Wikipedysta:Persino/Teoria jądra atomowego/Teoria cząstek niezależnych

Spis treści
1Model nieoddziaływających fermionów w jądrze atomowym jako model gazu Fermiego 1.1Wyprowadzenie pędu i na podstawie niej energii Fermiego 1.2Energia Fermiego układów protonów i neutronów jako energia symetrii 1.3Odległości pomiędzy poziomami jedno-cząstkowymi w układzie neutronów lub protonów

Jądro atomowe, jeśli założymy, że ono jest punktowe, to wyniki doświadczeń nie zgadzają się z modelem jądra atomowego, który jest kropką. Lepszym modelem jądra atomowego jest założenie, które mówi o jednorodnym rozkładzie ładunku elektrycznego, lub jeszcze lepiej jest założenie kształtu jądra, którą określa funkcja Fermiego. Obie te funkcje rozkładu nukleonów w jądrze są napisane w jednej linijce poniżej:

$\rho _{u}={\begin{cases}\rho _{0}&{\mbox{ dla }}r\leq R\\0&{\mbox{ dla }}r>R\end{cases}}\;$ (4.1)

$\rho _{F}={{\rho _{0}} \over {1+e^{{r-R} \over {a}}}}\;$ (4.2)

Dopasowanie danych doświadczalnych do krzywych teoretycznych, pozwala określić dwa parametry, których są gęstość centralna jądra ρ₀ oraz parametr rozmycia a, których definicje są:

$\rho _{0}=0,17{{\mbox{nukleon}} \over {{\mbox{fm}}^{3}}}\;$ (4.3)

$a=0,54{\mbox{fm}}\;$ (Niedopasowany uchwyt: 4.4)

Rozkład gęstości w jądrze atomowym powinien spełniać warunek normalizacyjny, którego przepis dla tego warunku jest napisany wzorem:

$A=\int \rho _{F}dV=\int _{0}^{\infty }\rho _{F}4\pi r^{2}dr=4\pi \rho _{0}\int _{0}^{\infty }{{r^{2}dr} \over {1+e^{{r-R} \over {a}}}}=\rho _{0}{{4\pi } \over {3}}R^{3}\left[1+\pi ^{2}\left({{a} \over {R}}\right)^{2}\right]\;$

(Niedopasowany uchwyt: 4.4)

Z obliczeń przeprowadzonych w punkcie (Niedopasowany uchwyt: 4.4) możemy wyznaczyć R, którego definicja można przestawić ze wzoru tego wspomnianego:

$A=\rho _{0}{{4\pi } \over {3}}R^{3}+\rho {{4\pi ^{3}} \over {3}}R\Rightarrow R=1,12A^{{1} \over {3}}-0,86A^{-{{1} \over {3}}}fm\;$

(4.6)

Jak widzimy drugi człon we wzorze (4.6) zaburza proporcjonalność między R a $A^{{1} \over {3}}\;$. dalej wykonajmy całki, które pozwalają wyznaczyć momenty radialne gęstości, których to przestawienie jest napisane wzorem w zależności od liczby n, których to przestawienie jest:

$\langle r^{n}\rangle ={{\int \rho _{F}(r)r^{n}dr} \over {\int \rho _{F}(r)dr}}\simeq {{3} \over {n+3}}R^{n}\left[1+{{n(n+5)} \over {6}}\pi ^{2}\left({{a} \over {R}}\right)^{2}+...\right]\;$

(4.7)

Średni promień kwadratowy na podstawie wzoru (4.7), wykorzystując przy tym przestawienie parametru R, który jest określonym wzorem końcowym (4.6), przestawiamy wzorem:

$\langle r^{2}\rangle ={{3} \over {5}}\left(1,12A^{{1} \over {3}}\right)^{2}\left(1+3,84A^{-{{2} \over {3}}}+...\right)fm^{2}\simeq {{3} \over {5}}\left(1,2A^{{1} \over {3}}\right)^{2}fm^{2}\;$

(4.8)

