Oscylator harmoniczny jest układem fizycznym, który ma duże zastosowanie i znaczenie w wielu działach fizyki.
Jest to ciało o masie m, na które działa siła proporcjonalna do wychylenia z przeciwnym zwrotem
. Ponieważ siła F= - ∂U/∂x, to układ opisany jest przez potencjał:
Jego energia całkowita jest równa:
gdzie pęd p=mv. W mechanice kwantowej pęd p przechodzi w operator:
p=mv⇒p= - iℏ
spełniający regułę komutacyjną [x,p]=iℏ.
Wygodnie jest zdefiniować zamiast x, p dwa operatory
nazywane operatorami anihilacji i kreacji, stąd operator położenia x to
Bozonowy oscylator harmoniczny[edytuj]
Hamiltonian, czyli operator energii, przyjmuje teraz postać
Operatory
={I,a,
,n=
} rozpinają algebrę Heisenberga:
[a,
]=1,
[a,a]=[
,
]=0,
[n,a]= - a,
[n,
]=
,
[I,Xi]=0.
Komutator zdefiniowany jest jako [A,B]=A B - B A a antykomutator {A,B}=A B + B A. Hamiltoniam można przekształcić do postaci:
gdzie
jest energią stanu podstawowego. Hamiltoniam posiada całą drabinkę stanów własnych H|n> =
|n> z energiami własnymi:
i stanami własnymi:
Stan podstawowy |0> zdefiniowany jest jako a|0> =0. W tradycyjnym zapisie stan |n> opisuje funkcję falową
. Równanie a|0>=0 (lub
) jest równaniem różniczkowym którego rozwiązaniem jest funkcja falowa stanu podstawowego:

gdzie
. Operatory kreacji
tworzą kolejne funkcje falowe stanów wzbudzonych (stąd ich nazwa – creare (łac.) to tworzyć). Można je wyrazić przez wielomian|wielomiany Hermite'a:

gdzie
Fermionowy oscylator harmoniczny[edytuj]
Fermionowy oscylator harmoniczny opisujemy hamiltonianem:
Operatory
={I,c,
,n=
} rozpinają algebrę gradowaną:
{c,
}=1,
{c,c}={
,
}=0,
[n,c]= - c,
[n,
]=
,
[I,
]=0.
Hamiltonian ten można przekształcić do postaci
gdzie
= -
ℏω jest energią stanu podstawowego. Reguła komutacyjna {
}=0 oznacza zakaz Pauliego, istnieje tylko stan próżni |0>, pierwszy stan wzbudzony |1>=
|0>, drugi stan wzbudzony już nie istnieje: |2>=
, bo z reguł antykomatacyjnych wynika, iż
. Fermionowy oscylator harmoniczny zbudowany jest tylko z dwóch stanów, stanu podstawowego |0> i stanu wzbudzonego |1>. Posiada tylko dwie wartości własne
= -
ℏω i
=
ℏω.
Supersymetria[edytuj]
Bozonowy i ferminowy hamiltonian razem posiada dodatkową symetrię, która miesza bozonowe stopnie swobody z fermionowymi – nazywamy ją supersymetrią,
Generowana jest przez operatory:
,
, spełniają one relację:
Ta własność jest podstawą konstrukcji supersymetycznej teorii pola.