Fale/Impulsy, paczki i modulacje fal

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Fale
Fale
Impulsy, paczki i modulacje fal

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: zegarek(myślnik)odmierza(myślnik)czas(małpa)wp(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Dotychczas rozważaliśmy drgania, które były drganiami harmonicznymi o jednej tylko częstości ω. Dowiedzieliśmy, że superpozycja fal o jednakowych amplitudach, ale o prawie jednakowych częstościach kołowych prowadzi do zjawiska dudnień. Omówimy tutaj zjawisko dudnień powstałych z nakładania się wielu fal o zbliżonych amplitudach. Jak się okazuje, że fale mogą rozchodzić się z prędkością grupową niosąc ze sobą energię z tą właśnie prędkością.

Prędkość grupowa[edytuj]

Sumę dwóch drgań harmonicznych o jednakowych amplitudach, ale dla różnych liczb falowych i częstotliwości kołowych, piszemy w postaci:

(6.1)

Definicję częstotliwości modulowanej i liczby falowej modulowanej, a także ich odpowiedniki średnie rysujemy:

(6.2)
(6.3)
(6.4)
(6.5)

Wykorzystując powyższe definicję średniej częstotliwości kołowej i średniej liczby dwóch fal o zbliżonych częstościach, możemy określić jako sumę (6.1) w postaci zwartej z wyodrębnionymi amplitudami modulowanymi zależnych od częstotliwości i liczb falowych modulowanych, a także z wyodrębnioną częścią harmoniczną, która zależy od średniej częstotliwości i średniej liczby falowej, co te wszystkie wnioski określimy przez dwa poniższe wzory:

(6.6)
(6.7)

Funkcję fazową amplitudy (6.7) można napisać w takiej postaci, która po zróżniczkowaniu obu jego stron dla tej funkcji stałej, w ten sposób otrzymujemy wzór, z którego możemy wyznaczyć prędkość rozchodzenia się modulacji:

(6.8)

Prędkość modulacji możemy rozłożyć w szereg Taylora, w ten sposób dowiadujemy się, że prędkość rozchodzenia się modulacji, która jest ilorazem różnicowym częstotliwości kołowej i liczby falowej k, jest ona w przybliżeniu równa pochodnej zupełnej częstotliwości kołowej względem liczby falowej:

(6.9)

Na podstawie tożsamości (6.9) możemy określić prędkość grupową, którą nazywamy pochodną zupełną częstotliwości kołowej względem liczby falowej:

(6.10)

Składanie się fal o prostokątnym rozkładzie widmowym[edytuj]

Superpozycja N fal, których amplitudy są jednakowe, ale o częstościach kołowych równomiernie rozłożonych pomiędzy częstościami ω1, a ω2, których ta całkowita fala ψ(t) jest zdefiniowana:

(6.11)

Wielkość δω jest tak zdefiniowana w taki sposób jako iloraz różnicy częstotliwości kołowych ω2 i ω1 podzielonej przez N-1, co matematycznie:

(6.12)

Najlepszym sposobem jest przestawienie sumy drgań harmonicznych (6.11) przy pomocy funkcji eksponencjalnych, których częścią rzeczywistą jest ta nasza rozważana suma drgań harmonicznych (6.11), którego przestawienie jest:

(6.13)

Funkcja (6.13) jest szeregiem geometrycznym o ilorazie exp(-δωt), wtedy zapisujemy go w postaci zwartej:


(6.14)

Całkowita funkcja falowa zapisana w postaci zwartej (6.11) jest częścią rzeczywistą obliczeń napisaną w punkcie (6.14), którą rysujemy w postaci funkcji zależnej od czasu "t", częstotliwości średniej drgań ωśr:

(6.15)

Amplituda fali ψ(t), występująca we wzorze (6.15) jest zależna od czasu i jest napisana przy pomocy funkcji sinus, która występuje w mianowniku i liczniku, której licznik jest zależny od liczby przegród, jest wykreślona:

(6.16)