Efektywny potencjał kolumbowski R_C, którą piszemy za pomocą energii elektrostatycznej jądra, którego to jest promień jednorodnie naładowanej kuli ejst taki jakoby byliśmy liczyli dla rozmytego rozkładu ładunku, którego to przestawienie jest:

${{1} \over {R_{C}}}={{5} \over {6}}{{\int \int {{\rho _{F}({\vec {r}}_{1})\rho _{F}({\vec {r}}_{2})} \over {|{\vec {r}}_{1}-{\vec {r}}_{2}|}}dV_{1}dV_{2}} \over {[\int \rho _{F}(r)dV]^{2}}}={{1} \over {R}}\left[1-{{7} \over {6}}\pi ^{2}\left({{a} \over {R}}\right)^{2}+...\right]\;$

(4.9)

Patrząc na przestawienie (4.9) i wzór końcowy na R (4.6), i w ten sposób dostajemy wzór na promień kolombowski R_C;

$R_{C}=1,2A^{{1} \over {3}}\;$

(4.10)

Model nieoddziaływających fermionów w jądrze atomowym jako model gazu Fermiego

Model gazu Fermiego jest to model nieoddziaływających fermionów, który stanowi wyjście dla oszacować np. energii wiązania, energii symetrii, a także odległości między poziomami jedno-cząstkowymi, a także jeśli wprowadzimy model powłokowy jeśli wprowadzimy wpływ efektów kwantowych do energii wiązania takiego jadra atomowego.

Wyprowadzenie pędu i na podstawie niej energii Fermiego

Zakładamy, że fermiony poruszają się w pudle sześciennej o krawędzi L, w którym to fermiony mogą się poruszać się w sposób swobodny, a więc na podstawie niej możemy napisać równanie Schrödingera dla hamiltonianu, w który ejst jednocześnie w tym naszym przypadku jest operatorem energii kinetycznej. Rozwiązanie tego hamiltonianu daje nam funkcję falową określoną wzorem (Niedopasowany uchwyt: 7.18), którego normowanie jest takie same jak w przypadku funkcji własnej pędu dla obiektu, który jest sześcianem ok krawędzi L, zatem ta funkcja falowa, którego to liczby falowe ${\vec {k}}\;$ są przestawione tak jak we wzorze (Niedopasowany uchwyt: 7.34), ale tutaj zamiast L jest L/2, zatem ta liczba i jej kwadrat są przestawione wzorami:

$k_{i}={{2\pi } \over {L}}n_{i}\;$ (4.11)

$k_{n}^{2}=\left({{2\pi } \over {L}}\right)^{2}n^{2}{\mbox{ gdzie: }}n^{2}=n_{1}+n^{2}+n^{3}\;$ (4.12)

A nasza funkcja falowa w naszym problemie kwantowym dla hamiltonianu dla cząstki swobodnej w przestrzeni jednowymiarowej i trójwymiarowej możemy przestawić wzorami:

$\psi ({\vec {r}})=L^{-{{1} \over {2}}}e^{i{\vec {k}}{\vec {r}}}\;,$ (4.13)

$\psi ({\vec {r}})=L^{-{{1} \over {3}}}e^{{\vec {k}}{\vec {r}}}\;$ (4.14)

Energia własna hamiltonianu można policzyć wsadzając kwadrat liczby falowej, zależnego od liczby liczby kwantowej 'n', do wzoru (Niedopasowany uchwyt: 7.120) i w ten sposób otrzymujemy zależność:

$E_{n}={{4\pi ^{2}\hbar ^{2}} \over {L^{2}2M}}n^{2}\;$

(4.15)

Dla takiego samo mamy dwa rzuty spinu,a także dwa rzuty izospinu, zatem dla tego samego stanu stanu mamy aż cztery generacje, zatem ilość cząstek dla takiego samego stanu mamy ilość cząstek, którego to jest przestawiana przez dN, która zapiszemy przy pomocy (4.11) i przestawimy też w tej samej linijce wzoru, gdy układ składa się z samych protonów lub neutronów:

$dN=4dn_{1}dn_{2}dn_{3}=4{{L} \over {2\pi }}dk_{1}{{L} \over {2\pi }}dk_{2}{{L} \over {2\pi }}=4\left({{L} \over {2\pi }}\right)^{3}d^{3}{\vec {k}}={{\Omega } \over {2\pi ^{3}}}d^{3}{\vec {k}}\;$ (4.16)

$dN^{p(n)}={{\Omega } \over {4\pi ^{3}}}d^{3}{\vec {k}}\;$ (4.17)

Najwyższy stan jakie cząstka może przyjmować jest stan energii Fermiego, zatem całkowita liczbę cząstek możemy przestawić wzorem matematycznym w postaci poniżej, z którego wyznaczmy wielkość, która jest sześcian liczby falowej dla energii Fermiego:

$N=\int dN=\int _{0}^{2\pi }\int _{-1}^{1}\int _{0}^{k_{F}}{{\Omega } \over {4\pi ^{3}}}\underbrace {d^{3}{\vec {k}}} _{d\theta d\cos \phi k^{2}dk}={{\Omega k_{F}^{3}} \over {3\pi ^{2}}}\Rightarrow k_{F}^{3}={{3\pi ^{2}N} \over {\Omega }}\;$

(4.18)

Na samym końcu możemy wyznaczyć energię Fermiego wykorzystując przy tym wzór (Niedopasowany uchwyt: 7.120), i w ten sposób dostając wzór:

$\epsilon _{F}=\left({{3\pi ^{2}N} \over {\Omega }}\right)^{{2} \over {3}}{{\hbar ^{2}} \over {2M}}\;$

(4.19)

Jeśli do wzoru (4.19) wsadzimy gęstość materii jądrowej ρ₀=(N+Z)/Ω=1,17nukleon/fm³, wtedy wektor falowy Fermiego według (4.18) i energia Fermiego (4.19), przy czym będziemy zakładać będziemy, że liczba protonów jest równa liczbie neutronów w jądrze, czyli N=Z:

$k_{F}=1,37fm^{-1}\;$

$\epsilon _{F}=39{\mbox{MeV}}\;$

Energia kinetyczna malutkiej cząstki naszego układu możemy przestawić wzorem, przy wykorzystaniu wzoru (4.17), piszemy:

$dE={{\hbar ^{2}k^{2}} \over {2M}}dN^{p(n)}={{\hbar ^{2}k^{2}} \over {2M}}{{\Omega } \over {4\pi ^{3}}}d^{3}{\vec {k}}\;$

(4.20)

Całkowitą energię układów cząstek swobodnych jako fermionów, którą to całkę wzoru (4.20) jako całkę ob u jego stron.

$E\int \int \int {{\hbar ^{2}} \over {2M}}{{\Omega } \over {4\pi ^{3}}}d^{3}{\vec {k}}={{\hbar ^{2}k^{2}} \over {2M}}{{\Omega } \over {4\pi ^{3}}}\int _{-1}^{1}d\cos \phi \int _{0}^{2\pi }d\theta \int _{0}^{k_{F}}k^{4}dk={{\hbar ^{2}\Omega k_{F}^{5}} \over {10\pi ^{2}M}}\;$

(4.21)

Całkowita energia Fermiego układu złożonego z protonów i neutronów jest przestawiana wzorem poniżej przy wykorzystaniu wzoru opisującego energię Fermiego protonów lub neutronów (4.19), zatem:

$E_{0}={{3} \over {5}}\left(Ne_{F}^{n}+Ze_{F}^{p}\right)={{3} \over {5}}{{\hbar ^{2}} \over {2M}}\left({{3\pi ^{2}} \over {\Omega }}\right)^{{2} \over {3}}\left(N^{{5} \over {3}}+Z^{{5} \over {3}}\right)\;$

(4.22)

