25% Status

Wikipedysta:Persino/Teoria jądra atomowego/Teoria problemu wielu ciał

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Od modelu opisującego układ dwóch cząstek niezależnych od siebie, przejdźmy do układu do prawie nieskończonej liczby nukleonów, czyli dla którego zachodzi N=Z, liczby protonów jest prawie równa liczbie neutronów. Gęstość masy i ładunku w jądrze atomowym jest stała. Dalej będziemy zakładać, że pomiędzy ładunkami nie działają wcale siły oddziaływania elektrycznego. Należy pamiętać, że ruch nukleonów w jądrze jest wpływany przez zakaz Pauliego, dla rozparzanej pary proton-neutron. Dla nas bardzo ważny jest model, który jest modelem cząstek niezależnych. Potencjał jądrowy jądra atomowego dla A nukleonów jest sumą sił dwuciałowych, i który piszemy w postaci wzoru:

(3.1)

funkcja falowa układu A nukleonów jest iloczynem poszczególnych funkcji falowej opisującej jako iloczyny funkcji falowych opisującej jej część przestrzenną, spinową, a także izospinową i wiedząc, że , i które są wyrażona przez wzór:

(3.2)

Biorąc, ze cząstki, które są tutaj nukleonami podlegają zasadzie Pauliego, zatem całkowita funkcja falowa możemy zapisać w postaci równości, który jest unormowanym wyznacznikiem , który jest funkcją funkcji funkcji falowych opisywanych wzorem (3.2), i które ten wyznacznik piszemy jako:

(3.3)

Przypadek funkcji Gojenia dla materii jądrowej jako funkcja falowa dwóch nukleonów[edytuj]

Plik:Funkcje falowe dla pary nukleonów.png
Funkcje falowe oddziaływających w próżni ψs, a także te obiekty w materii jądrowej ψBG i nieoddziaływujących ψ0 dla pary nukleonów.

Weźmy sobie teraz układ dwóch nukleonów, których pędu ssą napisane jako , i których oddziaływają ze sobą, których to oddziaływanie jest napisane przez potencjał V12, i którego to równania Schrödingera przy tym rozważanym potencjale piszemy wedle wzoru:

(3.4)

Wprowadźmy teraz operator rzutowy , który eliminuje z fali rozprosz stany o pędach mniejszych niż pędy opisywane przez pędy Fermiego, czyli pędu o tych wycinane są ja zajęte zgodnie z zakazem Paulliego. W ten sposób możemy napisać równanie Bethego-Goldstane'a:

(3.5)

Dla porównanie możemy zapisać równanie falowe opisywanych za pomocą tylko operatorów energii, i w których nie ma żadnego potencjału, których jest opisywany przez wzór:

(3.6)

Funkcja ψS jest przesunięta w fazie względem fali płaskiej. Można też jednak powiedzieć, że funkcja ψBG zbliża się do funckji ψS, a po przekroczeniu pewnej granicy xog, które nazywamy odległością "gojenia" pokrywa się z funkcją ψ0.

Matematyczny opis równania Bethego-Goldstone'a[edytuj]

W naszym problemie fizycznym, których cząstki silnie oddziaływają ze sobą można rozłożyć je na poszczególne funkcje falowe, co jestwynikiem zakazu Pauliego, są one rozwiązania własnego probklemu hamiltonianu dotyczącej jednej cząstki.

(3.7)

Możemy teraz napisać równanie Bethego-Goldstone'a, które są opisem układu dwóch nukleonów, czyli które wypisujemy jako układ dwóch cząstek, tutaj pomijamy trój i wielociałowe oddziaływanie, i dlatego przybliżenie dwuciałowe jest jego najlepszym sposobem:

(3.8)

Wskutek oddziaływania V12 energia układu dwóch nukleonów nie jest sumą ek+el, zatem funkcja ψkl może być rozwinięta w bazie φν, ale w taki sposób by niezawierała stanów zajętych,a tylko stany jednocząstowe puste, i który jest opisywany równaniem:

(3.9)

Otrzymane rozwinięcie (3.9) możemy wstawić do równości (3.8), wtedy możemy dostać równość, którego to zapis jest jako;

(3.10)

W równości (3.10) przebiega po stanach "k" i "l", a także dla stanów pustych α=k,a,b,.. i β=l,a,b,c,.... dalszym naszym krokiem jest pomnożenie obu stron wspomnianej równości przez i z całkowaniu względem x1,x2,.. i stąd otrzymujemy na podstawie naszych rozważań wzór:

(3.11)

Z otrzymanej równości (3.11) możemy wyznaczyć stałą Cαβ, czyli współczynniki rozwinięcia, które to na podstawie naszego wzoru przepisujemy w postaci wzoru:

(3.12)

Ket funkcji ψkl, czyli funkcji (3.9) przy pomocy współczynników rozwinięcia (3.12) mozemy zapisać w postaci;

(3.13)

Jeśli wprowadzimy hamiltonian opisujący dwie cząstki, jako sumę dwóch hamiltonianów jedno-cząstkowych piszemy jako:

(3.14)

Na podstawie definicji hamiltonianu dwóch cząstek (3.14), co możemy wykorzystać do napisania równości (3.13) i w ten sposób końcowy już hamiltonian zapisujemy jako:

(3.15)

Wprowadźmy teraz operator rzutowy:

(3.16)

Operator rzutowy zapisany w punkcie (3.16) możemy wykorzystać do (3.15), i w ten sposób dostajemy równość, który opisuje ostatnio wspomniany w tym tekście wzór:

(3.17)

Jeśli będziemy rozpatrywać materię jądrową, i który to operator opisuje niezależne pary, który wynika z zachowania sumy pędów dwóch cząstek wziętej razem, to wtedy operator (3.15) redukuje się do pierwszego wyrazu, który to będziemy opisywać wzorem:

(3.18)

Wytwórzmy sobie teraz operator na iloczyn funkcji, które są niezależne od siebie, i w ten sposób otrzymujemy funkcję ψkl, która jest funkcją falową, który jest rozwiązaniem równości (3.8), który jest równaniem własny\. Działanie tegoż operatora przedstawia się:

(3.19)

Wykorzystując działanie operatora , którego jest zapisany równaniem (3.19), i który to wykorzystujemy do zapisu (3.17):

(3.20)

Patrząc na tożsamość (3.20), wtedy dochodzimy do wniosku, ze operator zapisujemy w postaci równania operatorowego w postaci:

(3.21)

Dalszym krokiem jest rozszerzenie naszych wypowiedzeń na układ wielu ciał,w tym celu możemy napisać operator energii całkowitej, który jest to zapisany równością poniżej, którą zapisywać będziemy wraz z równaniem własnym:

(3.22)
(Niedopasowany uchwyt: 3.23)

Hamiltonian dla cząstek niezależnych od siebie możemy zapisywać w postaci równania jako sumę hamiltonianów A nukleonów, i którego w jednej linijce napiszemy jego równanie własne, którego to zapisujemy całkowita energia układu jako wartość własna operatora

(Niedopasowany uchwyt: 3.23)
(3.25)
(3.26)

Rozwiązaniem równania własnego operatora (Niedopasowany uchwyt: 3.23) jest rozwiązaniem w postaci funkcji falowej, w którym występuje funkcja Φ0, która jest rozwiązaniem równania własnego dla A cząstek jego hamiltonianu, nie uwzględniający oddziaływania między cząstkami, zatem:

(3.27)

Weźmy do całkowitego hamiltonianu cząstek nieoddziaływających oddziaływanie resztkowe Vres, który nam posłuży do zdefiniowania rółnania bethego-Goldstone'a dla A nukleonów.

(Niedopasowany uchwyt: 3.27)

Operator całkowitej energii układu, który jest sumą hamiltonianu A niezależnych od siebie cząstek (Niedopasowany uchwyt: 3.23) i oddziaływania resztkowego (Niedopasowany uchwyt: 3.27), którego definicja jest przestawiona wzorem:

(Niedopasowany uchwyt: 3.27)

Równaniem własnym z uwzględnieniem potencjału resztkowego, wykorzystując jego funkcję własną zdefiniowaną równaniem (3.27), zatem to równanie:

(3.30)

Mnożymy teraz lewostronnie równanie (3.30) przez , i której tak otrzymane równanie całkujemyw względem współrzędnych , gdzie i=1,2,..,A.

(3.31)

Zdefiniujemy teraz operator rzutowy, który jest zapisany równością operatorową:

(3.32)

Rozpatrując jak dla przypadku dwuciałowego, przy definicji operatora rzutowego (3.32) i przy energii własnej całego układu A nukleonów możemy zapisać operator , który definiujemy jako przy definicji funkcji Ψ (3.27):

(3.33)

Zatem w naszym przypadku operator i wzór Bethego-Goldstone'a definiujemy wzorami, którego to podamy w jednej linijce rozważań dla problemu wielociałowego:

(3.34)
(3.35)

Równanie (3.35) jest ścisłym zagadnieniem dla wielu ciał, którego to równanie jest bardzo trudno rozwiązać, i dlatego w fizyce jądrowej rozpracowano wiele metod przybliżonych. Szablon:Fizyka matematyczna/Nawigacja