Fale/Fale w mechanice kwantowej i elektrodynamice klasycznej

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Fale
Fale
Fale w mechanice kwantowej i elektrodynamice klasycznej

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw.makowiecki@gmail.com
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Przykład cząsteczki amoniaki jako układ drgający w mechanice kwantowej[edytuj]

Rozważmy sobie cząsteczkę, w którym atomy wodoru H tworzą trójkąt równoboczny. Dla azotu N mamy dwa możliwe drgania, w których może on drgać na dwa sposoby odpowiadające dwom wahadłom a i b sprzężonym ze sobą. Jedno drganie jest po pierwszej stronie płaszczyzny H3, nazwijmy je przez "a", a drugie po drugiej stronie i nazwijmy je przez b. W mechanice klasycznej te położenia są położeniami równowagi trwałej, więc nie możliwe jest przejście z jednego stanu do drugiego. W mechanice kwantowej wprowadza się sprzężenie pomiędzy tymi stanami pozwalający na przenikanie płaszczyzny bariery potencjału. Załóżmy, że cząstka początkowo znajdowała się w stanie "a" w chwili t=0, wtedy zachodziło by |ψa|2=1, |ψb|2=0, znaczy to, że prawdopodobieństwo, że cząstka drga w stanie "a" jest równe pewności, ale N nie drga w stanie "b" w tymże czasie. Prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w stanie "a" lub "b" możemy przestawić przez dwa równania poprzez czas "t":

(10.1)
(10.2)
  • gdzie ω1 i ω2 są częstościami postaci drgań normalnych.

Równania (10.1) i (10.2) są kolejno bardzo podobne do (1.136) i do (1.137). Całkowite prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w stanie "a" lub "b" jest oczywiście równe jedności. Załóżmy, że cząstka w stanie 2 drga z nieco większą częstością ω21 niż w stanie jeden, atom N znajdujący się w tym stanie, który jest stanem nietrwałym i wyniku promieniowania elektromagnetycznego przechodzi ze stanu 2 zwany stanem wzbudzonym do stany 1 zwany stanem stanem podstawowym. To promieniowanie można wykryć w wyniku jego częstości dudnień ν21, która ma wartość , co odpowiada to długości fali równą około 1,5 cm, która jest w stanie radarowym lub mikrofalowym. Jeśli przez cząsteczki amoniaku będziemy przepuszczać o tej częstości promieniowanie, to okazuje się, że niektóre z atomów azotu N przejdzie ze stanu podstawowego do wzbudzonego.

Przykład układu sprzężonych ze sobą obojętnych mezonów[edytuj]

Bardzo interesującym przykładem jest układ sprzężonych ze sobą układu dwóch mezonów i , które zachowują się jak układ sprzężonych ze sobą wahadeł, które jako sprężynki spełniają rolę piony π, które każdy drogą słabego oddziaływania może oddziaływać z dwoma mezonami. Mamy tutaj dwa drgania proste zwanych mezonami , . W przypadku, gdy te dwie postacie drgań prostych nie rozpadają się na cząstki, to prawdopodobieństwo, że układ znajduje się w jednych tych stanów z dwóch jest określone przez wzory (10.1) i (10.2). Jeśli weźmiemy przykład tłumienia drgań dla tych dwóch cząstek, co jest równoważne rozkładowi tych mezonów na inne cząstki, to prawdopodobieństwo, że układ znajduje się w pierwszym lub drugim stanie, jest określane przez:

(10.3)
(10.4)

Wyprowadzenie związku dyspersyjnego dla fal de Broglie'a[edytuj]

Funkcja falowa drgań harmonicznych o częstości ω przestawiamy jako funkcję eksponencjalną, której amplituda jest zależna od położenia z:

(10.5)

Jeśli ten związek podstawimy do równania mechaniki kwantowej zależnego od czasu, w ten sposób uzyskamy zależność różniczkową na funkcję f(z):

(10.6)

Ze związku (10.6) otrzymujemy natychmiast funkcję f(z), która jest kombinacją liniową funkcji sinus i kosinus, którym argumentem jest iloczyn liczby falowej i położenia cząstki kwantowej, wtedy całą funkcję falową ψ(z,t) (10.5) możemy określić:

(10.7)

Jeśli jeszcze raz podstawimy (10.7) do równania zależnego od czasu, wtedy otrzymujemy związek dyspersyjny częstotliwości kołowej ω w zależności od liczby falowej k:

(10.8)

Fale stojące na kwantowej strunie skrzypcowej[edytuj]

Mając związek w postaci funkcji falowej (10.7), która na jej dwóch końcach ta funkcja nie przedstawia żadnych drgań, wtedy dla jednego końca z=0, otrzymujemy natychmiast B=0, mamy:

(10.9)

Ponieważ długość sprężynki jest skończona i wynosi L, to aby dla prawego końca funkcja (10.9) była równa zero, to musi być na pewno spełniony związek:

(10.10)

Unormujmy funkcję (10.9) do jedynki licząc całkę z kwadratu modułu (10.9) wykorzystując warunki brzegowe (10.10):


(10.11)

Ostateczną funkcję falową (10.9) na podstawie obliczeń (10.11) jest funkcja zależna od "z" przy warunkach brzegowych (10.10):

