Fale/Fale w mechanice kwantowej i elektrodynamice klasycznej

Fale w mechanice kwantowej i elektrodynamice klasycznej

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Przykład cząsteczki amoniaki jako układ drgający w mechanice kwantowej

Rozważmy sobie cząsteczkę, w którym atomy wodoru H tworzą trójkąt równoboczny. Dla azotu N mamy dwa możliwe drgania, w których może on drgać na dwa sposoby odpowiadające dwom wahadłom a i b sprzężonym ze sobą. Jedno drganie jest po pierwszej stronie płaszczyzny H₃, nazwijmy je przez "a", a drugie po drugiej stronie i nazwijmy je przez b. W mechanice klasycznej te położenia są położeniami równowagi trwałej, więc nie możliwe jest przejście z jednego stanu do drugiego. W mechanice kwantowej wprowadza się sprzężenie pomiędzy tymi stanami pozwalający na przenikanie płaszczyzny bariery potencjału. Załóżmy, że cząstka początkowo znajdowała się w stanie "a" w chwili t=0, wtedy zachodziło by |ψ_a|²=1, |ψ_b|²=0, znaczy to, że prawdopodobieństwo, że cząstka drga w stanie "a" jest równe pewności, ale N nie drga w stanie "b" w tymże czasie. Prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w stanie "a" lub "b" możemy przestawić przez dwa równania poprzez czas "t":

$|\psi _{a}|^{2}={{1} \over {2}}\left[1+\cos(\omega _{1}-\omega _{2})t\right]\;$

(10.1)

$|\psi _{b}|^{2}={{1} \over {2}}\left[1-\cos(\omega _{1}-\omega _{2})t\right]\;$

(10.2)

• gdzie ω₁ i ω₂ są częstościami postaci drgań normalnych.

Równania (10.1) i (10.2) są kolejno bardzo podobne do (1.136) i do (1.137). Całkowite prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w stanie "a" lub "b" jest oczywiście równe jedności. Załóżmy, że cząstka w stanie 2 drga z nieco większą częstością ω₂>ω₁ niż w stanie jeden, atom N znajdujący się w tym stanie, który jest stanem nietrwałym i wyniku promieniowania elektromagnetycznego przechodzi ze stanu 2 zwany stanem wzbudzonym do stany 1 zwany stanem stanem podstawowym. To promieniowanie można wykryć w wyniku jego częstości dudnień ν₂-ν₁, która ma wartość $\nu _{mod}=\nu _{2}-\nu _{1}\simeq 2\cdot 10^{10}Hz\;$, co odpowiada to długości fali równą około 1,5 cm, która jest w stanie radarowym lub mikrofalowym. Jeśli przez cząsteczki amoniaku będziemy przepuszczać o tej częstości promieniowanie, to okazuje się, że niektóre z atomów azotu N przejdzie ze stanu podstawowego do wzbudzonego.

Przykład układu sprzężonych ze sobą obojętnych mezonów

Bardzo interesującym przykładem jest układ sprzężonych ze sobą układu dwóch mezonów $K^{0}\;$ i ${\overline {K}}^{0}\;$, które zachowują się jak układ sprzężonych ze sobą wahadeł, które jako sprężynki spełniają rolę piony π, które każdy drogą słabego oddziaływania może oddziaływać z dwoma mezonami. Mamy tutaj dwa drgania proste zwanych mezonami $K_{1}^{0}\;$, $K_{1}^{0}\;$. W przypadku, gdy te dwie postacie drgań prostych nie rozpadają się na cząstki, to prawdopodobieństwo, że układ znajduje się w jednych tych stanów z dwóch jest określone przez wzory (10.1) i (10.2). Jeśli weźmiemy przykład tłumienia drgań dla tych dwóch cząstek, co jest równoważne rozkładowi tych mezonów na inne cząstki, to prawdopodobieństwo, że układ znajduje się w pierwszym lub drugim stanie, jest określane przez:

$|\psi (K_{1}^{0})|^{2}={{1} \over {4}}\left[e^{-{{t} \over {\tau _{1}}}}+e^{-{{t} \over {\tau _{2}}}}+2e^{-{{1} \over {2}}\left({{t} \over {\tau _{1}}}+{{t} \over {\tau _{2}}}\right)}\cos(\omega _{1}-\omega _{2})t\right]\;$

(10.3)

$|\psi (K_{1}^{0})|^{2}=\;$
$={{1} \over {4}}\left[e^{-{{t} \over {\tau _{1}}}}+e^{-{{t} \over {\tau _{2}}}}-2e^{-{{1} \over {2}}\left({{t} \over {\tau _{1}}}+{{t} \over {\tau _{2}}}\right)}\cos(\omega _{1}-\omega _{2})t\right]\;$

(10.4)

Wyprowadzenie związku dyspersyjnego dla fal de Broglie'a

Funkcja falowa drgań harmonicznych o częstości ω przestawiamy jako funkcję eksponencjalną, której amplituda jest zależna od położenia z:

$\psi (z,t)=Af(z)e^{-i\omega t}\;$

(10.5)

Jeśli ten związek podstawimy do równania mechaniki kwantowej zależnego od czasu, w ten sposób uzyskamy zależność różniczkową na funkcję f(z):

${{d^{2}f(z)} \over {dz^{2}}}={{2m} \over {\hbar ^{2}}}\left[V-\hbar \omega \right]f(z)\;$

(10.6)

Ze związku (10.6) otrzymujemy natychmiast funkcję f(z), która jest kombinacją liniową funkcji sinus i kosinus, którym argumentem jest iloczyn liczby falowej i położenia cząstki kwantowej, wtedy całą funkcję falową ψ(z,t) (10.5) możemy określić:

$\psi (z,t)=\left[A\sin kz+B\cos kz\right]e^{i\omega t}\;$

(10.7)

Jeśli jeszcze raz podstawimy (10.7) do równania zależnego od czasu, wtedy otrzymujemy związek dyspersyjny częstotliwości kołowej ω w zależności od liczby falowej k:

$\hbar \omega ={{\hbar ^{2}k^{2}} \over {2m}}+V\;$

(10.8)

Fale stojące na kwantowej strunie skrzypcowej

Mając związek w postaci funkcji falowej (10.7), która na jej dwóch końcach ta funkcja nie przedstawia żadnych drgań, wtedy dla jednego końca z=0, otrzymujemy natychmiast B=0, mamy:

$\psi (z,t)=e^{i\omega t}A\sin kx\;$

(10.9)

Ponieważ długość sprężynki jest skończona i wynosi L, to aby dla prawego końca funkcja (10.9) była równa zero, to musi być na pewno spełniony związek:

$kL=n\pi \Rightarrow k=n{{\pi } \over {L}}\;$

(10.10)

Unormujmy funkcję (10.9) do jedynki licząc całkę z kwadratu modułu (10.9) wykorzystując warunki brzegowe (10.10):

$1=\int _{0}^{L}|\psi |^{2}dz=A^{2}\int _{0}^{L}\sin ^{2}kzdz={{1} \over {2}}A^{2}\int _{0}^{L}\left[1-\cos 2kz\right]={{1} \over {2}}A^{2}\left[1-{{1} \over {2k}}\cos 2kz{\Bigg |}_{0}^{n{{\pi } \over {L}}}\right]={{1} \over {2}}A^{2}L\;$

(10.11)

Ostateczną funkcję falową (10.9) na podstawie obliczeń (10.11) jest funkcja zależna od "z" przy warunkach brzegowych (10.10):

$\psi (z,t)={\sqrt {{2} \over {L}}}e^{i\omega t}\sin kz\;$

(10.12)

Związek dyspersyjny jaki rządzi równaniem (10.12), który wynika z (10.8), jest:

$\omega _{n}=\omega _{0}+{{\hbar k_{n}^{2}} \over {2m}}=\omega _{0}+{{\hbar \left(n\pi /L\right)^{2}} \over {2m}}{\mbox{ dla }}n=1,2,3,...,{\mbox{ przy }}\omega _{0}={{V} \over {\hbar }}\;$

(10.13)

Kwantowy i klasyczny ośrodek niejednorodny

Rozważmy kwantowy ośrodek, w którym panuje niejednorodny potencjał zależny od z, czyli V(z), wtedy możemy napisać w analogii do (10.6) wzór:

${{d^{2}f(z)} \over {dz^{2}}}={{2m} \over {\hbar ^{2}}}\left[V(z)-\hbar \omega \right]f(z)\;$

(10.14)

W mechanice klasycznej dla niejednorodnej struny (2.57) równanie, w której w strunie wszędzie panuje takie same naprężenie równe T₀(z)=T₀, powstałe po podstawieniu funkcji falowej (10.5), jest:

${{d^{2}f(z)} \over {dz^{2}}}=-{{\omega ^{2}\rho (z)} \over {T_{0}}}f(z)\;$

(10.15)

Obszar zakazany w sensie klasycznym i przenikanie do niego cząstki kwantowej i klasycznej

Energia klasyczna całkowita cząstki krążącej pomiędzy barierami potencjału, która ta cząstka przez nie nie może przeniknąć jest określona przez:

$E={{p^{2}} \over {2m}}+V\;$

(10.16)