Energia Fermiego układów protonów i neutronów jako energia symetrii

Weźmy sobie funkcję (4.22), a w nim funkcję f(t), którego definicja jest przy założeniu t=N-Z i A=N+Z, i który rozłożymy w szereg Taylora:

$f(t)=N^{{5} \over {3}}+Z^{{5} \over {3}}=\left({{A+t} \over {2}}\right)^{{5} \over {3}}+\left({{A-t} \over {2}}\right)^{{5} \over {3}}=\;$
$=2^{-{{5} \over {3}}}\left(A^{{5} \over {3}}+{{1} \over {2}}{{5} \over {3}}{{2} \over {3}}A^{-{{1} \over {3}}}t^{2}+A^{{5} \over {3}}+{{1} \over {2}}{{5} \over {3}}{{2} \over {3}}A^{-{{1} \over {3}}}t^{2}+...\right)=2^{-{{5} \over {3}}}\left(2A^{{5} \over {3}}+{{10} \over {9}}A^{-{{1} \over {3}}}t^{2}+...\right)$

(4.23)

Na podstawie obliczeń (4.23) energia stanu podstawowego (4.22), którą zapiszemy w zależności od liczby masowej, a także od liczby neutronów N i protonów Z w jądrze, którą to zapisujemy:

$E_{0}={{3} \over {5}}{{\hbar ^{2}} \over {2M}}\left({{3\pi ^{2}} \over {\Omega }}{{A} \over {2}}\right)^{{2} \over {3}}\left(A+{{5} \over {9}}{{(N-Z)^{2}} \over {A}}\right)\;$

(4.24)

Jeśli wprowadzimy energię Fermiego układu protonów i neutronów dla jednakowej jej ilości, zatem energię E₀ (4.24) przestawiamy w naszym wypadku wzorem:

$e_{F}^{N=Z}={{\hbar ^{2}} \over {2m}}\left({{3\pi ^{2}A} \over {2\Omega }}\right)^{{2} \over {3}}\;$

(4.25)

Wzór na energię stanu podstawowego (4.24), do którego będziemy wykorzystywać będziemy wzór na energię Fermiego (4.25), na podstawie tego wspomniana energia stanu podstawowego jest:

$E_{0}={{3} \over {5}}e_{F}^{N=Z}A+{{1} \over {3}}e_{f}^{N=Z}{{(N-Z)^{2}} \over {A}}\;$

(4.26)

Energia stanu podstawowego w (4.26) składa się z człony objętościowego, który jest wprost proporcjonalny do liczny masowej A, a także z członu symetrii, który mówi o nadwyżce neutronów w stosunku do protonów. Współczynnik stojący przy członie objętościowym E_obj =a_objA, a także przy członie symetrycznym E_sym=a_sym(N-Z)²/A, są napisane:

$a_{obj}={{3} \over {5}}e_{F}\simeq 23{\mbox{MeV}}\;$

$a_{sym}={{1} \over {3}}e_{F}\simeq 13{\mbox{MeV}}\;$

Odległości pomiędzy poziomami jedno-cząstkowymi w układzie neutronów lub protonów

Odległości pomiędzy poziomami dla neutronów lub fermionów w układzie jedno-cząstkowym, które na wzajem się nie oddziaływają na podstawie wzoru (4.19):

$\Delta E=e_{F}(N+1)-e_{F}(N)={{\hbar ^{2}} \over {2M}}\left({{3\pi ^{2}} \over {\Omega }}\right)^{2}\left[(N+1)^{{2} \over {3}}-N^{{2} \over {3}}\right]=e_{F}\left[\left(1+{{1} \over {N}}\right)^{{2} \over {3}}-1\right]\;$

(4.27)

Jeśli pierwszy wyraz w nawiasie kwadratowym rozłożymy w szereg Taylora, i w ten sposób możemy zapisać, że odległość między poziomami jedno-cząstkowymi w takim przypadku możemy zapisać jako:

$\Delta E\simeq {{2} \over {3}}{{e_{F}} \over {N}}\simeq {{26{\mbox{MeV}}} \over {N}}\;$

(4.28)