(10.12)

Związek dyspersyjny jaki rządzi równaniem (10.12), który wynika z (10.8), jest:

(10.13)

Kwantowy i klasyczny ośrodek niejednorodny[edytuj]

Rozważmy kwantowy ośrodek, w którym panuje niejednorodny potencjał zależny od z, czyli V(z), wtedy możemy napisać w analogii do (10.6) wzór:

(10.14)

W mechanice klasycznej dla niejednorodnej struny (2.57) równanie, w której w strunie wszędzie panuje takie same naprężenie równe T0(z)=T0, powstałe po podstawieniu funkcji falowej (10.5), jest:

(10.15)

Obszar zakazany w sensie klasycznym i przenikanie do niego cząstki kwantowej i klasycznej[edytuj]

Energia klasyczna całkowita cząstki krążącej pomiędzy barierami potencjału, która ta cząstka przez nie nie może przeniknąć jest określona przez:

(10.16)

Jeśli ona porusza się w przedziale o zerowym potencjale klasycznym i chce się przedostać do nieskończonego potencjału klasycznego, to cząstka w nim przebywająca ma energię kinetyczną ujemną, co jest pozbawione sensu fizycznego w mechanice fizycznej, ale nie w mechanice kwantowej. W fizyce klasycznej cząstka uderzająca w barierę potencjału zmienia swój pęd na przeciwny. Związek dyspersyjny rządzący pomiędzy częstością kołową drgań cząstki kwantowej, a liczbą falową uzyskujemy podstawiając do (10.16) zależności i :

(10.17)

Przechodzenie przez barierę potencjału a analogia z sprzężonymi wahadłami w mechanice klasycznej[edytuj]

W mechanice klasycznej istnieje związek dyspersyjny dla małych liczb falowych dla nieciągłej struny (2.87):

(10.18)

Inny związek dla częstości reaktywnych, który jest przestawiony związkiem (3.97) dla małych współczynników wygaszania, jest:

(10.19)

W mechanice kwantowej związek dyspersyjny dla fal eksponencjalnych możemy przedstawić przy pomocy związku zapisanego przy pomocy współczynnika wygaszania χ:

(10.20)

Prędkość fazowa i grupowa według mechaniki klasycznej i szczególnej teorii względności[edytuj]

Biorąc związek słuszny w mechanice kwantowej klasycznej (10.17), to policzmy jego prędkość fazową i grupową poruszającej się cząstki w mechanice kwantowej falowej:

(10.21)
(10.22)

Biorąc związek znany ze szczególnej teorii względności możemy zapisać związek pomiędzy energią a pędem cząstki, to zależność dyspersyjna pomiędzy częstotliwością a liczbą falową przestawiamy według związku:

(10.23)

Prędkość grupową cząstki według mechaniki kwantowej relatywistycznej możemy przedstawić jako pochodna częstotliwości kołowej wynikającej z równania (10.23) względem liczby falowej, to wszystko określamy poprzez:

(10.24)

Widzimy, że według mechaniki kwantowej klasycznej (10.22) i według mechaniki relatywistycznej (10.24) prędkość grupowa jest równa prędkości cząstki.

Wyprowadzenie równań falowych fal de Broglie'a według hamiltonianu klasycznego i relatywistycznego[edytuj]

Funkcję falową określmy dla fali o częstości kołowej ω i liczbie falowej "k" jako fale biegnące w kierunku zgodnym z osią "z" i niezgodnym z tą osią przestawiamy:

(10.25)

Policzmy teraz drugą pochodną wyrażenia (10.25) względem czasu najpierw licząc jego pierwszą pochodną, dla której dowiemy się, że ona jest wprost proporcjonalna do kwadratu częstotliwości kołowej wziętej z minusem i do funkcji falowej ψ(z,t):

(10.26)

A teraz policzmy drugą pochodną funkcji falowej (10.26), ale najpierw licząc jego pierwszą pochodną, dla której dowiemy się, że ona jest wprost proporcjonalna do kwadratu liczby falowej wziętej z minusem i do funkcji falowej ψ(z,t):

(10.27)

Będziemy tutaj korzystać ze wzoru na całkowitą energie układu składającą się z jednej cząstki (10.16) i podstawimy do niego wzór na energię równą i na pęd , wtedy po podstawieniu do niego wzoru na częstotliwość kołową wynikającego z (10.26) i na kwadrat liczby falowej wynikającego z (10.27), w ten sposób otrzymujemy równanie falowe mechaniki kwantowej klasycznej wychodząc z zasady zachowania energii dla mechaniki Newtona:

(10.28)

Powyższe równanie mechaniki falowej klasycznej jest spełnione dla V stałego, ale można go uogólnić dla pewnej niestałej funkcji potencjału zależną od z. To równanie tak uogólnione zwane jest jednowymiarowym równaniem Schrödingera. Mając wzór (10.23), który można go tak rozpisać w troszeczkę w innej postaci wykonując potęgowanie w jego drugim wyrazie, w ten sposób otrzymujemy równość mechaniki relatywistycznej kwantowej Kliena-Gordona:

(10.29)

Równanie falowe (10.28) dla m=0 jest równaniem falowym opisujących fotony dla fal nieulegających dyspersji pędzących z prędkością równą "c".

