Analiza matematyczna/Granica funkcji
Granica funkcji
[edytuj]![]() |
DEFINICJA Granica funkcji w punkcie to wartość, do jakiej dąży funkcja , gdy dąży do . |
Jeżeli funkcja ma granicę w punkcie , piszemy: .
Najczęściej używane są dwie formalne definicje granicy funkcji, definicja Heinego i definicja Cauchy'ego. Są one równoważne.
![]() |
DEFINICJA (HEINEGO) Funkcja ma granicę w punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego ciągu zbieżnego do , ciąg jest zbieżny do . |
![]() |
DEFINICJA (CAUCHY'EGO) Funkcja ma granicę w punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby istnieje taka liczba , że dla dowolnego spełniającego warunek zachodzi . |
Jeżeli , mówimy, że w punkcie funkcja ma granicę niewłaściwą.
Granice jednostronne funkcji
[edytuj]Granicę nazywamy również granicą obustronną funkcji. Niekiedy będziemy rozpatrywać również granice jednostronne funkcji.
Przyjrzyjmy się granicy funkcji w punkcie . Posługując się definicją Heinego, znajdziemy ciąg zbieżny do . Najprostszym takim ciągiem będzie . Zauważmy, że:
Posłużmy się jednak teraz ciągiem , również zbieżnym do :
Widzimy, że wyznaczone granice różnią się. Oznacza to, że granica obustronna funkcji nie istnieje. W takich przypadkach będziemy wyznaczać granicę lewostronną oraz granicę prawostronną funkcji.
Granicę lewostronną funkcji w punkcie zapisujemy , granicę prawostronną zaś zapisujemy .
![]() |
TWIERDZENIE Funkcja posiada granicę obustronną wtedy i tylko wtedy, gdy . |
Przyjrzenie się wykresowi funkcji może pomóc w zrozumieniu pojęcia granicy jednostronnej.
Im bardziej zbliżamy się do zera z lewej strony na osi poziomej, tym bardziej funkcja maleje, dlatego granicą lewostronną funkcji będzie . Jeżeli będziemy natomiast zbliżać się do zera z prawej strony, funkcja będzie nieskończenie rosnąć, widzimy więc, że granicą prawostronną będzie .
W przygotowaniu: Obliczanie granicy jednostronnej |
Zależności między granicami funkcji
[edytuj]Dla granic funkcji zachodzą podobne zależności, co dla granic ciągu.
![]() |
TWIERDZENIE Jeżeli istnieją granice i , to: Jeżeli , zachodzi również zależność: |
Rozpatrzmy dla przykładu granicę funkcji w 1:
- .
Twierdzenie o trzech funkcjach
[edytuj]Spróbujmy znaleźć granicę . Kuszące mogłoby się wydawać zastosowanie zależności:
- .
Jednak granica nie istnieje. Czy wobec tego granicy również nie możemy wyznaczyć?
Znane jest nam już twierdzenie o trzech ciągach. Istnieje analogiczne twierdzenie o trzech funkcjach, którym możemy się tu posłużyć.
![]() |
TWIERDZENIE Niech funkcje , oraz będą określone na przedziale zawierającym punkt . Jeżeli dla każdego w przedziale zachodzi nierówność: oraz , to . |
Zastanówmy się nad zadaniem jeszcze raz. Wiemy, że największą wartością funkcji będzie 1, a najmniejszą będzie −1; inaczej mówiąc, . Podstawiając owe wartości za , otrzymujemy dwie granice: oraz .
Ponieważ granice obu funkcji równe są 0, możemy wnioskować, że:
- .