Gdy N=2, wtedy równość na funkcję ψ(t) (6.15), którą definiujemy zamienieniając 1/2ωt przez zmienną x, wtedy mamy:

(6.17)

Wzór na funkcję ψ(t) dla N=2 otrzymaliśmy jak w punkcie (1.117), co jest zgodnie z naszymi oczekiwaniami. Przy liczeniu funkcji (6.16) dla t=0 należy się dokładnie przyjrzeć, bo licznik i mianownik tego wyrażenia jest równy zero, wtedy należy dokonać zamiany zmiennych według , i obliczyć granicę wykorzystując wiadomości o granicach z analizy matematycznej.

(6.18)

Amplitudę (6.16) możemy przestawić jako funkcję A(t) przy A=A(0)/N, dla którego tą wielkość piszemy:

(6.19)

Przejdźmy teraz do granicy, dla którego N jest bardzo duże, wtedy odstępy pomiędzy składowymi drgań harmonicznych δω są na tyle małe, że ich doświadczalnie nie możemy rozróżnić, wtedy mamy doczynienia z fizyką, a nie z matematyką. Amplitudę (6.16) możemy napisać dla warunku δω bardzo małego i przy zachodzącej tożsamości (6.12):

(6.20)

Wychylenie od stanu równowagi (6.11) jako superpozycja N fal harmonicznych, przy wykorzystaniu (6.12), piszemy jako:

(6.21)

Równość (6.21) możemy zapisać w postaci całkowej, przy założeniu, że δω jest bardzo małe, praktycznie zerowe, jako całkę od ω=ω1, aż do ω=ω2:

(6.22)

Szereg Fouriera liczona względem czasu[edytuj]

Szeregiem Fouriera nazywamy takie wyrażenie, której każdą funkcję F(t) możemy rozłożyć ten nasz szereg, którego postać jest zależna od współczynników B0 i współczynników zależnych od n, czyli od An i od Bn:

(6.23)

Wówczas jak możemy udowodnić, że współczynniki An i Bn możemy napisać przy pomocy funkcji F(t), jak to robiliśmy też dla szeregu Fouriera zdefiniowanego w punkcie (2.35), tylko tam była definicja względem liczby falowej, a tutaj względem częstotliwości kołowej:

(6.24)
(6.25)
(6.26)

Przejście od szeregu Fouriera w jej postać całkową[edytuj]

Rozważmy kilka pierwszych wyrazów w szeregu Fouriera, tzn. A1sinω1t+B1cosω1t, A1sinω1t+B1cosω1t. Pierwsze wyrazy są tak małe w podanych wyrazach, że można je zaniedbać. Widzimy, że T1, która jest okresem. Sztucznie utworzona funkcja zależy od naszego okresu, więc ten okres możemy zwiększać o dowolną wielokrotność, zatem okres T1 jest dowolny, to częstotliwość kołową ω1=2π/T1 możemy dowolnie zmniejszać. W gruncie rzeczy T1 możemy wziąć na tyle duże by wyrazy An i Bn można było zaniedbać. Rozważmy n na tyle duże by nie można było zaniedbać współczynników An , Bn, wtedy szereg (6.23) możemy zapisać biorąc jak na razie dla uproszczenia wyrazy z sinusami:

(6.27)

Obierzmy sobie teraz funkcję ω zmiennej n i ω1, która jest iloczynem liczby n i częstotliwości ω:

(6.28)

Niech przyrost δω będzie taki, że różniczka z n jest ilorazem z delty częstotliwości kołowej ω przez częstotliwość ω1:

(6.29)

Załóżmy, że w pasmie n do n+δ n wszystkie współczynniki An są sobie równe, wtedy wszystkie te wyrazy możemy przegrupować względem tychże współczynników, by później było można napisać:

(6.30)

W końcu na podstawie obliczeń (6.30) możemy napisać całkę Fouriera, którego postać piszemy względem współczynników A(ω) i B(ω) (powyżej było przyjęte, że B(ω)=0, a poniżej jest dla różnego od zera dla ogólności), której ogólna postać naszej całki:

(6.31)

Na podstawie definicji współczynnika An (6.26) i Bn(6.25), a także z własności ω1T1=2π, a także będziemy przyjmować t0=-∞, a T0=∞, wtedy możemy napisać definicję współczynników A(ω) i B(ω) przy wcześniejszych poczynionych uwagach:

(6.32)
(6.33)

Całki Fouriera dla tłumionego oscylatora tłumionego[edytuj]

Wychylenie od stanu równowagi dla tłumionego oscylatora od stanu równowagi przy zerowym przesunięciu fazowym przyjmuje postać:

(6.34)

Wtedy patrząc na tożsamość (3.10) możemy napisać tożsamość wiążąca częstotliwość drgań tłumionych ω1 względem drgań harmonicznych podstawowych i współczynnika tłumionego, z którego skorzystamy w dalszym kroku obliczeń. Policzmy tutaj dwie całki poniższe, które będą nam bardzo potrzebne w dalszych rozważaniach:


(6.35)

Dalej policzmy drugą z kolei całkę:


(6.36)

Policzmy teraz współczynnik A(ω) według wzoru (6.32) występującego jako współczynnik we wzorze (6.31) korzystując przy tym z tożsamości fizycznej (6.36):




(6.37)

Dalszym krokiem jest policzenie B(ω) według wzoru (6.33) występujące jako współczynnik we (6.31) wykorzystując przy tym z tożsamości fizycznej (6.34):




(6.38)

Wyznaczmy wielkość I(ω), która jest sumą kwadratów wielkości 2πA(ω)(6.38) i 2πB(ω)(6.38):




(6.39)

Całka Fouriera dla fal biegnących w ośrodku dyspersyjnym jednorodnym[edytuj]

Całka Fouriera dla fal biegnących w ośrodku dyspersyjnym jednorodnym dla fal dyspersyjnych dla z=0 piszemy w postaci zależnej od częstotliwości kołowej:

(6.40)

Dla k≠0 całkę Fouriera możemy przestawić w zależności od liczby falowej, która z kolei zależy od liczby falowej dla fal biegnących, co można uzyskać zamieniając zmienną "t" na primowane, i podstawiając dalej za t' w tożsamości (6.40) wyrażenie t-z/v i pamiętając, że ψ(0,t')=ψ(z,t):

(6.41)

Wykorzystajmy definicję prędkości fazowej, którego definicja jest podana w punkcie (4.11), wtedy równość (6.41) dla liczby falowej zależnej od częstotliwości kołowej możemy przepisać do:

(6.42)

Klasyczne równanie falowe a fale ulegające dyspersji[edytuj]

Załóżmy, że mamy wychylenie od stanu równowagi, którego równanie piszemy przy pomocy częstotliwości drgań ω, liczby falowej zależnej od częstotliwości kołowej k(ω):

(6.43)

Równanie falowe różniczkowe, którego rozwiązaniem jest (6.43), jest w postaci zależnej od prędkości fazowej, którego z kolei zależy od częstotliwości kołowej, możemy otrzymać licząc drugie pochodne wychylenia naszego przemieszczenia względem czasu i położenia:

(6.44)
(6.45)

Równości (6.44) i (6.45) porównujemy je względem siebie, w ten sposób otrzymujemy wzór na równanie falowe zależne od drugich pochodnych przemieszczenia ψ względem czasu i położenia "z":

(6.46)

Do równości (6.46) wykorzystamy definicję prędkości fazowej (4.11), w ten sposób otrzymujemy równanie różniczkowe, które jest zależne od prędkości fazowej, a która z kolei zależy od częstotliwości kołowej lub mówiąc równoważnie od liczby falowej, bo we związku dyspersyjnym częstotliwość jest zależna od liczby falowej:

(6.47)

Następny rozdział: Fale dwu- i trójwymiarowe rozchodzące się w przestrzeni Poprzedni rozdział: Odbicie fal klasycznych

Podręcznik: Fale