Promieniowanie elektromagnetyczne wysyłane przez jednowymiarowy atom w mechanice falowej[edytuj]

Weźmy sobie teraz elektron krążący w studni potencjału, którego funkcja falowa jest superpozycją dwóch stanów pierwszego podstawowego i pierwszego wzbudzonego:

(10.30)

Wyznaczmy teraz kwadrat modułu wyrażenia (10.30), którego definicja znana jest z algebry, przedstawiony w postaci:

(10.31)

Policzmy teraz całkę kwadratu modułu funkcji falowej (10.29), czyli funkcji (10.30), wykorzystując wzór na sinus i kosinusa podwojonego kąta, co według powyższych rozważań tą naszą całkę przedstawiamy:

(10.32)

Wyznaczmy teraz całkę z iloczynu funkcji "z" i kwadratu modułu funkcji falowej (10.31), którą możemy przecałkować względem "z" i wyłączając przed nawias funkcję niezależną od "z" i wykorzystując wzór na sumę sinusów znanego ze szkoły średniej:





(10.33)

Całkowita średnia prędkość cząstki określamy przy pomocy wzorów (10.30) i (10.31), która jak się przekonamy zależy od czasu "t" i różnicy częstotliwości kołowych ω1 i ω2 i amplitud A1 i A2:

(10.34)

Położenie elektronu krążącego, który ma ładunek q=-e oscyluje według wzoru (10.34) z częstością dudnień ω21, który to wysyła promieniowanie w postaci lecących fotonów ze wspomnianą częstością kołową.

Źródła spójne w czasie przy częstości dudnień optycznych[edytuj]

Zapiszmy teraz w postaci zespolonej całkowite zespolone natężenie fali, w której pierwsza fala jest napisana przy częstości kołowej ω1 i o przesunięciu fazowym φ1, a druga fala jest o częstości ω2 i o przesunięciu fazowym φ2, które razem to przepisujemy dokonując superpozycję tychże fal:

(10.35)

Każdą liczbę zespoloną możemy rozłożyć jako wektor w płaszczyźnie zespolonej, zatem długość wektora jako liczby zespolonej (10.35) możemy przedstawić jako moduł z tej wielkości:

(10.36)

Średnią energię przedstawiamy jako wielkość uśrednianą w ciągu jednego okresu wielkości (10.36) dla zespolonego natężenia fali (10.35), jak widzimy w tak otrzymanym wzorze na strumień energii występuje częstość dudnień równą ω12, która powinna przyjmować stosunkowo niską wartość. Czas koherencji, który jest odwrotnością szerokości pierwszej fali dla zmieniającej się stałej fazowej w ciągu jednego okresu, której również amplitudy tychże drgań też się zmieniają w sposób przypadkowy, przedstawiamy:

(10.37)
(10.38)

Aby można było zaobserwować dudnienia zapisane według ν12, to czasy (okresy) koherencji powinny być duże w porównaniu w porównaniu ze wspomnianą częstością dudnień, zatem aby eksperyment obserwacji tychże fal udał się, to czasy dudnień powinny spełniać następujące dwa warunki:

(10.39)
(10.40)

Czemu niebo jest jasne[edytuj]

W rozdziale "Czemu niebo jest niebieskawe" rozpatrywaliśmy czemu niebo w dzień jest niebieskie, a wieczorem czerwone. A teraz rozpatrzmy czemu niebo jest jasne. Rozpatrzymy teraz rozumowanie, które mówi dlaczego niebo powinno być niewidzialne. Rozpatrzmy elektron znajdujący w cząsteczce, który wysyła promieniowanie we wszystkich kierunkach znajdujący się pierwszym atomie, a teraz weźmy sobie drugi atom, który jest w pół długości fali dalej od obserwatora, oba te cząsteczki są pobudzane tymi samymi przesunięciami fazowymi, i tymi samymi amplitudami, co w wyniku nakładania się tych dwóch fali daje nam zero w położeniu obserwatora. Dla rozpraszania pod kątem 900 możemy spełnić te żądania dla fazy i amplitudy tak by cząsteczce pierwszej odpowiadała cząsteczka druga. Dla rozpraszania bliskiego mimo, że cząsteczki znajdujące od obserwatora są pobudzane o pół okresu wcześniej i są oddalone o półokresu dalej od obserwatora, ale one nie powodują one interferencji dekonstruktywnej. Biorąc pod uwagę, że sześcian zawiera cząsteczek, gęstość powietrza maleje wykładniczo wraz z wysokością, co powinno wystarczyć do zaistnienia interferencji dekonstruktywnej, ale to nie wystarcza, dlaczego? Powyższe przewidywania przeczą doświadczeniu, bo natężenie jest niemal takie jakie są wyniki rozpraszania na N cząsteczkach i napisane jest w postaci sumy natężeniem rozpraszania przez te cząsteczki, które są przyczynkami do tego natężenia. I nie wiadomo nadal dlaczego interferencja dekonstruktywna nie następuje. Jeśli obierzemy wodę zamiast powietrza interferencja dekonstruktywna następuje dla rozpraszania 900. Wiązka z latarki przechodzi przez czystą wodę przy nieznacznej stracie natężenia, jeśli pominąć nieznaczne rozszerzenia wiązki spowodowanej przez dyfrakcję. Rozproszenie przy 900 przy przejściu 10 m jest małe w porównaniu z powietrzem przy takiej samej wysokości. Przy tym rozproszeniu w wodzie dodaje się do siebie amplitudy fali rozproszeniowej, a w przypadku powietrza ich natężenia, dlatego w wodzie występuje interferencja dekonstruktywna. Tajemnicza kryje się w tym, że cząsteczki wody są rozłożone równomierne i znajdzie się zawsze cząsteczka wody numer dwa, wyniku której przewidziana interferencja jest dekonstruktywna, a w powietrzu na pierwszą cząsteczkę powietrza przypada średnio jedna ale druga cząsteczka powietrza, czasem w cale, zatem to wyjaśnia dlaczego w powietrzu sumują się natężenia, a wodzie amplitudy.

