Fale/Impulsy, paczki i modulacje fal

Impulsy, paczki i modulacje fal

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Dotychczas rozważaliśmy drgania, które były drganiami harmonicznymi o jednej tylko częstości ω. Dowiedzieliśmy, że superpozycja fal o jednakowych amplitudach, ale o prawie jednakowych częstościach kołowych prowadzi do zjawiska dudnień. Omówimy tutaj zjawisko dudnień powstałych z nakładania się wielu fal o zbliżonych amplitudach. Jak się okazuje, że fale mogą rozchodzić się z prędkością grupową niosąc ze sobą energię z tą właśnie prędkością.

Prędkość grupowa

Sumę dwóch drgań harmonicznych o jednakowych amplitudach, ale dla różnych liczb falowych i częstotliwości kołowych, piszemy w postaci:

$\psi (z,t)=A\cos(\omega _{1}t-k_{1}z)+A\cos(\omega _{2}t-k_{2}z)\;$

(6.1)

Definicję częstotliwości modulowanej i liczby falowej modulowanej, a także ich odpowiedniki średnie rysujemy:

$\omega _{mod}={{1} \over {2}}\left(\omega _{1}-\omega _{2}\right)\;$

(6.2)

$k_{mod}={{1} \over {2}}\left(k_{1}-k_{2}\right)\;$

(6.3)

$\omega _{sr}={{1} \over {2}}\left(\omega _{1}+\omega _{2}\right)\;$

(6.4)

$k_{sr}={{1} \over {2}}\left(k_{1}+k_{2}\right)\;$

(6.5)

Wykorzystując powyższe definicję średniej częstotliwości kołowej i średniej liczby dwóch fal o zbliżonych częstościach, możemy określić jako sumę (6.1) w postaci zwartej z wyodrębnionymi amplitudami modulowanymi zależnych od częstotliwości i liczb falowych modulowanych, a także z wyodrębnioną częścią harmoniczną, która zależy od średniej częstotliwości i średniej liczby falowej, co te wszystkie wnioski określimy przez dwa poniższe wzory:

$\psi (z,t)=A_{mod}(z,t)\cos(\omega _{sr}t+k_{sr})\;$

(6.6)

$A_{mod}=2A\cos(\omega _{mod}t-k_{mod}z)\;$

(6.7)

Funkcję fazową amplitudy (6.7) można napisać w takiej postaci, która po zróżniczkowaniu obu jego stron dla tej funkcji stałej, w ten sposób otrzymujemy wzór, z którego możemy wyznaczyć prędkość rozchodzenia się modulacji:

$0=\omega _{mod}dt-k_{mod}dz\Rightarrow {{dz} \over {dt}}=v_{mod}={{\omega _{mod}} \over {k_{mod}}}={{\omega _{1}-\omega _{2}} \over {k_{2}-k_{1}}}\;$

(6.8)

Prędkość modulacji możemy rozłożyć w szereg Taylora, w ten sposób dowiadujemy się, że prędkość rozchodzenia się modulacji, która jest ilorazem różnicowym częstotliwości kołowej i liczby falowej k, jest ona w przybliżeniu równa pochodnej zupełnej częstotliwości kołowej względem liczby falowej:

$v_{mod}={{\omega _{2}-\omega _{1}} \over {k_{2}-k_{1}}}={{d\omega } \over {dk}}+...\;$

(6.9)

Na podstawie tożsamości (6.9) możemy określić prędkość grupową, którą nazywamy pochodną zupełną częstotliwości kołowej względem liczby falowej:

$v_{g}={{d\omega } \over {dk}}\;$

(6.10)

Składanie się fal o prostokątnym rozkładzie widmowym

Superpozycja N fal, których amplitudy są jednakowe, ale o częstościach kołowych równomiernie rozłożonych pomiędzy częstościami ω₁, a ω₂, których ta całkowita fala ψ(t) jest zdefiniowana:

$\psi (t)=A\cos \omega _{1}t=A\cos(\omega _{1}t+\delta \omega )+A\cos(\omega _{1}t+2\delta \omega )+...+A\cos \omega _{2}t\;$

(6.11)

Wielkość δω jest tak zdefiniowana w taki sposób jako iloraz różnicy częstotliwości kołowych ω₂ i ω₁ podzielonej przez N-1, co matematycznie:

$\delta \omega ={{\omega _{2}-\omega _{1}} \over {N-1}}={{\Delta \omega } \over {N-1}}\;$

(6.12)

Najlepszym sposobem jest przestawienie sumy drgań harmonicznych (6.11) przy pomocy funkcji eksponencjalnych, których częścią rzeczywistą jest ta nasza rozważana suma drgań harmonicznych (6.11), którego przestawienie jest:

$f(t)=e^{-i\omega _{1}t}+e^{-i(\omega _{1}t+2\delta \omega )}+...+e^{-i(\omega _{1}t+2\Delta \omega )}\;$

(6.13)

Funkcja (6.13) jest szeregiem geometrycznym o ilorazie exp(-δωt), wtedy zapisujemy go w postaci zwartej:

$f(t)=e^{-i\omega _{1}t}{{1-e^{-iN\delta \omega t}} \over {1-e^{-i\delta \omega t}}}={{e^{-{{1} \over {2}}N\delta \omega t}} \over {e^{-{{1} \over {2}}i\delta \omega t}}}{{e^{{{1} \over {2}}iN\delta \omega t}-e^{-{{1} \over {2}}iN\delta \omega t}} \over {e^{{{1} \over {2}}i\delta \omega t}-e^{-{{1} \over {2}}i\delta \omega t}}}=e^{-i\omega _{1}t}e^{-{{1} \over {2}}i(N-1)\delta \omega }{{\sin {{1} \over {2}}N\delta \omega t} \over {\sin {{1} \over {2}}\delta \omega t}}=e^{-i(\omega _{1}+{{1} \over {2}}\Delta \omega )}{{\sin {{1} \over {2}}N\delta \omega t} \over {\sin {{1} \over {2}}\delta \omega t}}=\;$
$=e^{-i\omega _{sr}t}{{\sin {{1} \over {2}}N\delta \omega t} \over {\sin {{1} \over {2}}\delta \omega t}}\;$

(6.14)

Całkowita funkcja falowa zapisana w postaci zwartej (6.11) jest częścią rzeczywistą obliczeń napisaną w punkcie (6.14), którą rysujemy w postaci funkcji zależnej od czasu "t", częstotliwości średniej drgań ω_śr:

$\psi (t)=A\cos \omega _{sr}t{{\sin {{1} \over {2}}N\delta \omega t} \over {\sin {{1} \over {2}}\delta \omega t}}\;$

(6.15)

Amplituda fali ψ(t), występująca we wzorze (6.15) jest zależna od czasu i jest napisana przy pomocy funkcji sinus, która występuje w mianowniku i liczniku, której licznik jest zależny od liczby przegród, jest wykreślona:

$A(t)={{\sin {{1} \over {2}}N\delta \omega t} \over {\sin {{1} \over {2}}\delta \omega t}}\;$

(6.16)

Gdy N=2, wtedy równość na funkcję ψ(t) (6.15), którą definiujemy zamienieniając 1/2ωt przez zmienną x, wtedy mamy:

$\psi (t)=A{{\sin 2x} \over {\sin x}}\cos \omega _{sr}t=A{{2\sin x\cos x} \over {\sin x}}\cos \omega _{sr}=2A\cos x=2A\cos \omega _{mod}t\cos \omega _{sr}t\;$

(6.17)

Wzór na funkcję ψ(t) dla N=2 otrzymaliśmy jak w punkcie (1.117), co jest zgodnie z naszymi oczekiwaniami. Przy liczeniu funkcji (6.16) dla t=0 należy się dokładnie przyjrzeć, bo licznik i mianownik tego wyrażenia jest równy zero, wtedy należy dokonać zamiany zmiennych według $_{\theta ={{1} \over {2}}\delta \omega t}\;$, i obliczyć granicę wykorzystując wiadomości o granicach z analizy matematycznej.

