą bisekcji
   2. Uzyskiwanie rozkładu macierzy trójdiagonalnej symetrycznej metodą QR
10. Sprowadzanie dowolnej macierzy symetrycznych do postaci trójdiagonalnej
    1. Wyznaczanie macierzy trójdiagonalnej symetrycznej metodą Householdera
    2. Wyznaczanie macierzy trójdiagonalnej symetrycznej metodą Givensa

Sposoby rozwiązywania układów równań różniczkowych zwyczajnych z pewnymi warunkami początkowymi

1. Rozwiązywanie układu równań różniczkowych metodą Eulera
2. Wprowadzenie do metod różnicowych
   1. Analiza błędów
   2. Stabilność metody różnicowej i jej zbieżność do granicy
3. Wzory różnicowe Rungego-Kutta
   1. Rozważania na temat stabilności metod Rungego-Kutty i jego rozwiązania
4. Niektóre wzory różnicowe
5. Zmienny etap całkowania
6. Połączenie wzorów interpolacyjnych i ekstrapolacyjnych w metodach różnicowych
7. Zastosowanie metody różnicowej Hamminga

Rozwiązywanie równań różniczkowych cząstkowych z warunkami początkowymi

1. Wprowadzenie do równań różniczkowych cząstkowych
2. Sprowadzanie pochodnych cząstkowych do zagadnień różnicowych
   1. Stabilność rozwiązań równań cząstkowych z warunkami brzegowymi i jego zbieżność
   2. Równania różnicowe i ich zbieżność względem parametrów siatki względem osi położenia i czasu
   3. Zbieżność przy nieskończonym zagęszczaniu siatki
   4. Rozwiązywanie różnicowego równania według schematu blokowego
3. Drgająca struna
4. Rozwiązywanie równań Poissona metodami różnicowymi
   1. Problem Dirichleta w aproksymacji różnicowej
5. Rozwiązywanie równań różnicowych w wykorzystaniem zbieżności jednostajnej
   1. Rozwiązywanie równania przewodnictwa cieplnego metodą prostych
   2. Rozwiązywanie równania drgania struny metodą prostych

Bibliografia

• Bibliografia

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw.makowiecki@gmail.com
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.