Przejdź do zawartości

Wytrzymałość materiałów/Zadania

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.

Wiadomości wstępne[edytuj]

Brak zadań

Ściskanie i rozciąganie pręta prostego[edytuj]

Statycznie wyznaczalne[edytuj]

Zadanie 2.1[edytuj]

Wyznaczyć minimalną średnicę pręta rozciąganego siłą osiową , wiedząc że naprężenia dopuszczalne materiału z którego jest wykonany pręt wynoszą .

Rozwiązanie

Przekrojem pręta kołowego jest koło, więc pole powierzchni przekroju wyraża się wzorem:
zgodnie ze wzorem (2.1) otrzymujemy:
z ostatniego wzoru wyznaczamy średnicę:
Odp: Pręt powinien mieć co najmniej średnicy.

Zadanie 2.2[edytuj]

Oblicz naprężenia i wydłużenie jakie wystąpi w pręcie stalowym o przekroju kołowym rozciągany siłą osiową.
Średnica ; długość ; siła ; moduł Younga

Rozwiązanie

Odp: Naprężenia wynoszą a pręt wydłuży się o .

Zadanie 2.3[edytuj]

Zadanie 2.3.
Oblicz składowe przemieszczeń punktu dla układu pokazanego na rysunku obok obciążony siłą . Oba pręty są zamocowane do ściany na podporze przegubowej stałej (punkty: ), oraz połączenie tych prętów jest przegubowe (punkt: ). Mamy daną długość pręta drugiego oraz kąt między prętem pierwszym a drugim.
Sztywność prętów wynosi .

Rozwiązanie

Z równań równowagi wyznaczyć należy składowe siły działające na pręt ① i ②.
Znak minus w pręcie drugim oznacza że siła składowa ściska pręt co prowadzi do skrócenia jego długości
Długości prętów są następujące:
Wydłużenie pręta pierwszego zaznaczono na rysunku jako odcinek wynosi:
Wydłużenie (skrócenie) pręta drugiego zaznaczono na rysunku jako odcinek wynosi:
Pręt drugi skróci się oraz obróci się wokół punktu . Gdy mamy do czynienia ze nieznacznymi zmianami wymiarów długości luk obrotu można zastąpić styczną . Podobnie pręt pierwszy wydłuży się i obróci wokół punktu , koniec pręta przesunie się wzdłuż prostej . Punkt przemieści się do punktu czyli do przecięcia wyżej omawianych prostych. Składowa pozioma i pionowa przemieszczenia wynoszą:

Zadanie 2.4[edytuj]

Zadanie 2.4.
Oblicz o jaki kąt obróci się pręt drugi wokół punktu dla układu pokazanego na rysunku obok obciążony siłą . W tym przypadku należy przyjąć że jedynie pręt pierwszy jest rozciągany, natomiast pręt drugi jest nieważki i niepodatny na działanie siły . Oba pręty są zamocowane do ściany na podporze przegubowej stałej (punkty: ), oraz połączenie tych prętów jest przegubowe (punkt: ).
Długość pręta pierwszego wynosi , a jego sztywność

Rozwiązanie

Siła rozciągająca pręt zależy od kąta między prętem pierwszym a drugim oraz od usytuowania połączenia przegubowego między prętami (punkt: ) czyli jakie są długości ramion dźwigni jednostronnej.
Dla uproszczenia przyjmujemy że odcinek natomiast odcinek , wtedy wydłużenie pręta wynosi:
Aby wyznaczyć kąt obrotu należy ustalić najpierw długość odcinka

Statycznie niewyznaczalne[edytuj]

Zadanie 2.5[edytuj]

Obliczyć siły jakie występują w betonowej kolumnie ściskanej siłą osiową rozłożoną równomiernie na całą powierzchnie. Słup jest o stałym polu przekroju oraz posiada zbrojenie stalowymi prętami o stałym polu przekroju .
Długość pręta wynosi , natomiast moduł Younga dla betonu wynosi a dla stali .

Rozwiązanie

Dla przejrzystości wyznaczymy pole powierzchni betonu w przekroju kolumny
Siła ściskająca filar rozkłada się na siłę ściskającą pręty stalowe oraz na siłę ściskającą beton
(warunek równowagi)
Ponieważ pręty są zamurowane w betonie więc odkształcenie wzdłużne betonu i stali są jednakowe
(warunek nierozdzielności przemieszczeń -> warunek geometryczny)
(warunki fizyczne)
Gdy mamy dwa równania i dwie niewiadome wyznaczamy siły działające na pręty stalowe i beton. Najpierw wyznaczymy siłę działającą na stal
Przy wyznaczaniu siły działającej na beton postępujemy analogicznie jak wyżej
Przy założeniu że moduł Younga dla stali wynosi a betonu oraz że betonu jest razy więcej niż prętów stalowych otrzymujemy:
oraz z tego wynika że siła ściskająca beton jest większa niż siła ściskająca pręty stalowe

Zadanie 2.6[edytuj]

Zadanie 2.6.
Wyznaczyć reakcje ścian i w układzie pokazanym obok oraz obliczyć przemieszczenie punktu , między ścianami jest zamurowany pręt którego długość wynosi natomiast sztywność równa się . Na pręt działa siła przyłożona w punkcie .

Rozwiązanie

To zadanie można rozwiązać na kilka sposobów:

Metoda przecięć

Pierwsze przecięcie dokonujemy między punktami i natomiast drugie między punktami oraz . Ponieważ pręt znajduje się między dwiema nieprzesuwnymi ścianami to zauważamy że całkowite odkształcenie pręta równa się sumie poszczególnych odkształceń tego pręta oraz równa się zeru.
Obie strony mnożymy przez sztywność oraz porządkujemy równanie
Natomiast reakcje wyznaczamy z równania równowagi:
Przemieszczenie punktu jest równe:

Metoda superpozycji

Gdyby nie było by ściany prawej czyli to pręt pod działaniem sił zewnętrznych wydłużył by się o:
Gdyby to odkształcenie (skrócenie) wywołane reakcją wynosiłoby:
Ponieważ wydłużenie całkowite jest równe zeru, to z warunku: wyznaczamy szukane reakcje:

Zadanie 2.7[edytuj]

Zadanie 2.7.
Wyznaczyć reakcje ścian i w układzie pokazanym obok oraz obliczyć przemieszczenie punktu , między ścianami jest zamurowany pręt którego długość wynosi . Pręt składa się z dwóch części o różnej sztywności. Na pręt działa siła przyłożona w punkcie .

Rozwiązanie

To zadanie jest rozwinięciem poprzedniego przypadku gdy mieliśmy do czynienia z jednorodnym prętem o stałym przekroju w tym przypadku mamy dwa materiały i dwa różne pola powierzchni przekroju pręta. To zadanie rozwiążemy metodą przecięć, jak w poprzednim układzie dokonujemy dwóch przecięć:
oraz korzystamy z równania równowagi aby wyznaczyć
Powyższe równania można wyznaczyć także w następujący sposób
Przemieszczenie punktu wynosi:
Z tej zależności wyznaczamy następujący stosunek:
Oba równania są sobie równe które jest bardziej przejrzyste dla czytelnika pozostawiam do wyboru.
Ostatecznie przemieszczenie punktu wynosi:

Geometryczne charakterystyki przekrojów[edytuj]