$\lim _{\theta \rightarrow 0}{{\sin N\theta } \over {\theta }}=N\lim _{\theta \rightarrow 0}{{\sin N\theta } \over {N\theta }}=N\;$

(6.18)

Amplitudę (6.16) możemy przestawić jako funkcję A(t) przy A=A(0)/N, dla którego tą wielkość piszemy:

$A(t)=A(0){{\sin {{1} \over {2}}N\delta \omega } \over {N\sin {{1} \over {2}}\delta \omega t}}\;$

(6.19)

Przejdźmy teraz do granicy, dla którego N jest bardzo duże, wtedy odstępy pomiędzy składowymi drgań harmonicznych δω są na tyle małe, że ich doświadczalnie nie możemy rozróżnić, wtedy mamy doczynienia z fizyką, a nie z matematyką. Amplitudę (6.16) możemy napisać dla warunku δω bardzo małego i przy zachodzącej tożsamości (6.12):

$A(t)=A(0){{\sin {{1} \over {2}}N\delta \omega t} \over {N\sin {{1} \over {2}}\delta \omega }}=A(0){{\sin {{1} \over {2}}\Delta \omega t} \over {N{{1} \over {2}}\delta \omega t}}=A(0){{\sin {{1} \over {2}}\Delta \omega t} \over {{{1} \over {2}}\Delta \omega }}\;$

(6.20)

Wychylenie od stanu równowagi (6.11) jako superpozycja N fal harmonicznych, przy wykorzystaniu (6.12), piszemy jako:

$\psi (t)={{A(0)} \over {\Delta \omega }}\left[\delta \omega \cos \omega _{1}t+\delta \omega \cos(\omega _{1}+\delta \omega )t+...+\delta \omega \cos \omega _{2}t\right]\;$

(6.21)

Równość (6.21) możemy zapisać w postaci całkowej, przy założeniu, że δω jest bardzo małe, praktycznie zerowe, jako całkę od ω=ω₁, aż do ω=ω₂:

$\psi (t)={{A(0)} \over {\Delta \omega }}\int _{\omega _{1}}^{\omega _{2}}\cos \omega td\omega \;$

(6.22)

Szereg Fouriera liczona względem czasu

Szeregiem Fouriera nazywamy takie wyrażenie, której każdą funkcję F(t) możemy rozłożyć ten nasz szereg, którego postać jest zależna od współczynników B₀ i współczynników zależnych od n, czyli od A_n i od B_n:

$F(t)=B_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}\sin n\omega t+\sum _{n=1}^{\infty }B_{n}\cos \omega _{1}t\;$

(6.23)

Wówczas jak możemy udowodnić, że współczynniki A_n i B_n możemy napisać przy pomocy funkcji F(t), jak to robiliśmy też dla szeregu Fouriera zdefiniowanego w punkcie (2.35), tylko tam była definicja względem liczby falowej, a tutaj względem częstotliwości kołowej:

$B_{0}={{1} \over {T_{1}}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T_{1}}F(t)dt\;$

(6.24)

$B_{n}={{2} \over {T_{1}}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T_{1}}F(t)\cos n\omega _{t}dt\;$

(6.25)

$A_{n}={{2} \over {T_{1}}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T_{1}}F(t)\sin n\omega _{t}dt\;$

(6.26)