Weźmy sobie teraz obszar pierwszy i drugi znajdujący w tej samej odległości od słońca w przybliżeniu, ale obszar drugi znajduje się pół okresu dalej, a każdy z tych obszarów jest mały w porównaniu z długością fali światła monochromatycznego tutaj rozpatrywanego. Weźmy wszystkie cząsteczki znajdujące się w obszarze pierwszym, w którym każda cząsteczka wnosi przyczynek , a w obszarze dwa przyczynek , czyli całkowite natężenie pola w pierwszym obszarze jest , a w obszarze drugim jest , jeśli przyjmować będziemy falę biegnącą, który drugi obszar jest pół okresu dalej niż pierwszy, czyli powinno wtedy zachodzić , zatem całkowite natężenie fali docierające do obserwatora jest:

(10.41)

Pole wytwarzane przez jedną pobudzoną cząsteczkę jest opisywane przez funkcję:

(10.42)

A całkowite natężenie fali wytarzanej przez cząsteczki w obszarze pierwszym i drugim jest opisywane poprzez wzór:

(10.43)

Biorąc natężenie fali wytwarzanej prze pojedynczą cząsteczkę (10.41) i przez cząsteczki znajdujące się obszarze drugim (10.43), wstawiając to wszystko do wzoru na całkowite natężenie fali w punkcie obserwatora, po tak otrzymanej tożsamości i podzieleniu przez kosinus, otrzymujemy zależność pomiędzy amplitudami:

(10.44)

We wzorze n1 jest raz mniejsze, a za drugim większe od n2, a średnio rzecz mówiąc oba te wielkości średnio są sobie równe, wtedy średnio powinna występować interferencja dekonstruktywna pod kątem 900. Całkowite natężenie fali obserwowanego przez naszego obserwatora jest wyrażona poprzez wzór:

(10.45)

Weźmy sobie, że liczba cząsteczek znajdujących się w pierwszym obszarze jest , a w drugim obszarze jest , wtedy pierwszy czynnik występujący po prawej stronie pod średnią możemy przepisać wiedząc, że średnia wartość wartości n1 jest , a także średnia liczba cząsteczek n2 jest równa , wtedy można napisać:

(10.46)

Policzmy teraz średnią wartość trzeciego wyrażenia występującego w punkcie (10.46), która jak się przekonamy jest równa zero, a oto jego dowód:

(10.47)

Biorąc rozkład Poissona, w którym wartość oczekiwana jest równa wariancji, zatem na podstawie tego możemy napisać dwa wnioski wynikające z tego rozkładu:

(10.48)
(10.49)

Biorąc wnioski (10.48) i (10.49), a także wniosek (10.46) i (10.47), wtedy (10.45) możemy zapisać do postaci:

(10.50)

Dla wody warunki (10.48) i (10.49), które są dla powietrza, odpowiadają warunkom:

(10.51)
(10.52)

Patrząc na warunek (10.50), który odpowiada ośrodkowi, który jest powietrzem opisanym na podstawie wzorów (10.51) i (10.52), natomiast dla wody odpowiada warunek:

(10.53)

Fale elektromagnetyczne rozchodzące się w ośrodkach materialnych[edytuj]

Równania Maxwella[edytuj]

Różniczkowe prawa Maxwella dla materii:
Pierwsze prawo Maxwella
Drugie prawo Maxwella
Trzecie prawo Maxwella
Czwarte prawo Maxwella
(10.54)
(10.55)
(10.56)
(10.57)
Definicja pewnych wektorów w prowadzonych dla dowolnego ośrodka
Wektor indukcji elektrycznej
Wektor natężenia pola magnetycznego
(10.58)
(10.59)

Wprowadzenie do teorii o ośrodkach liniowo-izotropowych[edytuj]

Siła działający na ładunek q określamy poprzez wzór napisany przy pomocy natężenia pola elektrycznego i indukcji pola magnetycznego w postaci:

(10.60)

