Analiza matematyczna/Ciągi liczbowe

Ciąg - wiadomości ogólne

DEFINICJA Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych, której wartościami są liczby.

Kolejne wartości funkcji a(1), a(2), a(3)... zwane też wyrazami ciągu zapisuje się jako $a_{1},a_{2},a_{3}$.

Ciąg można określać za pomocą różnych sposobów: podając wyraz ogólny, definicją rekurencyjną. Nie wszystkie ciągi da się zapisać w ten sposób, ostatecznie ciąg można opisać wskazując jego elementy.

Wyraz ogólny ciągu

Jeżeli każdy wyraz ciągu zależny jest od jego indeksu (numeru tego wyrazu ciągu) to możemy go zapisać za pomocą wyrazu ogólnego ciągu.

Przykład:

Mamy ciąg o wyrazie ogólnym $a_{n}=n^{2}+3\,$.

Oznacza to, że jego pierwszy wyraz wynosi $a_{1}=1^{2}+3=4\,$,

drugi wyraz $a_{2}=2^{2}+3=7\,$ itd.

Wzór rekurencyjny ciągu

Jeżeli każdy kolejny wyraz ciągu zależny jest od poprzedniego, to możemy go zapisać za pomocą wzoru rekurencyjnego, tj. takiego w którym każdy kolejny wyraz ciągu oznacza się poprzez jakąś modyfikację poprzedniego wyrazu.

Przykład:

Mamy wzór rekurencyjny ciągu:
$\left\{{\begin{array}{l}a_{1}=3\\a_{n+1}={\frac {3+n}{a_{n}}}\end{array}}\right.$

Teraz, żeby obliczyć $n$-ty wyraz ciągu, musimy obliczyć wszystkie poprzednie wyrazy tego ciągu.

Na przykład aby obliczyć wyraz czwarty – $a_{4}$:

$a_{2}=a_{1+1}={\frac {3+1}{a_{1}}}={\frac {4}{3}}$

$a_{3}=a_{2+1}={\frac {3+2}{a_{2}}}={\frac {5}{\frac {4}{3}}}={\frac {15}{4}}$

$a_{4}=a_{3+1}={\frac {3+3}{a_{3}}}={\frac {6}{\frac {15}{4}}}={\frac {24}{15}}$

Monotoniczność ciągu

DEFINICJA Ciąg liczbowy jest rosnący gdy każdy jego wyraz z wyjątkiem pierwszego jest większy od poprzedniego.

Ciągiem rosnącym jest $\;(a_{n})=(1,3,5,7,9,11)\$

Przykładem takiego ciągu jest też $a_{n}=2^{n}+1\,$. Aby to sprawdzić, możemy obliczyć różnicę $a_{n}-a_{n-1}\,$ - musi być dodatnia, wówczas każdy kolejny wyraz jest większy od poprzedniego.

dla $n>1\,$ mamy   $a_{n}-a_{n-1}=2^{n}+1-2^{n-1}-1=2^{n-1}>0\,$,   zatem   $a_{n}>a_{n-1}\,$.

DEFINICJA Ciąg liczbowy jest niemalejący gdy każdy jego wyraz z wyjątkiem pierwszego jest nie mniejszy od poprzedniego.

Ciągiem niemalejącym jest $\;(a_{n})=(1,1,2,4,4,8)\$

Każdy ciąg rosnący jest też niemalejący. Przykładem ciągu niemalejącego jest $a_{n}=\lfloor {\frac {n}{2}}\rfloor$.
Warunkiem do sprawdzenia jest $a_{n}-a_{n-1}\geq 0\,$.

DEFINICJA Ciąg liczbowy jest malejący gdy każdy jego wyraz z wyjątkiem pierwszego jest mniejszy od wyrazu poprzedniego.

Przykładem takiego ciągu jest $a_{n}={\frac {1}{n}}$, ponieważ

dla $n>1\,$ mamy   $a_{n}-a_{n-1}={\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n-1}}-1={\frac {n-1}{n(n-1)}}-{\frac {n}{n(n-1)}}<0\,$,   zatem   $a_{n}<a_{n-1}\,$.

DEFINICJA Ciąg liczbowy jest nierosnący gdy każdy jego wyraz z wyjątkiem pierwszego jest nie większy od wyrazu poprzedniego.

Każdy ciąg malejący jest też ciągiem nierosnącym.

DEFINICJA Ciąg liczbowy, którego wszystkie wyrazy są równe, nazywamy ciągiem stałym.

Przykładem takiego ciągu jest $a_{n}=1\,$. Ciąg stały jest jednocześnie niemalejący i nierosnący.

Ciąg spełniający jedną z powyższych definicji jest ciągiem monotonicznym.

DEFINICJA Ciąg liczbowy jest monotoniczny, gdy jest niemalejący lub nierosnący.

Istnieją jednak ciągi które nie są ani malejące ani rosnące. Przykładem takiego ciągu jest $a_{n}=(-2)^{n+1}+3\,$. Jego pierwszy wyraz wynosi 7, drugi -5, a trzeci 19. Można więc powiedzieć, że podciąg złożony z pierwszego i drugiego elementu maleje, jednak podciąg złożony z drugiego i trzeciego elementu rośnie. Takie ciągi są niemonotoniczne.