Metody numeryczne fizyki
Będziemy się tutaj zajmować metodami, które mają na określenie odpowiednich liczb przy obliczaniu numerycznych odpowiednich układów, przybliżonym rozwiązywaniem pewnych układów równań, a także mających na określeniu pewnych wartości poprzez interpolacje i aproksymację pewnych układów liczbowych. Będziemy się też zajmować przybliżonym rozwiązywaniem równań różniczkowych zwyczajnych czy cząstkowych.
Spis treści[edytuj]
Interpolacja
- Zagadnienie interpolacji
- Zagadnienie interpolacji przy pomocy wielomianów
- Interpolacja według Lagrange'a
- Metoda interpolacyjna Aitkena
- Oszacowanie błędu dla problemu interpretacyjnego Lagrange'a
- Problem najlepszego wyboru węzłów interpolacji
- Wzór interpolacyjny Newtona dla dowolnych odstępu argumentu
- Różnice progresywne i wsteczne
- Równanie interpolacyjne Newtona dla jednakowych różnic argumentów
- Interpolacja przy pomocy funkcji sklejanych
Aproksymacja
- Wprowadzenie do aproksymacji średniokwadratowej
- Wprowadzenie aproksymacji jednostajnej
- Omówienie aproksymacji średniokwadratowej
- Omówienie aproksymacji wielomianowej
- Wielomiany ortogonalne i ich aproksymacja przy pomocy tychże wielomianów
- Omówienie aproksymacji trygonometrycznej
- Funkcje sklejane i aproksymacja za pomocą niej
- Aproksymacja jednostajna przy pomocy wielomianów
- Metoda aproksymacji jednostajnych, czyli metoda szeregów potęgowych
- Naprawdę szybka transformacja Fouriera
- Przybliżenie Padégo, czyli przybliżenie wielomianami wymiernymi
- Przybliżenia szeregami Czebyszewa
Rozwiązywanie równań nieliniowych w sposób przybliżony
- Metoda znajdowania pierwiastków metodą połowienia
- Reguła falsi
- Metoda siecznych
- Metoda Newtona (stycznych)
- Poszukiwanie pierwiastków wielomianów o dziedzinie zespolonej
- Znajdowanie liczby miejsc zerowych rzeczywistych dla wielomianu o współczynnikach rzeczywistych
- Lokalizowanie miejsc zerowych rzeczywistych wielomianów rzeczywistych
- Metoda znajdowania przybliżonych miejsc zerowych wielomianu rzeczywistego
- Umieszczanie zer wielomianów ogólnie zespolonych
- Poszukiwanie miejsc zerowych wielomianu zespolonego
- Wprowadzenie do układów równań nieliniowych
Całkowanie numeryczne funkcji interpolacyjnej
- Wprowadzenie do wzorów całkowania numerycznego
- Całkowanie wielomianu interpolacyjnego z ustalonymi punktami
- Całkowanie wielomianu interpolacyjnego Gaussa
- Wprowadzenie do kwadratur określonych w przedziale skończonym, a kwadratura Gaussa-Legendre'a
- Całkowanie interpolacyjne dla przedziału skończonego, a kwadratura Gaussa-Jacobiego
- Całkowanie interpolacyjne dla przedziału skończonego, a kwadratura Gaussa-Czybyszewa
- Całkowanie interpolacyjne dla przedziału nieskończonego
- Złożone metody całkowania interpolacyjnego Gaussa
Algebraiczne sposoby rozwiązywania układów równań liniowych
- Wprowadzenie do pojęcia normy
- Błędy rozwiązań układów równań algebraicznych
- Układy równań algebraicznych o trójkątnej macierzy
- Rozwiązania równań liniowych metodą eliminacji Gaussa
- Rozwiązania równań liniowych metodą eliminacji Jordana (metodą eliminacji zupełnej)
- Rozkład macierzy symetrycznej A na LDLT i LLT
- Równanie macierzowe z macierzą trójdiagonalną
- Równanie macierzowe z macierzą podobną do trójdiagonalnej
- Wyznaczanie wartości wyznacznika oraz macierzy odwrotnej
- Poprawianie rozwiązań układów równań liniowych i wektor reszt
- Macierzowe algebraiczne liniowe równania iteracyjne
- Rozwiązanie algebraicznych układów równań metodą Jacobiego
- Rozwiązanie algebraicznych układów równań metodą Gaussa-Seidla
- Błędy iteracyjne w algebraicznych równaniach macierzowych
- Rozwiązanie algebraicznych układów równań metodą Czebyszewa
Wyznaczanie wektorów własnych i wartości własnych dla dowolnej macierzy
- Wstęp do obliczania wartości i wektorów własnych dla macierzy kwadratowej
- Błędy zaokrągleń dowolnej macierzy wraz z jego wartościami i wektorami własnymi
- Znajdowanie miejsc zerowych dowolnej macierzy
- Wykorzystanie metod potęgowych przy wyznaczaniu poszczególnych wartości własnych i wektorów własnych dla dowolnej macierzy
- Wykorzystanie metod Hessenberga przy wyznaczaniu poszczególnych wartości własnych dla dowolnej macierzy
- Znajdowanie wartości własnych dowolnej macierzy poprzez doprowadzenie jej do postaci Hessenberga
- Przegląd metod wyznaczania wektorów własnych metodą QR,LR i metodą iteracji odwrotnej
- Ogólne metody rozkładu dowolnej macierzy na iloczyn macierzy QR
- Wyznaczenie wartości własnej dla symetrycznej trójdiagonalnej macierzy
- Sprowadzanie dowolnej macierzy symetrycznych do postaci trójdiagonalnej
Sposoby rozwiązywania układów równań różniczkowych zwyczajnych z pewnymi warunkami początkowymi
- Rozwiązywanie układu równań różniczkowych metodą Eulera
- Wprowadzenie do metod różnicowych
- Wzory różnicowe Rungego-Kutta
- Niektóre wzory różnicowe
- Zmienny etap całkowania
- Połączenie wzorów interpolacyjnych i ekstrapolacyjnych w metodach różnicowych
- Zastosowanie metody różnicowej Hamminga
Rozwiązywanie równań różniczkowych cząstkowych z warunkami początkowymi
- Wprowadzenie do równań różniczkowych cząstkowych
- Sprowadzanie pochodnych cząstkowych do zagadnień różnicowych
- Drgająca struna
- Rozwiązywanie równań Poissona metodami różnicowymi
- Rozwiązywanie równań różnicowych w wykorzystaniem zbieżności jednostajnej
Bibliografia[edytuj]
Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.