Siły działająca na ładunki znajdujące się w ośrodku pochodzą od natężenia pola elektrycznego i indukcji pola magnetycznego . Ośrodek nazywamy izotropowym, jeśli polaryzacja ma kierunek wzdłuż wektora , a magnetyzacja ma kierunek zgodny z wektorem indukcji magnetycznej . Z powyższych warunków możemy wywnioskować wnioski, że jeśli polaryzacja jest równa zero, to natężenie pola też jest równe zero, a także jeśli magnetyzacja jest równa zero, to wektor indukcji jest równy zero. Ośrodek izotropowy jest taki, że jeśli iksowa składowa polaryzacji zależy tylko od iksowej składowej iksowej pola elektrycznego, a nie od igrekowego, ten związek tej zależności jest:

(10.61)

Przy dostatecznie małych natężeniach pola elektrycznego w wyrażeniu (10.61) możemy zaniedbać wyrazy wyższe niż liniowe. Polaryzację i magnetyzację liniową możemy przedstawić jako:

(10.62)
(10.63)

Przenikalności elektryczne i magnetyczne zdefiniowane poprzez wzory (10.58) i (10.59) są napisane:

(10.64)
(10.65)

Względne przenikalności elektryczne i magnetyczne zdefiniowane są na podstawie wzorów (10.64) i (10.65):

(10.66)
(10.67)

Uogólnienie wniosku (10.62) dla pól zależnych od czasu, w którym polaryzacja jest równoległa do natężenia pola elektrycznego dla pól rozprzestrzeniających się w czasie prowadzi do fałszywych wniosków, że powinno zachodzić dla częstości drgań fali elektrycznej ω:

(10.68)

W tym celu należy wprowadzić podatność elektryczną elastyczną i absorpcyjną, dzięki któremu możemy wprowadzić polaryzację iksową, którego definicja jest sumą iloczynu przenikalności elektrycznej w próżni przez podatność elastyczną i przez Ex i iloczynu przenikalności elektrycznej w próżni przez podatność elektryczną absorpcyjną i przez natężenia fali pola elektrycznego przesuniętego w fazie o 900:

(10.69)

Natężenie fali elektromagnetycznej zmienia się według funkcji proporcjonalnej do kosinusa, tzn.:

(10.70)

wtedy polaryzację wyrażoną wzorem (10.69) przy definicji natężenia iksowego fali pola elektrycznego (10.70) możemy przepisać:

(10.71)

Prosty model ośrodka izotropowego liniowego i wyznaczanie podatności elastycznej i magnetycznej[edytuj]

Rozważmy prosty model ośrodka liniowego i izotropowego, w której jądra są znacznie cięższe od rozważanego ładunku, który jest połączony z jądrem sprężyście o stałej sprężystości równą . Ruch jądra jest pomijalny, wiec nie mamy magnetyzacji. Na ten ładunek działa siła tłumiąca jego ruch o stałej tłumienia równą , zatem równanie ruchu ładunku q, na którą działa pole elektryczne o przebiegu kosinusoidalnej, jest:

(10.72)

Natężenie fali pola elektrycznego, w zależności od częstotliwości występujące w równaniu (10.72), jest:

(10.73)

Równanie ruchu położenia cząstki, który określamy poprzez amplitudę elastyczną Eel i amplitudę absorpcyjną Aab, piszemy:

(10.74)

Amplitudę absorpcyjną Aab i elastyczną Ael, które już określaliśmy dla F0=qE0 w punktach (3.29) i (3.30), które przepiszemy tutaj dla przejrzystości wykładu:

(10.75)
(10.76)

Ponieważ polaryzację definiujemy jako iloczyn koncentracji N, ładunku q i położenia tegoż ładunku (10.74) przy definicji natężenia fali pola elektrycznego (10.73):


(10.77)

Możemy porównać wzory (10.71) z (10.77) na polaryzację iksową, wtedy dostajemy wzory na podatność elektryczną elastyczną i absorpcyjną:

(10.78)
(10.79)

Liczby zespolone w równaniach elektrodynamiki klasycznej i prowadzenie definicji podatności zespolonej[edytuj]

Równania elektrodynamiki klasycznej Maxwella nie zawierają w sobie liczb zespolonej, ale też jego rozwiązania, ale możemy prowadzić podatność elektryczną jako wielkość zespoloną jako:

(10.80)

Polaryzację zespoloną możemy przedstawić w zależności od natężenia pola elektrycznego zespolonego dla fali elektrycznej o częstotliwości kołowej ω wedle:

(10.81)

Jeśli przedstawimy natężenie zespolone pola elektromagnetycznego w postaci wzoru zależnego od częstotliwości kołowej zapisywaną w konwencji używanej w mechanice kwantowej:

(10.82)

wtedy zapis polaryzacji zespolonej (10.81) przy zastosowaniu definicji podatności elektrycznej (10.80) i wzoru na natężenie fali pola elektrycznego (10.82) prowadzi do:


(10.83)

Część rzeczywista równania na polaryzację zespoloną (10.83) jest w naszym przypadku polaryzacją elektryczną ośrodka, która jest taka sama jak wzór (10.71), wtedy definicja podatności zespolonej elektrycznej (10.80) jest definicją poprawną i zgadza się z naszymi rozważaniami.

