Liczby zespolone/Moduł liczby

Moduł liczby zespolonej

Wartość bezwzględna liczb rzeczywistych była tak zwaną normą - liczbą określającą odległość liczby rzeczywistej od początku układu współrzędnych, bez względu na miejsce, w którym się ta liczba znajdowała. Liczby rzeczywiste przedstawione są na jednej osi - tak więc mogły znajdować się tylko po lewej lub po prawej stronie układu współrzędnych, np. w tej samej odległości = |4| od początku osi liczb rzeczywistych znajdują się dwie liczby: +4 oraz -4.

Nie powinniśmy mieć też problemów z określeniem odległości w przestrzeni liczb zespolonych, które mogą przecież leżeć po bokach osi $\mathbb {R}$. O ile tylko $i\!$ potraktujemy jako jednostkę osi urojonej - będziemy mogli rozpatrzyć położenie liczby względem początku nie tylko jednej osi rzeczywistej Re, ale również względem początku osi urojonej Im, w sposób znany nam doskonale z układu kartezjańskiego $\mathbb {R} ^{2}$.

Postarajmy się więc odnaleźć odległość danej liczby od początku układu współrzędnych. Szybko zauważymy, że możemy skorzystać z własności trójkąta prostokątnego z przyprostokątnymi o wartościach: a równej części rzeczywistej $\operatorname {Re} (z)$ i b równej części urojonej $\operatorname {Im} (z)$. Wartość bezwzględna $|z|\!$ będzie określała odległość $z\!$ od początku układu współrzędnych. Aby wyznaczyć wzór na tę odległość - skorzystać musimy z Twierdzenia Pitagorasa, dla trójkąta prostokątnego o przeciwprostokątnej c: $c^{2}=a^{2}+b^{2}$. Skoro wartość c równa jest odległości liczby $z$ od punktu $(0,0)$ - oznacza to, że znaleźliśmy ogólny przepis na wartość bezwzględną $|z|$:

$|z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\!$

(wzór na odległość punktu $z\!$ od początku
płaszczyzny liczb zespolonych $(0,0)\!$)

Stąd też można napisać, że:

$|z|^{2}=a^{2}+b^{2}\!$

(kwadrat modułu liczby zespolonej jest sumą
kwadratów jej części rzeczywistej i urojonej)

Własności modułu

Moduł liczby zespolonej posiada identyczne własności, co wartość bezwzględna dwumianów:

1. Moduł liczby zespolonej $z\!$, sprzężonej ${\overline {z}}\!$, i przeciwnej $-z\!$:

   $|{\overline {z}}|=|z|=|-z|\!$

2. Kwadrat modułu liczby zespolonej:

   $|z|^{2}=z\cdot {\overline {z}}\!$,

3. Moduł iloczynu liczb zespolonych:

   $|z_{1}\cdot z_{2}|=|z_{1}|\cdot |z_{2}|\!$,

4. Moduł ilorazu liczb zespolonych:

   $\left|{\frac {z_{1}}{z_{2}}}\right|={\frac {|z_{1}|}{|z_{2}|}}\!$,  o ile $z_{2}\neq 0$,

Moduł sumy liczb zespolonych ma również szczególne właściwości:

1. Moduł sumy liczb zespolonych:

   $|z_{1}+z_{2}|\leq |z_{1}|+|z_{2}|\!$,

2. Moduł różnicy liczb zespolonych:

   $|z_{1}-z_{2}|\geq |z_{1}|-|z_{2}|\!$,

3. Moduł części rzeczywistej:

   $\left|\operatorname {Re} (z)\right|\leq |z|\!$,

4. Moduł części urojonej:

   $\left|\operatorname {Im} (z)\right|\leq |z|\!$,