Przejście od szeregu Fouriera w jej postać całkową

Rozważmy kilka pierwszych wyrazów w szeregu Fouriera, tzn. A₁sinω₁t+B₁cosω₁t, A₁sinω₁t+B₁cosω₁t. Pierwsze wyrazy są tak małe w podanych wyrazach, że można je zaniedbać. Widzimy, że T₁, która jest okresem. Sztucznie utworzona funkcja zależy od naszego okresu, więc ten okres możemy zwiększać o dowolną wielokrotność, zatem okres T₁ jest dowolny, to częstotliwość kołową ω₁=2π/T₁ możemy dowolnie zmniejszać. W gruncie rzeczy T₁ możemy wziąć na tyle duże by wyrazy A_n i B_n można było zaniedbać. Rozważmy n na tyle duże by nie można było zaniedbać współczynników A_n , B_n, wtedy szereg (6.23) możemy zapisać biorąc jak na razie dla uproszczenia wyrazy z sinusami:

$F(t)=...+A_{n}\sin n\omega _{1}t+A_{n+1}\sin(n\omega _{1}+\omega _{1})t+...\;$

(6.27)

Obierzmy sobie teraz funkcję ω zmiennej n i ω₁, która jest iloczynem liczby n i częstotliwości ω:

$\omega =n\omega _{1}\;$

(6.28)

Niech przyrost δω będzie taki, że różniczka z n jest ilorazem z delty częstotliwości kołowej ω przez częstotliwość ω₁:

$\delta \omega =\omega _{1}\delta n\Rightarrow \delta n={{\delta \omega } \over {\omega _{1}}}\;$

(6.29)

Załóżmy, że w pasmie n do n+δ n wszystkie współczynniki A_n są sobie równe, wtedy wszystkie te wyrazy możemy przegrupować względem tychże współczynników, by później było można napisać:

$F(t)=....+\delta nA_{n}\sin n\omega _{1}t+...=...+\delta \omega {{A_{n}} \over {\omega _{1}}}\sin \omega t+..\equiv ...+\delta \omega A(\omega )\sin \omega t+..=\int _{0}^{\infty }A(\omega )\sin \omega td\omega \;$

(6.30)

W końcu na podstawie obliczeń (6.30) możemy napisać całkę Fouriera, którego postać piszemy względem współczynników A(ω) i B(ω) (powyżej było przyjęte, że B(ω)=0, a poniżej jest dla różnego od zera dla ogólności), której ogólna postać naszej całki:

$F(t)=\int _{0}^{\infty }A(\omega )\sin \omega td\omega +\int _{0}^{\infty }B(\omega )\cos \omega td\omega \;$

(6.31)

Na podstawie definicji współczynnika A_n (6.26) i B_n(6.25), a także z własności ω₁T₁=2π, a także będziemy przyjmować t₀=-∞, a T₀=∞, wtedy możemy napisać definicję współczynników A(ω) i B(ω) przy wcześniejszych poczynionych uwagach:

$A(\omega )={{A_{n}} \over {\omega _{1}}}={{1} \over {\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\psi (t)\sin \omega tdt\;$

(6.32)

$B(\omega )={{B_{n}} \over {\omega _{1}}}={{1} \over {\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\psi (t)\cos \omega tdt\;$

(6.33)

Całki Fouriera dla tłumionego oscylatora tłumionego

Wychylenie od stanu równowagi dla tłumionego oscylatora od stanu równowagi przy zerowym przesunięciu fazowym przyjmuje postać:

$\psi (t)=e^{-{{1} \over {2}}\Gamma t}\cos \omega _{1}t\;$

(6.34)

Wtedy patrząc na tożsamość (3.10) możemy napisać tożsamość wiążąca częstotliwość drgań tłumionych ω₁ względem drgań harmonicznych podstawowych i współczynnika tłumionego, z którego skorzystamy w dalszym kroku obliczeń. Policzmy tutaj dwie całki poniższe, które będą nam bardzo potrzebne w dalszych rozważaniach:

$\int _{0}^{\infty }e^{-ax}\sin bxdx=-{{1} \over {a}}e^{-ax}\sin bx{\Bigg |}_{0}^{\infty }+{{b} \over {a}}\int _{0}^{\infty }e^{-ax}\cos bx=-{{b} \over {a^{2}}}e^{-ax}\cos bx{\Bigg |}_{0}^{\infty }-{{b^{2}} \over {a^{2}}}\int _{0}^{\infty }e^{-ax}\sin bx\Rightarrow \;$
$\Rightarrow \int _{0}^{\infty }e^{-ax}\sin bxdx={{b} \over {b^{2}+a^{2}}}\;$

(6.35)

Dalej policzmy drugą z kolei całkę:

$\int _{0}^{\infty }e^{-ax}\cos bxdx=-{{1} \over {a}}e^{-ax}\cos bx{\Bigg |}_{0}^{\infty }-{{b} \over {a}}\int _{0}^{\infty }e^{-ax}\sin bx={{1} \over {a}}+e^{-ax}\sin bx{\Bigg |}_{0}^{\infty }-{{b^{2}} \over {a^{2}}}\int e^{ax}\cos bx\Rightarrow \;$
$\Rightarrow \int _{0}^{\infty }e^{-ax}\cos bxdx={{a} \over {b^{2}+a^{2}}}\;$

(6.36)

Policzmy teraz współczynnik A(ω) według wzoru (6.32) występującego jako współczynnik we wzorze (6.31) korzystując przy tym z tożsamości fizycznej (6.36):

$2\pi A(\omega )=2\int _{\infty }^{\infty }\psi (t)\sin \omega tdt=\int _{0}^{\infty }e^{-{{1} \over {2}}\Gamma t}2\cos \omega _{1}t\sin \omega tdt=\int _{0}^{\infty }e^{-{{1} \over {2}}\Gamma t}[\sin(\omega +\omega _{1})t+\sin(\omega -\omega _{1})t]dt=\;$
$={{\omega +\omega _{1}} \over {(\omega +\omega _{1})^{2}+\left({{1} \over {2}}\Gamma \right)^{2}}}+{{\omega -\omega _{1}} \over {(\omega -\omega _{1})^{2}+\left({{1} \over {2}}\Gamma \right)^{2}}}={{\omega +\omega _{1}} \over {\omega ^{2}+\omega _{0}^{2}+2\omega \omega _{1}}}+{{\omega -\omega _{1}} \over {\omega ^{2}+\omega _{0}^{2}-2\omega \omega _{1}}}=\;$
$={{(\omega +\omega _{1})(\omega ^{2}+\omega _{0}^{2}-2\omega \omega _{1})+(\omega -\omega _{1})(\omega ^{2}+\omega _{0}^{2}+2\omega \omega _{1})} \over {\omega ^{4}+\omega ^{2}\omega _{0}^{2}-2\omega ^{3}\omega _{1}+\omega ^{2}\omega _{0}^{2}+\omega _{0}^{4}-2\omega \omega _{1}\omega _{0}^{2}+2\omega ^{3}\omega _{1}+2\omega _{0}^{2}\omega \omega _{1}-4\omega ^{2}\omega _{1}^{2}}}={{2\omega (\omega ^{2}+\omega _{0}^{2})-4\omega _{1}^{2}\omega } \over {\omega ^{4}+2\omega _{0}^{2}\omega ^{2}-4\omega ^{2}\omega _{0}^{2}+\omega _{0}^{4}+\Gamma ^{2}\omega ^{2}}}=\;$
$={{2\omega (\omega ^{2}-\omega _{0}^{2})+\omega \Gamma ^{2}} \over {(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}+\Gamma ^{2}\omega ^{2}}}$

(6.37)

Dalszym krokiem jest policzenie B(ω) według wzoru (6.33) występujące jako współczynnik we (6.31) wykorzystując przy tym z tożsamości fizycznej (6.34):