Prosty model ośrodka liniowego izotropowego i jego zespolona stała dielektryczna[edytuj]

Względną zespoloną stałą dielektryczną możemy liczyć z bardzo podobnej definicji do (10.66), przy definicji podatności elektrycznej równą (10.80):

(10.84)

Rozwiązywanie ruchu ładunku q w ośrodku tłumionym o wymuszonym pod działaniem konsinosidalnej siły elektrycznej przy wprowadzeniu liczb zespolonych[edytuj]

Równanie ruchu danego ładunku w ośrodku przestawiamy analogicznie do (10.73), który jest przedstawiony w przestrzeni rzeczywistej, a tutaj przedstawimy je w przestrzeni zespolonej:

(10.85)

Będziemy tutaj rozpatrywać ruch ładunków ośrodka, którego rozwiązanie przepuszczalne jest dla x=x0e-iωt, wtedy podstawiając to do (10.85) i pamiętając przy tym , i , wtedy powyższe równanie ruchu cząstki obdarzonej ładunkiem q w ośrodku jest:

(10.86)

Równanie (10.86), a właściwie jej część rzeczywista jest równoważna z rozwiązaniem (10.74) przy definicji amplitudy elastycznej Ael (10.75) i absorpcyjnej Aab (10.86). Stałą podatność piszemy w postaci wzoru wynikającą z (10.81), w której wykorzystamy definicję polaryzacji elektrycznej (10.77) do zapisania tej wielkości:

(10.87)

Zespoloną względna przenikalność elektryczną liczmy ze wzoru (10.87), w ten sposób otrzymujemy analogiczny do (10.84) wzór:

(10.88)

Jak można wykazać, wzór (10.88) jest równoważny ze wzorem (10.84), co tutaj nie będziemy wykazywali, co jest trywialne.

Równania elektrodynamiki klasycznej dla ośrodka liniowego izotropowego[edytuj]

Prawa Maxwella dla ośrodka liniowego :
Pierwsze prawo Maxwella
Drugie prawo Maxwella
Trzecie prawo Maxwella
Czwarte prawo Maxwella
(10.89)
(10.90)
(10.91)
(10.92)

Będziemy tutaj rozpatrywali, gdy gęstość objętościowa i prąd objętościowy ładunku swobodnych są te wielkości równe zero, jeśli będziemy rozpatrywali fale elektromagnetyczne.

Równanie falowe[edytuj]

Mnożymy obustronnie lewostronnie przez wzór (10.92), dalej po skorzystaniu ze wzoru (10.91), w ostateczności otrzymujemy:

(10.93)

Podobne mnożymy obustronnie lewostronnie przez wzór (10.91), dalej po skorzystaniu ze wzoru (10.92), otrzymujemy:

(10.94)

Będziemy tutaj wykorzystywali tożsamość, którą przepiszemy jako bez dowodu, którego przeprowadzenie jest bardzo łatwe.

(10.95)

Jeśli skorzystamy z tożsamości (10.95) do (10.93) i (10.94), to w ten sposób otrzymujemy dwa równania falowe na natężenia pola elektrycznego i indukcję pola magnetycznego:

(10.96)
(10.97)

Równania (10.96) i (10.97) są to równania fali, których jest trzy dla fali pola elektrycznego i trzy dla fali pola magnetycznego, których razem mamy sześć równań dla fali pola elektromagnetycznego, które w ogólnym przypadku zapisujemy:

(10.98)

dla którego kwadrat liczby falowej przepisujemy do postaci zależnej od względnej przenikalności dielektrycznej i względnej przenikalności magnetycznej:

(10.99)

Dla przenikalności elektrycznej względnej i przenikalność magnetycznej, które te dwie wielkości są zespolone, wtedy (10.99) możemy zapisać w postaci kwadratu zespolonej liczby falowej dla rzeczywistej częstotliwości kołowej jako:

(10.100)

Każdą falę możemy przedstawić w postaci zespolonej według wzoru:

(10.101)

Dla fal elektromagnetycznych zachodzi bardzo podobny związek do (10.101), który tutaj dla naszego przypadku nie będziemy przepisywać dla zwięzłości wykładu.

Związek pomiędzy natężeniem pola elektrycznego i magnetycznego dla fali płaskiej elektromagnetycznej[edytuj]

Związek pomiędzy falami magnetycznymi i elektrycznymi na podstawie (10.91) i (10.92) dla iksowego pola elektrycznego i igrekowego pola magnetycznego przepisujemy w postaci dwóch równań:

(10.102)
(10.103)

Napiszmy teraz natężenie iksowe pola elektrycznego i magnetycznego w postaci równań fali biegnącej w kierunku osi z, jest ona superpozycją fali biegnącej w kierunku +z i w kierunku -z:

(10.104)
(10.105)

Równania (10.104) i (10.105) podstawiamy do (10.102), w ten sposób mamy tożsamość, którego postać po obu stronach jest jednakowa:

(10.106)

Powyższą równość jest tożsamością, jak można było udowodnić przy definicji współczynnika załamania n=c/v, następnie przejdźmy do dowodu równości (10.103):

(10.107)

Powyższa równość staje się tożsamością przy definicji współczynnika załamania n=c/v.