Jeśli ona porusza się w przedziale o zerowym potencjale klasycznym i chce się przedostać do nieskończonego potencjału klasycznego, to cząstka w nim przebywająca ma energię kinetyczną ujemną, co jest pozbawione sensu fizycznego w mechanice fizycznej, ale nie w mechanice kwantowej. W fizyce klasycznej cząstka uderzająca w barierę potencjału zmienia swój pęd na przeciwny. Związek dyspersyjny rządzący pomiędzy częstością kołową drgań cząstki kwantowej, a liczbą falową uzyskujemy podstawiając do (10.16) zależności $E=\hbar \omega \;$ i $p=\hbar k\;$:

$\omega =\omega _{0}(z)+{{\hbar k^{2}} \over {2m}}{\mbox{ dla }}\omega >\omega _{0}{\mbox{, gdzie: }}\omega _{0}(z)={{V(z)} \over {\hbar }}\;$

(10.17)

Przechodzenie przez barierę potencjału a analogia z sprzężonymi wahadłami w mechanice klasycznej

W mechanice klasycznej istnieje związek dyspersyjny dla małych liczb falowych dla nieciągłej struny (2.87):

$\omega ^{2}=\omega _{0}^{2}+{{K^{2}a^{2}} \over {M}}k^{2}{\mbox{ dla }}\omega ^{2}>\omega _{0}^{2}{\mbox{, gdzie }}\omega _{0}^{2}={{g} \over {l}}\;$

(10.18)

Inny związek dla częstości reaktywnych, który jest przestawiony związkiem (3.97) dla małych współczynników wygaszania, jest:

$\omega ^{2}=\omega _{0}^{2}-{{K^{2}a^{2}} \over {M}}\chi ^{2}\;$

(10.19)

W mechanice kwantowej związek dyspersyjny dla fal eksponencjalnych możemy przedstawić przy pomocy związku zapisanego przy pomocy współczynnika wygaszania χ:

$\omega =\omega _{0}(z)-{{\hbar \chi ^{2}} \over {2m}}{\mbox{, dla }}\omega <\omega _{0}\;$

(10.20)

Prędkość fazowa i grupowa według mechaniki klasycznej i szczególnej teorii względności

Biorąc związek słuszny w mechanice kwantowej klasycznej (10.17), to policzmy jego prędkość fazową i grupową poruszającej się cząstki w mechanice kwantowej falowej:

$v_{f}(k)={{\omega } \over {k}}={{\hbar k} \over {2m}}+{{V} \over {\hbar k}}={{1} \over {2}}p+{{V} \over {p}}\;$

(10.21)

$v_{g}={{d\omega } \over {dk}}={{\hbar k} \over {m}}={{p} \over {m}}={{mv} \over {m}}=v\;$

(10.22)

Biorąc związek znany ze szczególnej teorii względności możemy zapisać związek pomiędzy energią a pędem cząstki, to zależność dyspersyjna pomiędzy częstotliwością a liczbą falową przestawiamy według związku:

$\hbar ^{2}\omega ^{2}=(mc^{2})^{2}+(\hbar ck)^{2}\;$

(10.23)

Prędkość grupową cząstki według mechaniki kwantowej relatywistycznej możemy przedstawić jako pochodna częstotliwości kołowej wynikającej z równania (10.23) względem liczby falowej, to wszystko określamy poprzez:

$v_{g}={{d\omega } \over {dk}}={{c^{2}k} \over {\omega }}={{c^{2}p} \over {E}}={{c^{2}mv} \over {mc^{2}}}=v\;$

(10.24)

Widzimy, że według mechaniki kwantowej klasycznej (10.22) i według mechaniki relatywistycznej (10.24) prędkość grupowa jest równa prędkości cząstki.

Wyprowadzenie równań falowych fal de Broglie'a według hamiltonianu klasycznego i relatywistycznego

Funkcję falową określmy dla fali o częstości kołowej ω i liczbie falowej "k" jako fale biegnące w kierunku zgodnym z osią "z" i niezgodnym z tą osią przestawiamy:

$\psi (z,t)=e^{i\omega t}\left(Ae^{ikz}+Be^{-ikz}\right)\;$

(10.25)

Policzmy teraz drugą pochodną wyrażenia (10.25) względem czasu najpierw licząc jego pierwszą pochodną, dla której dowiemy się, że ona jest wprost proporcjonalna do kwadratu częstotliwości kołowej wziętej z minusem i do funkcji falowej ψ(z,t):

${{\partial \psi (z,t)} \over {\partial t}}=-i\omega e^{i\omega t}\left(Ae^{ikz}+Be^{-ikz}\right)=-i\omega \psi (z,t)\Rightarrow {{\partial ^{2}\psi (z,t)} \over {\partial t^{2}}}=-\omega ^{2}\psi (z,t)\;$

(10.26)

A teraz policzmy drugą pochodną funkcji falowej (10.26), ale najpierw licząc jego pierwszą pochodną, dla której dowiemy się, że ona jest wprost proporcjonalna do kwadratu liczby falowej wziętej z minusem i do funkcji falowej ψ(z,t):

${{\partial ^{2}\psi (z,t)} \over {\partial z^{2}}}=e^{i\omega t}\left(ikAe^{ikz}-ikBe^{-ikz}\right)\Rightarrow {{\partial ^{2}\psi (z,t)} \over {\partial z^{2}}}=-k^{2}\psi (z,t)\;$

(10.27)

Będziemy tutaj korzystać ze wzoru na całkowitą energie układu składającą się z jednej cząstki (10.16) i podstawimy do niego wzór na energię równą $E=\hbar \omega \;$ i na pęd $p=\hbar k\;$, wtedy po podstawieniu do niego wzoru na częstotliwość kołową wynikającego z (10.26) i na kwadrat liczby falowej wynikającego z (10.27), w ten sposób otrzymujemy równanie falowe mechaniki kwantowej klasycznej wychodząc z zasady zachowania energii dla mechaniki Newtona:

$i\hbar {{\partial \psi (z,t)} \over {\partial t}}=-{{\hbar ^{2}} \over {2m}}{{\partial ^{2}\psi (z,t)} \over {\partial t}}+V\psi (z,t)\;$

(10.28)

Powyższe równanie mechaniki falowej klasycznej jest spełnione dla V stałego, ale można go uogólnić dla pewnej niestałej funkcji potencjału zależną od z. To równanie tak uogólnione zwane jest jednowymiarowym równaniem Schrödingera. Mając wzór (10.23), który można go tak rozpisać w troszeczkę w innej postaci wykonując potęgowanie w jego drugim wyrazie, w ten sposób otrzymujemy równość mechaniki relatywistycznej kwantowej Kliena-Gordona:

${{\partial ^{2}\psi (z,t)} \over {\partial t^{2}}}=c^{2}{{\psi ^{2}\psi (z,t)} \over {\partial z^{2}}}-{{m^{2}c^{4}} \over {\hbar ^{2}}}\psi (z,t)\;$

(10.29)

Równanie falowe (10.28) dla m=0 jest równaniem falowym opisujących fotony dla fal nieulegających dyspersji pędzących z prędkością równą "c".

Promieniowanie elektromagnetyczne wysyłane przez jednowymiarowy atom w mechanice falowej

Weźmy sobie teraz elektron krążący w studni potencjału, którego funkcja falowa jest superpozycją dwóch stanów pierwszego podstawowego i pierwszego wzbudzonego:

$\psi (z,t)=\underbrace {A_{1}e^{-i\omega _{1}t}\cos k_{1}z} _{\psi _{1}(z,t)}+\underbrace {A_{1}e^{-i\omega _{2}t}\sin k_{2}z} _{\psi _{2}(z,t)}{\mbox{, dla }}k_{1}L=\pi {\mbox{ i }}k_{2}L=2\pi \;$

(10.30)

Wyznaczmy teraz kwadrat modułu wyrażenia (10.30), którego definicja znana jest z algebry, przedstawiony w postaci:

$|\psi (z,t)|^{2}=A_{1}^{2}\cos ^{2}k_{1}z+A_{2}^{2}\sin ^{2}k_{2}z+2A_{1}A_{2}\cos k_{1}z\sin k_{2}z\cos(\omega _{2}-\omega _{1})t\;$

(10.31)

Policzmy teraz całkę kwadratu modułu funkcji falowej (10.29), czyli funkcji (10.30), wykorzystując wzór na sinus i kosinusa podwojonego kąta, co według powyższych rozważań tą naszą całkę przedstawiamy:

$\int _{-{{L} \over {2}}}^{{L} \over {2}}|\psi |^{2}dz=(A_{1}^{2}+A_{1}^{2}){{L} \over {2}}\;$

(10.32)

Wyznaczmy teraz całkę z iloczynu funkcji "z" i kwadratu modułu funkcji falowej (10.31), którą możemy przecałkować względem "z" i wyłączając przed nawias funkcję niezależną od "z" i wykorzystując wzór na sumę sinusów znanego ze szkoły średniej:

$\int _{-{{L} \over {2}}}^{{L} \over {2}}z|\psi |^{2}dz=A_{1}A_{2}\cos(\omega _{2}-\omega _{1})t\int _{-{{L} \over {2}}}^{{L} \over {2}}z\left[\sin(k_{2}+k_{1})z+\sin(k_{2}-k_{1})z\right]dz=\;$
$=-A_{1}A_{2}\cos(\omega _{2}-\omega _{1})t{\Bigg \{}\left[z{{1} \over {k_{1}+k_{2}}}\cos(k_{2}+k_{1})z+z{{1} \over {k_{1}-k_{2}}}\cos(k_{2}-k_{1})z\right]_{-{{L} \over {2}}}^{{L} \over {2}}-\;$
$-\left[{{1} \over {(k_{1}+k_{2})^{2}}}\sin(k_{2}+k_{1})z+{{1} \over {(k_{2}-k_{1})^{2}}}\sin(k_{2}-k_{1})z\right]_{-{{L} \over {2}}}^{{L} \over {2}}{\Bigg \}}=\;$
$=A_{1}A_{2}\cos(\omega _{2}-\omega _{1})t\left[-{{2L^{2}} \over {9\pi ^{2}}}+{{2L^{2}} \over {\pi ^{2}}}\right]=A_{1}A_{2}\cos(\omega _{2}-\omega _{1})t\left[{{-2L^{2}+18L^{2}} \over {9\pi ^{2}}}\right]={{16L^{2}} \over {9\pi ^{2}}}A_{1}A_{2}\cos(\omega _{1}-\omega _{2})t$

(10.33)

Całkowita średnia prędkość cząstki określamy przy pomocy wzorów (10.30) i (10.31), która jak się przekonamy zależy od czasu "t" i różnicy częstotliwości kołowych ω₁ i ω₂ i amplitud A₁ i A₂:

${\overline {z}}={{\int z|\psi |^{2}dz} \over {\int |\psi |^{2}dz}}={{32L^{2}} \over {9\pi ^{2}}}{{A_{1}A_{2}} \over {A_{1}^{2}+A_{2}^{2}}}\cos(\omega _{2}-\omega _{1})t\;$

(10.34)

Położenie elektronu krążącego, który ma ładunek q=-e oscyluje według wzoru (10.34) z częstością dudnień ω₂-ω₁, który to wysyła promieniowanie w postaci lecących fotonów ze wspomnianą częstością kołową.

Źródła spójne w czasie przy częstości dudnień optycznych

Zapiszmy teraz w postaci zespolonej całkowite zespolone natężenie fali, w której pierwsza fala jest napisana przy częstości kołowej ω₁ i o przesunięciu fazowym φ₁, a druga fala jest o częstości ω₂ i o przesunięciu fazowym φ₂, które razem to przepisujemy dokonując superpozycję tychże fal:

$E_{c}(t)=E_{1}e^{i(\omega _{1}t-\varphi _{1})}+E_{2}e^{i(\omega _{2}t-\varphi _{2})}\;$

(10.35)

Każdą liczbę zespoloną możemy rozłożyć jako wektor w płaszczyźnie zespolonej, zatem długość wektora jako liczby zespolonej (10.35) możemy przedstawić jako moduł z tej wielkości:

$|E_{c}(t)|^{2}=E_{1}^{2}+E_{2}^{2}+2E_{1}E_{2}\cos \left[(\omega _{1}-\omega _{2})t+(\varphi _{1}-\varphi _{2})\right]\;$

(10.36)

Średnią energię przedstawiamy jako wielkość uśrednianą w ciągu jednego okresu wielkości (10.36) dla zespolonego natężenia fali (10.35), jak widzimy w tak otrzymanym wzorze na strumień energii występuje częstość dudnień równą ω₁-ω₂, która powinna przyjmować stosunkowo niską wartość. Czas koherencji, który jest odwrotnością szerokości pierwszej fali dla zmieniającej się stałej fazowej w ciągu jednego okresu, której również amplitudy tychże drgań też się zmieniają w sposób przypadkowy, przedstawiamy:

$t_{1}({\mbox{koh}})\simeq (\Delta \nu _{1})^{-1}\;$

(10.37)

$t_{2}({\mbox{koh}})\simeq (\Delta \nu _{2})^{-1}\;$

(10.38)

Aby można było zaobserwować dudnienia zapisane według ν₁-ν₂, to czasy (okresy) koherencji powinny być duże w porównaniu w porównaniu ze wspomnianą częstością dudnień, zatem aby eksperyment obserwacji tychże fal udał się, to czasy dudnień powinny spełniać następujące dwa warunki:

$\Delta \nu _{1}<|\nu _{1}-\nu _{2}|\;$

(10.39)

$\Delta \nu _{2}<|\nu _{1}-\nu _{2}|\;$

(10.40)

Czemu niebo jest jasne

W rozdziale "Czemu niebo jest niebieskawe" rozpatrywaliśmy czemu niebo w dzień jest niebieskie, a wieczorem czerwone. A teraz rozpatrzmy czemu niebo jest jasne. Rozpatrzymy teraz rozumowanie, które mówi dlaczego niebo powinno być niewidzialne. Rozpatrzmy elektron znajdujący w cząsteczce, który wysyła promieniowanie we wszystkich kierunkach znajdujący się pierwszym atomie, a teraz weźmy sobie drugi atom, który jest w pół długości fali dalej od obserwatora, oba te cząsteczki są pobudzane tymi samymi przesunięciami fazowymi, i tymi samymi amplitudami, co w wyniku nakładania się tych dwóch fali daje nam zero w położeniu obserwatora. Dla rozpraszania pod kątem 90⁰ możemy spełnić te żądania dla fazy i amplitudy tak by cząsteczce pierwszej odpowiadała cząsteczka druga. Dla rozpraszania bliskiego mimo, że cząsteczki znajdujące od obserwatora są pobudzane o pół okresu wcześniej i są oddalone o półokresu dalej od obserwatora, ale one nie powodują one interferencji dekonstruktywnej. Biorąc pod uwagę, że sześcian zawiera $4\cdot 10^{6}\;$ cząsteczek, gęstość powietrza maleje wykładniczo wraz z wysokością, co powinno wystarczyć do zaistnienia interferencji dekonstruktywnej, ale to nie wystarcza, dlaczego? Powyższe przewidywania przeczą doświadczeniu, bo natężenie jest niemal takie jakie są wyniki rozpraszania na N cząsteczkach i napisane jest w postaci sumy natężeniem rozpraszania przez te cząsteczki, które są przyczynkami do tego natężenia. I nie wiadomo nadal dlaczego interferencja dekonstruktywna nie następuje. Jeśli obierzemy wodę zamiast powietrza interferencja dekonstruktywna następuje dla rozpraszania 90⁰. Wiązka z latarki przechodzi przez czystą wodę przy nieznacznej stracie natężenia, jeśli pominąć nieznaczne rozszerzenia wiązki spowodowanej przez dyfrakcję. Rozproszenie przy 90⁰ przy przejściu 10 m jest małe w porównaniu z powietrzem przy takiej samej wysokości. Przy tym rozproszeniu w wodzie dodaje się do siebie amplitudy fali rozproszeniowej, a w przypadku powietrza ich natężenia, dlatego w wodzie występuje interferencja dekonstruktywna. Tajemnicza kryje się w tym, że cząsteczki wody są rozłożone równomierne i znajdzie się zawsze cząsteczka wody numer dwa, wyniku której przewidziana interferencja jest dekonstruktywna, a w powietrzu na pierwszą cząsteczkę powietrza przypada średnio jedna ale druga cząsteczka powietrza, czasem w cale, zatem to wyjaśnia dlaczego w powietrzu sumują się natężenia, a wodzie amplitudy.

Weźmy sobie teraz obszar pierwszy i drugi znajdujący w tej samej odległości od słońca w przybliżeniu, ale obszar drugi znajduje się pół okresu dalej, a każdy z tych obszarów jest mały w porównaniu z długością fali światła monochromatycznego tutaj rozpatrywanego. Weźmy wszystkie cząsteczki znajdujące się w obszarze pierwszym, w którym każda cząsteczka wnosi przyczynek ${\vec {E}}_{1}\;$, a w obszarze dwa przyczynek ${\vec {E}}_{2}\;$, czyli całkowite natężenie pola w pierwszym obszarze jest $n_{1}{\vec {E}}_{1}\;$, a w obszarze drugim jest $n_{2}{\vec {E}}_{2}\;$, jeśli przyjmować będziemy falę biegnącą, który drugi obszar jest pół okresu dalej niż pierwszy, czyli powinno wtedy zachodzić ${\vec {E}}_{2}=-{\vec {E}}_{1}\;$, zatem całkowite natężenie fali docierające do obserwatora jest:

${\vec {E}}=n_{1}{\vec {E}}_{1}+n_{2}{\vec {E}}_{2}=(n_{1}-n_{2}){\vec {E}}_{1}\;$

(10.41)

Pole wytwarzane przez jedną pobudzoną cząsteczkę jest opisywane przez funkcję:

$E_{1}=A_{1}\cos(\omega t+\varphi )\;$

(10.42)

A całkowite natężenie fali wytarzanej przez cząsteczki w obszarze pierwszym i drugim jest opisywane poprzez wzór:

$E=A\cos(\omega t+\varphi )\;$

(10.43)

