Astrofizyka/Kwantowy oscylator harmoniczny

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Oscylator harmoniczny jest układem fizycznym, który ma duże zastosowanie i znaczenie w wielu działach fizyki.

Jest to ciało o masie m, na które działa siła proporcjonalna do wychylenia z przeciwnym zwrotem . Ponieważ siła F= - ∂U/∂x, to układ opisany jest przez potencjał:

Jego energia całkowita jest równa:

gdzie pęd p=mv. W mechanice kwantowej pęd p przechodzi w operator: p=mv⇒p= - iℏ spełniający regułę komutacyjną [x,p]=iℏ. Wygodnie jest zdefiniować zamiast x, p dwa operatory

nazywane operatorami anihilacji i kreacji, stąd operator położenia x to

Potencjał oscylatora harmonicznego i kilka pierwszych stanów własnych.

Bozonowy oscylator harmoniczny[edytuj]

Hamiltonian, czyli operator energii, przyjmuje teraz postać

Operatory ={I,a, ,n=} rozpinają algebrę Heisenberga: [a, ]=1, [a,a]=[ ,]=0, [n,a]= - a, [n, ]=, [I,Xi]=0. Komutator zdefiniowany jest jako [A,B]=A B - B A a antykomutator {A,B}=A B + B A. Hamiltoniam można przekształcić do postaci:

gdzie jest energią stanu podstawowego. Hamiltoniam posiada całą drabinkę stanów własnych H|n> =|n> z energiami własnymi:

i stanami własnymi:

Stan podstawowy |0> zdefiniowany jest jako a|0> =0. W tradycyjnym zapisie stan |n> opisuje funkcję falową . Równanie a|0>=0 (lub ) jest równaniem różniczkowym którego rozwiązaniem jest funkcja falowa stanu podstawowego:

gdzie . Operatory kreacji tworzą kolejne funkcje falowe stanów wzbudzonych (stąd ich nazwa – creare (łac.) to tworzyć). Można je wyrazić przez wielomian|wielomiany Hermite'a:

gdzie

Fermionowy oscylator harmoniczny[edytuj]

Fermionowy oscylator harmoniczny opisujemy hamiltonianem:

Operatory ={I,c, ,n=} rozpinają algebrę gradowaną: {c, }=1, {c,c}={ , }=0, [n,c]= - c, [n, ]=, [I,]=0. Hamiltonian ten można przekształcić do postaci

gdzie = - ℏω jest energią stanu podstawowego. Reguła komutacyjna {}=0 oznacza zakaz Pauliego, istnieje tylko stan próżni |0>, pierwszy stan wzbudzony |1>=|0>, drugi stan wzbudzony już nie istnieje: |2>=, bo z reguł antykomatacyjnych wynika, iż . Fermionowy oscylator harmoniczny zbudowany jest tylko z dwóch stanów, stanu podstawowego |0> i stanu wzbudzonego |1>. Posiada tylko dwie wartości własne = - ℏω i = ℏω.

Supersymetria[edytuj]

Bozonowy i ferminowy hamiltonian razem posiada dodatkową symetrię, która miesza bozonowe stopnie swobody z fermionowymi – nazywamy ją supersymetrią,

Generowana jest przez operatory: , , spełniają one relację:

Ta własność jest podstawą konstrukcji supersymetycznej teorii pola.