Współczynnik transmisji i odbicia[edytuj]

Natężenie pola elektrycznego padająca na granicę dwóch ośrodków, na której tej granicy fala padająca jest odbijana przy współczynniku odbicia R12, a także część tej fali przechodzi do drugiego ośrodka, którego to równania fali dla natężenia fali elektrycznej padającej i odbitej przedstawiamy:

(10.108)
(10.109)

Dla pola magnetycznego zachodzą bardzo podobne związki do (10.108) i (10.109) przy definicji współczynnika odbicia i transmisji:

(10.110)
(10.111)

Ciągłość w punkcie z=0, daje nam, że suma współczynnika odbicia R12 i jedynki jest równa współczynnikowi transmisji dla równań (10.108) i (10.109). A także w wyniku tożsamości , której natężenie pola magnetycznego jest wielkością ciągłą dla równań (10.101) i (10.111) dla tego samego "z", możemy zapisać:

(10.112)
(10.113)

Zdefiniujemy teraz impedancję charakterystyczną, która jest w zależności od przenikalności elektrycznej i magnetycznej ośrodka, którego początkowa definicja jest ilorazem przenikalności magnetycznej ośrodka przez współczynnik załamania:

(10.114)

Jeśli wykorzystamy definicje impedancji (10.114), a także wykorzystamy do tego celu tożsamości (10.112) i (10.113), w ten sposób możemy wyznaczyć wzór na współczynnik odbicia, dalej przepiszemy jego postać dla przenikalności magnetycznej równą jeden:

(10.115)

Jeśli współczynnik załamania ośrodka pierwszego jest równy jedności, tzn. n1=1, wtedy współczynnik odbicia (10.115), przy definicji impedancji (10.114), jest równy:

(10.116)

Jeśli w współczynniku odbicia R12podstawimy współczynnik załamania przez n=nR+inl dla współczynnika załamania n1 równy jeden i dla współczynnika załamania n2 równą po prostu n. Wtedy można przedstawić R12 i jego kwadrat modułu w jednej linijce:

(10.117)
(10.118)

Uproszczony prosty model przewodnika dyspersyjnego w przypadku stałego pola elektrycznego iksowego[edytuj]

Weźmy sobie uproszczony model przewodnika, w którym każdy elektron już nie oddziaływuje z jądrem na w sposób sprężysty, na te ładunki w przewodniku działa siła pochodząca od pola elektrycznego, jego równanie ruchu jest:

(10.119)

Weźmy teraz stacjonarne pola elektryczne, to (10.119) możemy rozwiązać dokonując w nim podstawienia :


(10.120)

Jeśli przyjmować będziemy przykład dużego tłumienia w przewodniku, wtedy wyrażenie (10.120) możemy przepisać w sposób przybliżony:

(10.121)

Absorpcyjny oporowy obszar częstości, przenikalność i przewodność elektryczna[edytuj]

Wyobraźmy sobie elektron, który oddziałuje z polem o charakterze fali, dla Γ>>ω, wtedy na podstawie tego współczynnik elastyczny Ael jest równy zero, wtedy współczynnik absorpcyjny przybiera postać:

(10.122)

Pochodna cząstkowa położenia ładunku q określimy jako pochodna zupełna położenia elektronu (10.73):

(10.123)

Gęstość prądu elektrycznego, z którego wyprowadzimy różniczkowe prawo Ohma, definiujemy:

(10.124)

Do tego problemu podejdźmy teraz z innej strony rozpatrując, że pole elektryczne drga i zapiszemy go w postaci eksponencjalnej, wtedy gęstość prądu elektrycznego możemy przepisać w formie:

(10.125)

Z posługiwania się tożsamością (10.125) możemy wywnioskować, że przewodność elektryczną definiujemy:

(10.126)

Zamiast posługiwania się powyższym wzorem na przewodność elektryczną, tzn. jej częścią rzeczywistą i urojoną, można się posługiwać zespolonymi wielkościami, dla których zespoloną podatność elektryczną i zespoloną przewodność elektryczną dla zerowania się częstotliwości drgań podstawowych piszemy przy wykorzystaniu (10.87):

(10.127)
(10.128)

Gdy wybierzemy przykład ω<<Γ, wtedy zespoloną podatność elektryczną (10.127) i zespoloną przewodność elektryczną (10.128) piszemy:

(10.129)
(10.130)

Wyznaczmy teraz współczynnik załamania światła, który możemy przedstawić z zależności od podatności elektrycznej, gdy współczynnik przenikalności magnetycznej względny wynosi jeden:

(10.131)

Rozrzedzony ośrodek oporowy[edytuj]

Dla rozrzedzonego ośrodka oporowego, zachodzą warunki, z których będziemy skorzystać:

(10.132)

wtedy współczynnik załamania światła (10.131) jest napisany:

(10.133)

Przy liczeniu współczynnika załamania pomijaliśmy wyrazy wyższego rzędu. Policzmy zespoloną liczbę falową wykorzystując (10.133) przy użyciu definicji kwadratu ωpl i definicji przewodności elektrycznej σ (10.124):

(10.134)