$2\pi B(\omega )=2\int _{\infty }^{\infty }\psi (t)\cos \omega tdt=\int _{0}^{\infty }e^{-{{1} \over {2}}\Gamma t}2\cos \omega _{1}t\cos \omega tdt=\int _{0}^{\infty }e^{-{{1} \over {2}}\Gamma }[\cos(\omega +\omega _{1})t+\cos(\omega -\omega _{1})t]dt=\;$
$={{{{1} \over {2}}\Gamma } \over {(\omega +\omega _{1})^{2}+\left({{1} \over {2}}\Gamma \right)^{2}}}+{{{{1} \over {2}}\Gamma } \over {(\omega -\omega _{1})^{2}+\left({{1} \over {2}}\Gamma \right)^{2}}}={{{{1} \over {2}}\Gamma } \over {\omega ^{2}+\omega _{0}^{2}+2\omega \omega _{1}}}+{{{{1} \over {2}}\Gamma } \over {\omega ^{2}+\omega _{0}^{2}-2\omega \omega _{1}}}=\;$
$={{{{1} \over {2}}\Gamma (\omega ^{2}+\omega _{0}^{2}-2\omega \omega _{1})+{{1} \over {2}}\Gamma (\omega ^{2}+\omega _{0}^{2}+2\omega \omega _{1})} \over {\omega ^{4}+\omega ^{2}\omega _{0}^{2}-2\omega ^{3}\omega _{1}+\omega ^{2}\omega _{0}^{2}+\omega _{0}^{4}-2\omega \omega _{1}\omega _{0}^{2}+2\omega ^{3}\omega _{1}+2\omega _{0}^{2}\omega \omega _{1}-4\omega ^{2}\omega _{1}^{2}}}={{\Gamma (\omega ^{2}+\omega _{0}^{2})} \over {\omega ^{4}+2\omega _{0}^{2}\omega ^{2}-4\omega ^{2}\omega _{0}^{2}+\omega _{0}^{4}+\Gamma ^{2}\omega ^{2}}}=\;$
$={{\Gamma (\omega ^{2}+\omega _{0}^{2})} \over {(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}+\Gamma ^{2}\omega ^{2}}}$

(6.38)

Wyznaczmy wielkość I(ω), która jest sumą kwadratów wielkości 2πA(ω)(6.38) i 2πB(ω)(6.38):

$I(\omega )=[2\pi A(\omega )]^{2}+[2\pi B(\omega )]^{2}=\left({{2\omega (\omega ^{2}-\omega _{0}^{2})+\omega \Gamma ^{2}} \over {(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}+\Gamma ^{2}\omega ^{2}}}\right)^{2}+\left({{\Gamma (\omega ^{2}+\omega _{0}^{2})} \over {(\omega _{0}^{2}-\omega )^{2}+\Gamma ^{2}\omega ^{2}}}\right)^{2}=\;$
$={{4\omega ^{2}(\omega ^{2}-\omega _{0}^{2})^{2}+\omega ^{2}\Gamma ^{4}+4\omega ^{2}\Gamma ^{2}(\omega ^{2}-\omega _{0}^{2})+\Gamma ^{2}(\omega ^{2}+\omega _{0}^{2})^{2}} \over {\left((\omega _{0}^{2}-\omega )^{2}+\Gamma ^{2}\omega ^{2}\right)^{2}}}=\;$
$={{4\omega ^{2}(\omega ^{2}-\omega _{0}^{2})^{2}+\omega ^{2}\Gamma ^{4}+4\omega ^{4}\Gamma ^{2}-4\omega ^{2}\omega _{0}^{2}\Gamma ^{2}+\Gamma ^{2}\omega ^{4}+\Gamma ^{2}\omega _{0}^{4}+2\Gamma ^{2}\omega ^{2}\omega _{0}^{2}} \over {\left((\omega _{0}^{2}-\omega )^{2}+\Gamma ^{2}\omega ^{2}\right)^{2}}}=\;$
$={{4\omega ^{2}\left[(\omega ^{2}-\omega _{0}^{2})^{2}+\Gamma ^{2}\omega ^{2}\right]+\Gamma ^{2}\left[\omega ^{2}\Gamma ^{2}+(\omega ^{2}-\omega _{0}^{2})^{2}\right]} \over {\left((\omega _{0}^{2}-\omega )^{2}+\Gamma ^{2}\omega ^{2}\right)^{2}}}={{4\omega ^{2}+\Gamma ^{2}} \over {(\omega ^{2}-\omega _{0}^{2})^{2}+\Gamma ^{2}\omega ^{2}}}$