Biorąc natężenie fali wytwarzanej prze pojedynczą cząsteczkę (10.41) i przez cząsteczki znajdujące się obszarze drugim (10.43), wstawiając to wszystko do wzoru na całkowite natężenie fali w punkcie obserwatora, po tak otrzymanej tożsamości i podzieleniu przez kosinus, otrzymujemy zależność pomiędzy amplitudami:

$A=(n_{1}-n_{2})A_{1}\;$

(10.44)

We wzorze n₁ jest raz mniejsze, a za drugim większe od n₂, a średnio rzecz mówiąc oba te wielkości średnio są sobie równe, wtedy średnio powinna występować interferencja dekonstruktywna pod kątem 90⁰. Całkowite natężenie fali obserwowanego przez naszego obserwatora jest wyrażona poprzez wzór:

$I={\overline {(n_{1}-n_{2})^{2}}}I_{1}\;$

(10.45)

Weźmy sobie, że liczba cząsteczek znajdujących się w pierwszym obszarze jest ${\overline {n}}_{1}\;$, a w drugim obszarze jest ${\overline {n}}_{2}\;$, wtedy pierwszy czynnik występujący po prawej stronie pod średnią możemy przepisać wiedząc, że średnia wartość wartości n₁ jest ${\overline {n}}_{1}\;$, a także średnia liczba cząsteczek n₂ jest równa ${\overline {n}}_{2}\;$, wtedy można napisać:

$(n_{1}-n_{2})^{2}=[(n_{1}-{\overline {n}}_{1})-(n_{2}-{\overline {n}}_{2})]^{2}=(n_{1}-{\overline {n}}_{2})^{2}+(n_{2}-{\overline {n}}_{2})^{2}-2(n_{1}-{\overline {n}}_{1})(n_{2}-{\overline {n}}_{2})\;$

(10.46)

Policzmy teraz średnią wartość trzeciego wyrażenia występującego w punkcie (10.46), która jak się przekonamy jest równa zero, a oto jego dowód:

${\overline {(n_{1}-{\overline {n}}_{1})(n_{2}-{\overline {n}}_{2})}}={\overline {(n_{1}-{\overline {n}}_{1})}}{\overline {(n_{2}-{\overline {n_{2}}})}}=({\overline {n}}_{1}-{\overline {n}}_{1})({\overline {n}}_{2}-{\overline {n}}_{2})=0\;$

(10.47)

Biorąc rozkład Poissona, w którym wartość oczekiwana jest równa wariancji, zatem na podstawie tego możemy napisać dwa wnioski wynikające z tego rozkładu:

${\overline {(n_{1}-{\overline {n}}_{1})^{2}}}={\overline {n}}_{1}\;$

(10.48)

${\overline {(n_{2}-{\overline {n}}_{2})^{2}}}={\overline {n}}_{1}\;$

(10.49)

Biorąc wnioski (10.48) i (10.49), a także wniosek (10.46) i (10.47), wtedy (10.45) możemy zapisać do postaci:

$I={\overline {(n_{1}-n_{2})^{2}}}I_{1}={\overline {(n_{1}-{\overline {n}}_{2})^{2}}}+{\overline {(n_{2}-{\overline {n}}_{2})^{2}}}+0={\overline {n}}_{1}I_{1}+{\overline {n}}_{2}I_{1}={\overline {n}}_{1}I_{1}+{\overline {n}}_{2}I_{2}\;$

(10.50)

Dla wody warunki (10.48) i (10.49), które są dla powietrza, odpowiadają warunkom:

${\overline {(n_{1}-{\overline {n}}_{1})}}<<{\overline {n}}_{1}\;$

(10.51)

${\overline {(n_{2}-{\overline {n}}_{2})}}<<{\overline {n}}_{1}\;$

(10.52)

Patrząc na warunek (10.50), który odpowiada ośrodkowi, który jest powietrzem opisanym na podstawie wzorów (10.51) i (10.52), natomiast dla wody odpowiada warunek:

$I={\overline {(n_{1}-n_{2})^{2}}}I_{1}<<{\overline {n}}_{1}I_{1}+{\overline {n}}_{2}I_{2}\;$

(10.53)

Fale elektromagnetyczne rozchodzące się w ośrodkach materialnych

Równania Maxwella

Różniczkowe prawa Maxwella dla materii :
Pierwsze prawo Maxwella	Drugie prawo Maxwella	Trzecie prawo Maxwella	Czwarte prawo Maxwella
$\nabla \cdot {\vec {D}}=\rho _{sw}$ (10.54)	$\nabla \cdot {\vec {B}}=0$ (10.55)	$\nabla \times {\vec {E}}=-{{\partial {\vec {B}}} \over {\partial t}}$ (10.56)	$\nabla \times {\vec {H}}={\vec {J}}_{sw}+{{\partial {\vec {D}}} \over {\partial t}}$ (10.57)
Definicja pewnych wektorów w prowadzonych dla dowolnego ośrodka
Wektor indukcji elektrycznej		Wektor natężenia pola magnetycznego
${\vec {D}}=\epsilon _{0}{\vec {E}}+{\vec {P}}$ (10.58)		${\vec {H}}={{1} \over {\mu _{0}}}{\vec {B}}-{\vec {M}}$ (10.59)

Wprowadzenie do teorii o ośrodkach liniowo-izotropowych

Siła działający na ładunek q określamy poprzez wzór napisany przy pomocy natężenia pola elektrycznego i indukcji pola magnetycznego w postaci:

${\vec {F}}=q{\vec {E}}+q{\vec {v}}\times {\vec {B}}\;$

(10.60)

Siły działająca na ładunki znajdujące się w ośrodku pochodzą od natężenia pola elektrycznego ${\vec {E}}\;$ i indukcji pola magnetycznego ${\vec {B}}\;$. Ośrodek nazywamy izotropowym, jeśli polaryzacja ${\vec {P}}\;$ ma kierunek wzdłuż wektora ${\vec {E}}\;$, a magnetyzacja ma kierunek zgodny z wektorem indukcji magnetycznej ${\vec {B}}\;$. Z powyższych warunków możemy wywnioskować wnioski, że jeśli polaryzacja jest równa zero, to natężenie pola też jest równe zero, a także jeśli magnetyzacja jest równa zero, to wektor indukcji jest równy zero. Ośrodek izotropowy jest taki, że jeśli iksowa składowa polaryzacji zależy tylko od iksowej składowej iksowej pola elektrycznego, a nie od igrekowego, ten związek tej zależności jest:

$P_{x}=\epsilon _{0}\chi E_{x}+\alpha E_{x}^{2}+\beta E_{x}^{3}+...\;$

(10.61)

Przy dostatecznie małych natężeniach pola elektrycznego w wyrażeniu (10.61) możemy zaniedbać wyrazy wyższe niż liniowe. Polaryzację i magnetyzację liniową możemy przedstawić jako:

$P_{x}(x,y,z)=\epsilon _{0}\chi (z,y,z)E_{x}(x,y,z)\;$

(10.62)

$M_{x}(z,y,z)=\chi _{m}(x,y,z)B_{x}(x,y,z)\;$

(10.63)

Przenikalności elektryczne i magnetyczne zdefiniowane poprzez wzory (10.58) i (10.59) są napisane:

$\epsilon E_{x}=\epsilon _{0}E_{x}+\epsilon _{0}\chi E_{x}\Rightarrow \epsilon =\epsilon _{0}(1+\chi )\;$

(10.64)

${{1} \over {\mu }}B_{x}={{1} \over {\mu _{0}}}B_{x}-\chi _{m}B_{x}\Rightarrow \mu =(1+\chi _{m})\mu _{0}\;$

(10.65)

Względne przenikalności elektryczne i magnetyczne zdefiniowane są na podstawie wzorów (10.64) i (10.65):

$\epsilon _{r}=1+\chi \;$

(10.66)

$\mu _{r}=1+\chi _{m}\;$

(10.67)

Uogólnienie wniosku (10.62) dla pól zależnych od czasu, w którym polaryzacja jest równoległa do natężenia pola elektrycznego dla pól rozprzestrzeniających się w czasie prowadzi do fałszywych wniosków, że powinno zachodzić dla częstości drgań fali elektrycznej ω:

$P_{x}(z,y,z,\omega t)=\epsilon _{0}\chi (z,y,z,\omega )E_{x}(x,y,z,\omega t)\;$

(10.68)

W tym celu należy wprowadzić podatność elektryczną elastyczną i absorpcyjną, dzięki któremu możemy wprowadzić polaryzację iksową, którego definicja jest sumą iloczynu przenikalności elektrycznej w próżni przez podatność elastyczną i przez E_x i iloczynu przenikalności elektrycznej w próżni przez podatność elektryczną absorpcyjną i przez natężenia fali pola elektrycznego przesuniętego w fazie o 90⁰:

$P_{x}(x,t,z,\omega t)=\epsilon _{0}\chi _{el}(z,y,z,\omega )E_{x}(x,y,z,\omega t)+\epsilon _{0}\chi _{ab}(z,y,z,\omega )E_{x}(x,y,z,\omega t-{{1} \over {2}}\pi )\;$

(10.69)

Natężenie fali elektromagnetycznej zmienia się według funkcji proporcjonalnej do kosinusa, tzn.:

$E_{x}=E_{0}\cos(\omega t+\varphi )\;$

(10.70)

wtedy polaryzację wyrażoną wzorem (10.69) przy definicji natężenia iksowego fali pola elektrycznego (10.70) możemy przepisać:

$P_{x}(\omega t)=\epsilon _{0}\chi _{el}E_{0}\cos(\omega t+\varphi )+\epsilon _{0}\chi _{ab}E_{0}\sin(\omega t+\varphi )\;$

(10.71)

Prosty model ośrodka izotropowego liniowego i wyznaczanie podatności elastycznej i magnetycznej

Rozważmy prosty model ośrodka liniowego i izotropowego, w której jądra są znacznie cięższe od rozważanego ładunku, który jest połączony z jądrem sprężyście o stałej sprężystości równą $M\omega _{0}^{2}\;$. Ruch jądra jest pomijalny, wiec nie mamy magnetyzacji. Na ten ładunek działa siła tłumiąca jego ruch o stałej tłumienia równą $M\Gamma \;$, zatem równanie ruchu ładunku q, na którą działa pole elektryczne o przebiegu kosinusoidalnej, jest:

$M{\ddot {x}}=-M\omega _{0}^{2}x-M\Gamma {\dot {x}}+qE_{x}\;$

(10.72)

Natężenie fali pola elektrycznego, w zależności od częstotliwości występujące w równaniu (10.72), jest:

$E_{x}(\omega t)=E_{0}\cos(\omega t+\varphi )\;$

(10.73)

Równanie ruchu położenia cząstki, który określamy poprzez amplitudę elastyczną E_el i amplitudę absorpcyjną A_ab, piszemy:

$x(t)=A_{el}\cos(\omega t+\varphi )+A_{ab}\sin(\omega t+\varphi )\;$

(10.74)

Amplitudę absorpcyjną A_ab i elastyczną A_el, które już określaliśmy dla F₀=qE₀ w punktach (3.29) i (3.30), które przepiszemy tutaj dla przejrzystości wykładu:

$A_{el}={{qE_{0}} \over {M}}{{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}} \over {(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}+\Gamma ^{2}\omega ^{2}}}\;$

(10.75)

$A_{ab}={{qE_{0}} \over {M}}{{\Gamma \omega } \over {(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}+\Gamma ^{2}\omega ^{2}}}\;$

(10.76)

Ponieważ polaryzację definiujemy jako iloczyn koncentracji N, ładunku q i położenia tegoż ładunku (10.74) przy definicji natężenia fali pola elektrycznego (10.73):

$P_{x}(t)=Nqx(t)=NqA_{el}\cos(\omega t+\varphi )+NqA_{ab}\sin(\omega t+\varphi )={{NqA_{el}} \over {E_{0}}}E_{x}(\omega t)+{{NqA_{ab}} \over {E_{0}}}E_{x}\left(\omega t-{{1} \over {2}}\pi \right)\;$

(10.77)

Możemy porównać wzory (10.71) z (10.77) na polaryzację iksową, wtedy dostajemy wzory na podatność elektryczną elastyczną i absorpcyjną:

$\chi _{el}={{NqA_{el}} \over {\epsilon _{0}E_{0}}}={{Nq} \over {M\epsilon _{0}}}{{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}} \over {(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}+\Gamma ^{2}\omega ^{2}}}\;$

(10.78)

$\chi _{ab}={{NqA_{ab}} \over {\epsilon _{0}E_{0}}}={{Nq} \over {M\epsilon _{0}}}{{\Gamma \omega } \over {(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}+\Gamma ^{2}\omega ^{2}}}\;$

(10.79)

Liczby zespolone w równaniach elektrodynamiki klasycznej i prowadzenie definicji podatności zespolonej

Równania elektrodynamiki klasycznej Maxwella nie zawierają w sobie liczb zespolonej, ale też jego rozwiązania, ale możemy prowadzić podatność elektryczną jako wielkość zespoloną jako:

$\chi =\chi _{el}+i\chi _{ab}\;$

(10.80)

Polaryzację zespoloną możemy przedstawić w zależności od natężenia pola elektrycznego zespolonego dla fali elektrycznej o częstotliwości kołowej ω wedle:

$P_{x}(\omega t)=\epsilon _{0}\chi E_{x}(\omega t)\;$

(10.81)

Jeśli przedstawimy natężenie zespolone pola elektromagnetycznego w postaci wzoru zależnego od częstotliwości kołowej zapisywaną w konwencji używanej w mechanice kwantowej:

$E_{x}=E_{0}e^{-i(\omega t+\varphi )}\;$

(10.82)

wtedy zapis polaryzacji zespolonej (10.81) przy zastosowaniu definicji podatności elektrycznej (10.80) i wzoru na natężenie fali pola elektrycznego (10.82) prowadzi do:

$P_{x}(\omega t)=(\chi _{el}+i\chi _{ab})E_{0}e^{-i(\omega t+\varphi )}=\chi _{el}E_{0}e^{-i(\omega t+\varphi )}+\chi _{ab}e^{-i{{\pi } \over {2}}}e^{-i(\omega t+\varphi )}=\chi _{el}E_{x}(\omega t)+\chi _{ab}E_{x}\left(\omega t-{{\pi } \over {2}}\right)\;$

(10.83)

Część rzeczywista równania na polaryzację zespoloną (10.83) jest w naszym przypadku polaryzacją elektryczną ośrodka, która jest taka sama jak wzór (10.71), wtedy definicja podatności zespolonej elektrycznej (10.80) jest definicją poprawną i zgadza się z naszymi rozważaniami.

Prosty model ośrodka liniowego izotropowego i jego zespolona stała dielektryczna

Względną zespoloną stałą dielektryczną możemy liczyć z bardzo podobnej definicji do (10.66), przy definicji podatności elektrycznej równą (10.80):

$\epsilon =1+\chi =1+{{Nq} \over {\epsilon _{0}M}}{{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}} \over {(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}+\Gamma ^{2}\omega ^{2}}}+i{{Nq} \over {\epsilon _{0}M}}{{\Gamma \omega } \over {(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}+\Gamma ^{2}\omega ^{2}}}\;$

(10.84)

Rozwiązywanie ruchu ładunku q w ośrodku tłumionym o wymuszonym pod działaniem konsinosidalnej siły elektrycznej przy wprowadzeniu liczb zespolonych

Równanie ruchu danego ładunku w ośrodku przestawiamy analogicznie do (10.73), który jest przedstawiony w przestrzeni rzeczywistej, a tutaj przedstawimy je w przestrzeni zespolonej:

${\ddot {x}}+\Gamma {\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x={{q} \over {M}}E_{0}e^{-i\omega t}\;$

(10.85)

Będziemy tutaj rozpatrywać ruch ładunków ośrodka, którego rozwiązanie przepuszczalne jest dla x=x₀e^-iωt, wtedy podstawiając to do (10.85) i pamiętając przy tym ${\dot {x}}=-i\omega x\;$, i ${\ddot {x}}=-\omega ^{2}x\;$, wtedy powyższe równanie ruchu cząstki obdarzonej ładunkiem q w ośrodku jest:

$(-\omega ^{2}-i\omega \Gamma +\omega _{0}^{2})x={{q} \over {M}}E_{x}\Rightarrow x(\omega t)={{q} \over {M}}{{1} \over {(\omega _{0}^{2}-\omega )-i\omega \Gamma }}E_{x}(\omega t)\;$

(10.86)

Równanie (10.86), a właściwie jej część rzeczywista jest równoważna z rozwiązaniem (10.74) przy definicji amplitudy elastycznej A_el (10.75) i absorpcyjnej A_ab (10.86). Stałą podatność piszemy w postaci wzoru wynikającą z (10.81), w której wykorzystamy definicję polaryzacji elektrycznej (10.77) do zapisania tej wielkości:

$\chi (\omega )={{P_{x}} \over {\epsilon _{0}E_{x}}}={{Nqx} \over {\epsilon _{0}E_{x}}}={{Nq^{2}} \over {\epsilon _{0}E_{x}}}{{1} \over {(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})-i\omega \Gamma }}\;$

(10.87)

Zespoloną względna przenikalność elektryczną liczmy ze wzoru (10.87), w ten sposób otrzymujemy analogiczny do (10.84) wzór:

$\epsilon _{r}=1+\chi =1+{{Nq^{2}} \over {\epsilon _{0}M}}{{1} \over {(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})-i\omega \Gamma }}\;$

(10.88)

Jak można wykazać, wzór (10.88) jest równoważny ze wzorem (10.84), co tutaj nie będziemy wykazywali, co jest trywialne.

Równania elektrodynamiki klasycznej dla ośrodka liniowego izotropowego

Prawa Maxwella dla ośrodka liniowego :
Pierwsze prawo Maxwella	Drugie prawo Maxwella	Trzecie prawo Maxwella	Czwarte prawo Maxwella
$\nabla \cdot {\vec {E}}={{1} \over {\epsilon }}\rho _{sw}$ (10.89)	$\nabla \cdot {\vec {B}}=0$ (10.90)	$\nabla \times {\vec {E}}=-{{\partial {\vec {B}}} \over {\partial t}}$ (10.91)	$\nabla \times {\vec {B}}=\mu {\vec {J}}_{sw}+\epsilon \mu {{\partial {\vec {E}}} \over {\partial t}}$ (10.92)

Będziemy tutaj rozpatrywali, gdy gęstość objętościowa i prąd objętościowy ładunku swobodnych są te wielkości równe zero, jeśli będziemy rozpatrywali fale elektromagnetyczne.