Część urojona liczby falowej (10.134) powoduje, że fala zanika wraz zwiększającą odległością zetową "z", ta część funkcji falowej dana jest przez e-Im(k)z, natężanie opisywanej fali jest wprost proporcjonalne do kwadratu tej części wspomnianej, czyli do e-2Im(k)z. Odległość zaniku natężenia fali elektromagnetycznej, określamy przez d=(2Im(k))-1, gdzie jest takie, że funkcja indukcji pola magnetycznego i natężenia pola elektrycznego zmiejsza się razy względem zmiennej , piszemy przy pomocy współczynnika przewodności:

(10.135)

Mając współczynnik załamania zapisanego wzorem (10.133), wtedy kwadrat modułu współczynnika odbicia (10.118) określamy poprzez:

(10.136)

Do końcowego wzoru na współczynnik odbicia (10.136) podstawiamy cześć zespoloną wyrażenia (10.133), otrzymujemy:

(10.137)

Gęsty ośrodek oporowy[edytuj]

W przypadku gęstego ośrodka oporowego zachodzą warunki, z których będziemy korzystali:

(10.138)

Biorąc wzór na współczynnik załamania n (10.133) skorzystamy tutaj z tożsamości, którą można udowodnić korzystając z wiadomości z algebry, tj. , co odpowiada , by potem było można oczywiście powiedzieć:

(10.139)

Zespoloną liczbę falową, na podstawie obliczeń (10.139) i przy skorzystaniu (10.131), możemy przedstawić w postaci zależnej od współczynnika przewodności elektrycznej:

(10.140)

Mając zdefiniowany zespolony współczynnik załamania (10.139) możemy policzyć kwadrat modułu współczynnika odbicia (10.118):


(10.141)

Ponieważ energia fali padającej do ośrodka jest wprost proporcjonalna do kwadratu funkcji falowej, zatem współczynnik "d" przedstawiający zanik natężenia fali wkraczający w ośrodek jest opisywany poprzez wzór w przedstawieniu:

(10.142)

Jak widzimy z powyższych rozważań środek oporowy rozrzedzony jest w zasadzie czarnym, co daje niemal zupełną absorpcję docierającego do niego światła. A przeciwnie ośrodek oporowy gesty zachowuje się jak dyskretny skupiony opór falowy, który daje niemal stukrotne odbicie.

Całkowicie elastyczny obszar częstości[edytuj]

Weźmy sobie równanie (10.114) przy definicji położenia danego przez funkcję eksponencjalną e-iωt:

(10.143)

Rozwiązanie równania (10.119) w postaci funkcji prędkości dla ω>>Γ jest funkcją zależną od Ex, częstotliwości kołowej ω, masy ładunku i ładunku o wartości "q":

(10.144)

Jak widzimy cząstki, dla której prędkość względem siły jest przesunięta o ±900, wtedy praca wykonywana nad ładunkiem jest równa zero. Gęstość prądu elektrycznego określamy przy pomocy definicji prędkości zdefiniowaną w punkcie (10.144):

(10.145)

Przestawimy teraz w jednej linijce jaka jest definicja przewodności elektrycznej według (10.145) (która jest liczbą zespoloną) i kwadrat współczynnika załamania, patrząc na równanie (10.126):

(10.146)
(10.147)

Przedział dla częstości dyspersyjnych[edytuj]

Obszar częstości dyspersyjnej możemy zdefiniować warunkami:

(10.148)

Na podstawie warunku dyspersyjnego dla kwadratu współczynnika załamania (10.147) można powiedzieć, że ona mieści się w przedziale od zera do jedynki, stąd wynika, że sam współczynnik załamania też leży w tym samym przedziale:

(10.149)

Widzimy na podstawie obliczeń (10.149), że współczynnik n jest rzeczywisty. Ten ośrodek spełniającej (10.149) jest ośrodkiem przezroczystym, który nie ma wcale absorpcji, a względne natężenie światła jest opisywane poprzez współczynnik odbicia (10.118).

Przedział dla częstości reaktywnych[edytuj]

Obszar częstości reaktywnej możemy zdefiniować warunkami:

(10.150)

wtedy na podstawie (10.147) i (10.150) zachodzi warunek:

(10.151)

Współczynnik załamania dla częstości kołowych reaktywnych na podstawie (10.151) możemy przepisać, ale nie tym razem dla kwadratu, ale dla samego współczynnika załamania, w zależności od częstotliwości kołowej fali:

(10.152)

Policzmy czemu jest równa zespolona liczba falowa, której przedstawienie w zależności od współczynnika załamania (10.152) podamy w postaci urojonej w zależności od częstotliwości kołowej, modułu współczynnika załamania i prędkości światła:

(10.153)

Patrząc na (10.153), to całkowite natężenie fali w ośrodku reaktywnym jest przestawiane przy pomocy funkcji eksponencjalnych oraz względem sinusa i kosinus (bo eksponens z liczby urojonej możemy rozłożyć na jej część rzeczywistą przy pomocy kosinusa i na część urojoną przy pomocy sinusa) przy pomocy czasu:

(10.154)

Policzmy teraz kwadrat modułu współczynnik odbicia przy pomocy współczynnika załamania (10.152), która jest ona wyrażona przy pomocy liczby stojącej przy jednostce urojonej i bez części rzeczywistej:

(10.155)