(6.39)

Całka Fouriera dla fal biegnących w ośrodku dyspersyjnym jednorodnym

Całka Fouriera dla fal biegnących w ośrodku dyspersyjnym jednorodnym dla fal dyspersyjnych dla z=0 piszemy w postaci zależnej od częstotliwości kołowej:

$\psi (0,t)=\int _{0}^{\infty }\left[A(\omega )\sin \omega t+B(\omega )\cos \omega t\right]d\omega \;$

(6.40)

Dla k≠0 całkę Fouriera możemy przestawić w zależności od liczby falowej, która z kolei zależy od liczby falowej dla fal biegnących, co można uzyskać zamieniając zmienną "t" na primowane, i podstawiając dalej za t' w tożsamości (6.40) wyrażenie t-z/v i pamiętając, że ψ(0,t')=ψ(z,t):

$\psi (z,t)=\int _{0}^{\infty }\left[A(\omega )\sin \omega \left(t-{{z} \over {v}}\right)+B(\omega )\cos \omega \left(t-{{z} \over {v}}\right)\right]d\omega \;$

(6.41)

Wykorzystajmy definicję prędkości fazowej, którego definicja jest podana w punkcie (4.11), wtedy równość (6.41) dla liczby falowej zależnej od częstotliwości kołowej możemy przepisać do:

$\psi (z,t)=\int _{0}^{\infty }\left[A(\omega )\sin(\omega t-k(\omega )z)+B(\omega )\cos(\omega t-k(\omega )z)\right]d\omega \;$

(6.42)

Klasyczne równanie falowe a fale ulegające dyspersji

Załóżmy, że mamy wychylenie od stanu równowagi, którego równanie piszemy przy pomocy częstotliwości drgań ω, liczby falowej zależnej od częstotliwości kołowej k(ω):

$\psi (z,t)=A\cos[\omega t-k(\omega )z]\;$

(6.43)

Równanie falowe różniczkowe, którego rozwiązaniem jest (6.43), jest w postaci zależnej od prędkości fazowej, którego z kolei zależy od częstotliwości kołowej, możemy otrzymać licząc drugie pochodne wychylenia naszego przemieszczenia względem czasu i położenia:

${{\partial ^{2}\psi (z,t)} \over {\partial t^{2}}}=-\omega ^{2}A\cos[\omega t-k(\omega )z]\;$

(6.44)

${{\partial ^{2}\psi (z,t)} \over {\partial z^{2}}}=-k^{2}A\cos[\omega t-k(\omega )z]\;$

(6.45)

Równości (6.44) i (6.45) porównujemy je względem siebie, w ten sposób otrzymujemy wzór na równanie falowe zależne od drugich pochodnych przemieszczenia ψ względem czasu i położenia "z":

${{\partial ^{2}\psi (z,t)} \over {\partial t^{2}}}=\left({{\omega } \over {k}}\right)^{2}{{\partial ^{2}\psi (z,t)} \over {\partial z^{2}}}\;$

(6.46)

Do równości (6.46) wykorzystamy definicję prędkości fazowej (4.11), w ten sposób otrzymujemy równanie różniczkowe, które jest zależne od prędkości fazowej, a która z kolei zależy od częstotliwości kołowej lub mówiąc równoważnie od liczby falowej, bo we związku dyspersyjnym częstotliwość jest zależna od liczby falowej:

${{\partial ^{2}\psi (z,t)} \over {\partial t^{2}}}=v^{2}(\omega ){{\partial ^{2}\psi (z,t)} \over {\partial z^{2}}}\;$

(6.47)