Równanie falowe

Mnożymy obustronnie lewostronnie przez $\nabla \times \;$ wzór (10.92), dalej po skorzystaniu ze wzoru (10.91), w ostateczności otrzymujemy:

$\nabla \times (\nabla \times {\vec {B}})=\epsilon \mu {{\partial } \over {\partial t}}(\nabla \times {\vec {E}})=-\epsilon \mu {{\partial {\vec {B}}} \over {\partial t}}\;$

(10.93)

Podobne mnożymy obustronnie lewostronnie przez $\nabla \times \;$ wzór (10.91), dalej po skorzystaniu ze wzoru (10.92), otrzymujemy:

$\nabla \times (\nabla \times {\vec {E}})=-{{\partial } \over {\partial t}}\nabla \times {\vec {B}}=-\mu \epsilon {{\partial ^{2}{\vec {E}}} \over {\partial t}}\;$

(10.94)

Będziemy tutaj wykorzystywali tożsamość, którą przepiszemy jako bez dowodu, którego przeprowadzenie jest bardzo łatwe.

$\nabla \times (\nabla {\vec {C}})=\nabla (\nabla {\vec {C}})-\nabla ^{2}{\vec {C}}\;$

(10.95)

Jeśli skorzystamy z tożsamości (10.95) do (10.93) i (10.94), to w ten sposób otrzymujemy dwa równania falowe na natężenia pola elektrycznego i indukcję pola magnetycznego:

$\nabla ^{2}{\vec {E}}=-\epsilon \mu {{\partial ^{2}{\vec {E}}} \over {\partial t^{2}}}=0\;$

(10.96)

$\nabla ^{2}{\vec {B}}=-\epsilon \mu {{\partial {\vec {B}}} \over {\partial t}}\;$

(10.97)

Równania (10.96) i (10.97) są to równania fali, których jest trzy dla fali pola elektrycznego i trzy dla fali pola magnetycznego, których razem mamy sześć równań dla fali pola elektromagnetycznego, które w ogólnym przypadku zapisujemy:

$\nabla ^{2}\psi (x,y,z,t)-\epsilon \mu {{\partial ^{2}\psi (x,y,z,t)} \over {\partial t}}\;$

(10.98)

dla którego kwadrat liczby falowej przepisujemy do postaci zależnej od względnej przenikalności dielektrycznej i względnej przenikalności magnetycznej:

$k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}={{\omega ^{2}} \over {k^{2}}}\mu _{r}\epsilon _{r}\;$

(10.99)

Dla przenikalności elektrycznej względnej i przenikalność magnetycznej, które te dwie wielkości są zespolone, wtedy (10.99) możemy zapisać w postaci kwadratu zespolonej liczby falowej dla rzeczywistej częstotliwości kołowej jako:

${\tilde {k}}^{2}={\tilde {\mu }}_{r}{\tilde {\epsilon }}_{r}{{\omega ^{2}} \over {c^{2}}}\;$

(10.100)

Każdą falę możemy przedstawić w postaci zespolonej według wzoru:

$\psi (z,t)=\left[Ae^{ikz}+Be^{-ikz}\right]e^{-i\omega t}\;$

(10.101)

Dla fal elektromagnetycznych zachodzi bardzo podobny związek do (10.101), który tutaj dla naszego przypadku nie będziemy przepisywać dla zwięzłości wykładu.

Związek pomiędzy natężeniem pola elektrycznego i magnetycznego dla fali płaskiej elektromagnetycznej

Związek pomiędzy falami magnetycznymi i elektrycznymi na podstawie (10.91) i (10.92) dla iksowego pola elektrycznego i igrekowego pola magnetycznego przepisujemy w postaci dwóch równań:

${{\partial B_{y}} \over {\partial z}}=-\epsilon \mu {{\partial E_{x}} \over {\partial t}}\;$

(10.102)

${{\partial B_{y}} \over {\partial t}}=-{{\partial E_{x}} \over {\partial z}}\;$

(10.103)

Napiszmy teraz natężenie iksowe pola elektrycznego i magnetycznego w postaci równań fali biegnącej w kierunku osi z, jest ona superpozycją fali biegnącej w kierunku +z i w kierunku -z:

$E_{x}(z,t)=\left(Ae^{ikz}+Be^{-ikz}\right)e^{-i\omega t}\;$

(10.104)

$B_{y}(z,t)={{n} \over {c}}\left(Ae^{ikz}-Be^{-ikz}\right)e^{-i\omega t}\;$

(10.105)

Równania (10.104) i (10.105) podstawiamy do (10.102), w ten sposób mamy tożsamość, którego postać po obu stronach jest jednakowa:

${{n} \over {c}}(ikAe^{ikz}+ikBe^{-ikz})e^{-i\omega t}=-{{-\omega i} \over {v^{2}}}(Ae^{ikz}+Be^{-ikz})e^{-i\omega t}\;$

(10.106)

Powyższą równość jest tożsamością, jak można było udowodnić przy definicji współczynnika załamania n=c/v, następnie przejdźmy do dowodu równości (10.103):

$-i\omega {{n} \over {c}}\left(Ae^{ikz}-Be^{-ikz}\right)e^{-i\omega t}=-(ikAe^{ikz}-ikBe^{-ikz})e^{-\omega t}\;$

(10.107)

Powyższa równość staje się tożsamością przy definicji współczynnika załamania n=c/v.

Współczynnik transmisji i odbicia

Natężenie pola elektrycznego padająca na granicę dwóch ośrodków, na której tej granicy fala padająca jest odbijana przy współczynniku odbicia R₁₂, a także część tej fali przechodzi do drugiego ośrodka, którego to równania fali dla natężenia fali elektrycznej padającej i odbitej przedstawiamy:

$E_{x}^{pad}=Ae^{i(k_{1}z-\omega t)}+AR_{12}e^{-(ik_{1}z-\omega t)}\;$

(10.108)

$E_{x}^{odb}=AT_{12}e^{i(k_{z}-\omega t)}\;$

(10.109)

Dla pola magnetycznego zachodzą bardzo podobne związki do (10.108) i (10.109) przy definicji współczynnika odbicia i transmisji:

$B_{y}^{pad}=n_{2}Ae^{i(k_{1}z-\omega t)}+An_{2}R_{12}e^{-(ik_{1}z-\omega t)}\;$

(10.110)

$B_{y}^{odb}=An_{2}T_{12}e^{i(k_{z}-\omega t)}\;$

(10.111)

Ciągłość w punkcie z=0, daje nam, że suma współczynnika odbicia R₁₂ i jedynki jest równa współczynnikowi transmisji dla równań (10.108) i (10.109). A także w wyniku tożsamości $H_{y}={{B_{y}} \over {\mu }}\;$, której natężenie pola magnetycznego jest wielkością ciągłą dla równań (10.101) i (10.111) dla tego samego "z", możemy zapisać:

$1+R_{12}=T_{12}\;$

(10.112)

${{n_{1}} \over {\mu _{1}}}(1-R_{12})={{n_{2}} \over {\mu _{2}}}T_{12}\;$

(10.113)

Zdefiniujemy teraz impedancję charakterystyczną, która jest w zależności od przenikalności elektrycznej i magnetycznej ośrodka, którego początkowa definicja jest ilorazem przenikalności magnetycznej ośrodka przez współczynnik załamania:

$Z={{\mu } \over {n}}={{\mu v} \over {c}}={{\mu } \over {c}}{\sqrt {{1} \over {\mu \epsilon }}}={{1} \over {c}}{\sqrt {{\mu } \over {\epsilon }}}\;$

(10.114)

Jeśli wykorzystamy definicje impedancji (10.114), a także wykorzystamy do tego celu tożsamości (10.112) i (10.113), w ten sposób możemy wyznaczyć wzór na współczynnik odbicia, dalej przepiszemy jego postać dla przenikalności magnetycznej równą jeden:

$Z_{1}^{-1}(1-R_{12})=Z_{2}^{-1}(1+R_{12})\Rightarrow Z_{1}^{-1}-Z_{2}^{-1}=(Z_{2}^{-1}+Z_{1}^{-1})R_{12}\Rightarrow R_{12}={{Z_{2}-Z_{1}} \over {Z_{1}+Z_{2}}}={{n_{1}-n_{2}} \over {n_{1}+n_{2}}}\;$

(10.115)

Jeśli współczynnik załamania ośrodka pierwszego jest równy jedności, tzn. n₁=1, wtedy współczynnik odbicia (10.115), przy definicji impedancji (10.114), jest równy:

$R_{12}={{1-n} \over {1+n}}\;$

(10.116)

Jeśli w współczynniku odbicia R₁₂podstawimy współczynnik załamania przez n=n_R+in_l dla współczynnika załamania n₁ równy jeden i dla współczynnika załamania n₂ równą po prostu n. Wtedy można przedstawić R₁₂ i jego kwadrat modułu w jednej linijce:

$R_{12}={{1-n} \over {1+n}}={{(1-n_{R})-in_{I}} \over {(1+n_{R})+in_{I}}}=|R_{12}|e^{i\varphi }\;$

(10.117)

$|R_{12}|^{2}={{(1-n_{R})^{2}+n_{I}^{2}} \over {(1+n_{R})^{2}+n_{I}^{2}}}\;$

(10.118)

Uproszczony prosty model przewodnika dyspersyjnego w przypadku stałego pola elektrycznego iksowego

Weźmy sobie uproszczony model przewodnika, w którym każdy elektron już nie oddziaływuje z jądrem na w sposób sprężysty, na te ładunki w przewodniku działa siła pochodząca od pola elektrycznego, jego równanie ruchu jest:

${\ddot {x}}+\Gamma {\dot {x}}={{q} \over {M}}E_{x}\;$

(10.119)

Weźmy teraz stacjonarne pola elektryczne, to (10.119) możemy rozwiązać dokonując w nim podstawienia ${\dot {x}}=s\;$:

${\dot {s}}+\Gamma s={{q} \over {M}}E_{x}\Rightarrow {{d} \over {dt}}\left(s-{{qE_{x}} \over {M\Gamma }}\right)+\Gamma \left(s-{{qE_{x}} \over {M\Gamma }}\right)=0\Rightarrow s={{qE_{x}} \over {\Gamma M}}\left(1-e^{-\Gamma t}\right)\Rightarrow {\dot {x}}={{qE_{x}} \over {\Gamma M}}\left(1-e^{-\Gamma t}\right)\;$

(10.120)

Jeśli przyjmować będziemy przykład dużego tłumienia w przewodniku, wtedy wyrażenie (10.120) możemy przepisać w sposób przybliżony:

${\dot {x}}={{qE_{x}} \over {\Gamma M}}\;$

(10.121)

Absorpcyjny oporowy obszar częstości, przenikalność i przewodność elektryczna

Wyobraźmy sobie elektron, który oddziałuje z polem o charakterze fali, dla Γ>>ω, wtedy na podstawie tego współczynnik elastyczny A_el jest równy zero, wtedy współczynnik absorpcyjny przybiera postać:

$A_{ab}={{qE_{0}} \over {M}}{{\Gamma \omega } \over {\Gamma ^{2}\omega ^{2}}}={{qE_{0}} \over {M}}{{1} \over {\Gamma \omega }}\;$

(10.122)

Pochodna cząstkowa położenia ładunku q określimy jako pochodna zupełna położenia elektronu (10.73):

${\dot {x}}(t)=A_{ab}\omega \cos(\omega t+\varphi )={{qE_{0}} \over {M}}{{1} \over {\Gamma \omega }}\omega \cos(\omega t+\varphi )={{qE_{0}} \over {M\Gamma }}\cos(\omega t+\varphi )={{qE_{x}} \over {M\Gamma }}\;$

(10.123)

Gęstość prądu elektrycznego, z którego wyprowadzimy różniczkowe prawo Ohma, definiujemy:

$J_{x}=Nq{\dot {x}}=Nq{{qE_{x}} \over {M\Gamma }}=\sigma E_{x}{\mbox{ gdzie: }}\sigma ={{Nq^{2}} \over {\Gamma M}}{\mbox{, dla }}\omega <<\Gamma \;$

(10.124)

Do tego problemu podejdźmy teraz z innej strony rozpatrując, że pole elektryczne drga i zapiszemy go w postaci eksponencjalnej, wtedy gęstość prądu elektrycznego możemy przepisać w formie:

$J_{x}=Nq{\dot {x}}=Nq(-i\omega x)=-i\omega (Nqx)=-i\omega P_{x}=-i\omega \chi \epsilon _{0}E_{x}=\sigma (\omega )E_{x}\;$

(10.125)

Z posługiwania się tożsamością (10.125) możemy wywnioskować, że przewodność elektryczną definiujemy:

${\tilde {\sigma }}(\omega )=-i\omega \chi \epsilon _{0}=-i\omega \epsilon _{0}(\chi _{el}+i\chi _{ab})=\omega \epsilon _{0}\chi _{ab}-i\omega \epsilon _{0}\chi _{el}\;$

(10.126)

Zamiast posługiwania się powyższym wzorem na przewodność elektryczną, tzn. jej częścią rzeczywistą i urojoną, można się posługiwać zespolonymi wielkościami, dla których zespoloną podatność elektryczną i zespoloną przewodność elektryczną dla zerowania się częstotliwości drgań podstawowych piszemy przy wykorzystaniu (10.87):

$\chi (\omega )={{Nq^{2}} \over {\epsilon _{0}M}}{{1} \over {-\omega ^{2}-i\omega \Gamma }}\;$

(10.127)

$\sigma (\omega )=-i\omega \epsilon _{0}\chi (\omega )={{Nq^{2}} \over {M}}{{i\omega } \over {\omega ^{2}+i\omega \Gamma }}\;$

(10.128)

Gdy wybierzemy przykład ω<<Γ, wtedy zespoloną podatność elektryczną (10.127) i zespoloną przewodność elektryczną (10.128) piszemy:

$\chi =i{{Nq^{2}} \over {\epsilon _{0}M}}{{1} \over {\omega \Gamma }}\;$

(10.129)

${\tilde {\sigma }}={{Nq^{2}} \over {M\Gamma }}\;$

(10.130)

Wyznaczmy teraz współczynnik załamania światła, który możemy przedstawić z zależności od podatności elektrycznej, gdy współczynnik przenikalności magnetycznej względny wynosi jeden:

$n^{2}={{c^{2}} \over {v^{2}}}=c\mu \epsilon =c^{2}\mu _{r}\mu _{0}\epsilon _{0}\epsilon _{r}=\mu _{r}\epsilon _{r}\simeq 1+\chi =1+i{{Nq^{2}} \over {\epsilon _{0}M}}{{1} \over {\omega \Gamma }}=1+i{{\omega _{pl}^{2}} \over {\omega \Gamma }}{\mbox{, gdzie:}}\omega _{pl}^{2}={{Nq^{2}} \over {\epsilon _{0}M}}\;$

(10.131)

Rozrzedzony ośrodek oporowy

Dla rozrzedzonego ośrodka oporowego, zachodzą warunki, z których będziemy skorzystać:

$\omega _{pl}<<\Gamma {\mbox{, }}{{\omega _{pl}^{2}} \over {\Gamma }}<<\omega <<\Gamma \;$

(10.132)

wtedy współczynnik załamania światła (10.131) jest napisany:

$n={\sqrt {1+i{{\omega _{pl}^{2}} \over {\omega \Gamma }}}}\simeq 1+{{1} \over {2}}i{{\omega _{pl}^{2}} \over {\omega \Gamma }}\;$

(10.133)

Przy liczeniu współczynnika załamania pomijaliśmy wyrazy wyższego rzędu. Policzmy zespoloną liczbę falową wykorzystując (10.133) przy użyciu definicji kwadratu ω_pl i definicji przewodności elektrycznej σ (10.124):

$k=n{{\omega } \over {c}}={{\omega } \over {c}}\left(1+{{1} \over {2}}i{{\omega _{pl}^{2}} \over {\omega \Gamma }}\right)={{\omega } \over {c}}+i{{\omega } \over {2c}}{{\omega _{pl}^{2}} \over {\omega \Gamma }}={{\omega } \over {c}}+{{1} \over {2}}i{{\omega _{pl}^{2}} \over {c\Gamma }}={{\omega } \over {c}}+i{{1} \over {2}}{{\sigma _{ps}} \over {\epsilon _{0}c}}\;$

(10.134)

Część urojona liczby falowej (10.134) powoduje, że fala zanika wraz zwiększającą odległością zetową "z", ta część funkcji falowej dana jest przez e^-Im(k)z, natężanie opisywanej fali jest wprost proporcjonalne do kwadratu tej części wspomnianej, czyli do e^-2Im(k)z. Odległość zaniku natężenia fali elektromagnetycznej, określamy przez d=(2Im(k))^-1, gdzie $d\;$ jest takie, że funkcja indukcji pola magnetycznego i natężenia pola elektrycznego zmiejsza się $e\;$ razy względem zmiennej $z\;$, piszemy przy pomocy współczynnika przewodności:

${{1} \over {d}}=2\operatorname {Im} (k)={{\sigma _{ps}} \over {\epsilon _{0}c}}\Rightarrow {{\rho _{res}} \over {d}}={{1} \over {\epsilon _{0}c}}\;$

(10.135)

Mając współczynnik załamania zapisanego wzorem (10.133), wtedy kwadrat modułu współczynnika odbicia (10.118) określamy poprzez:

$|R_{12}|^{2}={{(n_{R}-1)^{2}+n_{I}^{2}} \over {(n_{R}+1)^{2}+n_{I}^{2}}}={{n_{I}^{2}} \over {2^{2}+n_{I}^{2}}}\simeq {{n_{I}^{2}} \over {4}}<<1\;$

(10.136)

Do końcowego wzoru na współczynnik odbicia (10.136) podstawiamy cześć zespoloną wyrażenia (10.133), otrzymujemy:

$|R_{12}|^{2}={{1} \over {16}}\left({{\omega _{pl}^{2}} \over {\omega \Gamma }}\right)^{2}={{1} \over {16}}\left({{\sigma _{ps}} \over {\epsilon _{0}\omega }}\right)^{2}={{1} \over {16}}\left({{c} \over {d\omega }}\right)^{2}=\left({{\not {\lambda }} \over {4d}}\right)^{2}<<1\;$

(10.137)

Gęsty ośrodek oporowy

W przypadku gęstego ośrodka oporowego zachodzą warunki, z których będziemy korzystali:

$\omega <<\Gamma {\mbox{, }}\omega <<\omega _{pl}{\mbox{, }}\omega \Gamma <<\omega _{pl}^{2}\;$

(10.138)

Biorąc wzór na współczynnik załamania n (10.133) skorzystamy tutaj z tożsamości, którą można udowodnić korzystając z wiadomości z algebry, tj. $\left(e^{i{{1} \over {2}}\pi }\right)^{{1} \over {2}}=e^{i{{1} \over {4}}\pi }\;$, co odpowiada $2^{-{{1} \over {2}}}(i+1)\;$, by potem było można oczywiście powiedzieć:

$n=\left(i{{\omega _{pl}^{2}} \over {\omega \Gamma }}\right)^{{1} \over {2}}=\left({{\omega _{pl}^{2}} \over {2\omega \Gamma }}\right)^{{1} \over {2}}(1+i)=|n|{{1+i} \over {\sqrt {2}}}\;$

(10.139)

Zespoloną liczbę falową, na podstawie obliczeń (10.139) i przy skorzystaniu (10.131), możemy przedstawić w postaci zależnej od współczynnika przewodności elektrycznej:

$k=n{{\omega } \over {c}}={\sqrt {{\omega } \over {c}}}\left({{\omega _{pl}^{2}} \over {2c\Gamma }}\right)^{{1} \over {2}}(1+i)={\sqrt {{\omega } \over {c}}}\left({{\sigma _{ps}} \over {2\epsilon _{0}c}}\right)^{{1} \over {2}}(i+1)\;$

(10.140)

Mając zdefiniowany zespolony współczynnik załamania (10.139) możemy policzyć kwadrat modułu współczynnika odbicia (10.118):

$|R_{12}|^{2}={{(n_{R}-1)^{2}+n_{I}^{2}} \over {(n_{R}+1)^{2}+n_{I}^{2}}}={{n_{R}^{2}+1-2n_{R}+n_{I}^{2}} \over {n_{R}^{2}+1+2n_{R}+n_{I}^{2}}}\simeq {{|n|^{2}-2n_{R}} \over {|n|^{2}+2n_{R}}}={{|n|^{2}-{\sqrt {2}}|n|} \over {|n|^{2}+{\sqrt {2}}|n|}}={{|n|^{2}+{\sqrt {2}}|n|-2{\sqrt {2}}|n|} \over {|n|^{2}+{\sqrt {2}}|n|}}=\;$
$=1-{{2{\sqrt {2}}} \over {|n|+{\sqrt {2}}}}\simeq 1-{{2{\sqrt {2}}} \over {|n|}}=1-2{\sqrt {2}}\left({{\omega \Gamma } \over {\omega _{pl}^{2}}}\right)^{{1} \over {2}}\;$

(10.141)

Ponieważ energia fali padającej do ośrodka jest wprost proporcjonalna do kwadratu funkcji falowej, zatem współczynnik "d" przedstawiający zanik natężenia fali wkraczający w ośrodek jest opisywany poprzez wzór w przedstawieniu:

${{1} \over {d}}=2k_{I}=2{\sqrt {{\omega } \over {c}}}\left({{\omega _{pl}^{2}} \over {2c\Gamma }}\right)^{{1} \over {2}}\Rightarrow d={\sqrt {{c} \over {\omega }}}\left({{c\Gamma } \over {2\omega _{pl}^{2}}}\right)^{{1} \over {2}}=\not {\lambda }{\sqrt {{\omega } \over {c}}}\left({{c\Gamma } \over {2\omega _{pl}^{2}}}\right)^{{1} \over {2}}=\not {\lambda }{\sqrt {{\omega \Gamma } \over {2\omega _{pl}^{2}}}}<<\not {\lambda }\;$

(10.142)

Jak widzimy z powyższych rozważań środek oporowy rozrzedzony jest w zasadzie czarnym, co daje niemal zupełną absorpcję docierającego do niego światła. A przeciwnie ośrodek oporowy gesty zachowuje się jak dyskretny skupiony opór falowy, który daje niemal stukrotne odbicie.

Całkowicie elastyczny obszar częstości

Weźmy sobie równanie (10.114) przy definicji położenia danego przez funkcję eksponencjalną e^-iωt:

$-i\omega {\dot {x}}+\Gamma {\dot {x}}={{q} \over {M}}E_{x}\;$

(10.143)

Rozwiązanie równania (10.119) w postaci funkcji prędkości dla ω>>Γ jest funkcją zależną od E_x, częstotliwości kołowej ω, masy ładunku i ładunku o wartości "q":

${\dot {x}}={{qE_{x}} \over {M(-i\omega +\Gamma )}}\simeq {{q} \over {-i\omega M}}E_{x}={{iq} \over {\omega M}}E_{x}\;$

(10.144)

Jak widzimy cząstki, dla której prędkość względem siły jest przesunięta o ±90⁰, wtedy praca wykonywana nad ładunkiem jest równa zero. Gęstość prądu elektrycznego określamy przy pomocy definicji prędkości zdefiniowaną w punkcie (10.144):

$J=Nq{\dot {x}}=i{{Nq^{2}} \over {\omega M}}E_{x}=\sigma (\omega )E_{x}\;$

(10.145)

Przestawimy teraz w jednej linijce jaka jest definicja przewodności elektrycznej według (10.145) (która jest liczbą zespoloną) i kwadrat współczynnika załamania, patrząc na równanie (10.126):

$\sigma (\omega )=i{{Nq^{2}} \over {\omega M}}\;$

(10.146)

$n^{2}=1+\chi =1+{{\sigma (\omega )} \over {-i\omega \epsilon _{0}}}=1-{{Nq^{2}} \over {\epsilon _{0}\omega ^{2}M}}=1-{{\omega _{pl}^{2}} \over {\omega ^{2}}}\;$

(10.147)

Przedział dla częstości dyspersyjnych

Obszar częstości dyspersyjnej możemy zdefiniować warunkami:

$\Gamma <<\omega _{0}\leq \omega \;$

(10.148)

Na podstawie warunku dyspersyjnego dla kwadratu współczynnika załamania (10.147) można powiedzieć, że ona mieści się w przedziale od zera do jedynki, stąd wynika, że sam współczynnik załamania też leży w tym samym przedziale:

$0\leq n^{2}\leq 1\Rightarrow 0\leq n\leq 1\;$

(10.149)

Widzimy na podstawie obliczeń (10.149), że współczynnik n jest rzeczywisty. Ten ośrodek spełniającej (10.149) jest ośrodkiem przezroczystym, który nie ma wcale absorpcji, a względne natężenie światła jest opisywane poprzez współczynnik odbicia (10.118).

Przedział dla częstości reaktywnych

Obszar częstości reaktywnej możemy zdefiniować warunkami:

$\Gamma <<\omega \leq \omega _{pl}\;$

(10.150)

wtedy na podstawie (10.147) i (10.150) zachodzi warunek:

$-{{{\omega _{pl}}^{2}} \over {\Gamma ^{2}}}<<n^{2}\leq 0\;$

(10.151)

Współczynnik załamania dla częstości kołowych reaktywnych na podstawie (10.151) możemy przepisać, ale nie tym razem dla kwadratu, ale dla samego współczynnika załamania, w zależności od częstotliwości kołowej fali:

$n=i|n|=i\left({{\omega _{pl}^{2}} \over {\omega ^{2}}}-1\right)^{{1} \over {2}}\;$

(10.152)

Policzmy czemu jest równa zespolona liczba falowa, której przedstawienie w zależności od współczynnika załamania (10.152) podamy w postaci urojonej w zależności od częstotliwości kołowej, modułu współczynnika załamania i prędkości światła:

$k=n{{\omega } \over {c}}=i|n|{{\omega } \over {c}}=i|k|\;$

(10.153)

Patrząc na (10.153), to całkowite natężenie fali w ośrodku reaktywnym jest przestawiane przy pomocy funkcji eksponencjalnych oraz względem sinusa i kosinus (bo eksponens z liczby urojonej możemy rozłożyć na jej część rzeczywistą przy pomocy kosinusa i na część urojoną przy pomocy sinusa) przy pomocy czasu:

$E_{x}=\left(Ae^{-|k|x}+Be^{|k|x}\right)e^{-i\omega t}\;$

(10.154)

Policzmy teraz kwadrat modułu współczynnik odbicia przy pomocy współczynnika załamania (10.152), która jest ona wyrażona przy pomocy liczby stojącej przy jednostce urojonej i bez części rzeczywistej:

$|R_{12}|^{2}={{(n_{R}-1)^{2}+n_{I}^{2}} \over {(n_{R}+1)^{2}+n_{I}^{2}}}={{1+n_{I}^{2}} \over {1+n_{I}^{2}}}=1\;$

(10.155)