Liczby zespolone/Sprzężenie liczby

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Sprzężenie liczby zespolonej[edytuj]

Jakby nie patrzeć, z matematycznego punktu widzenia liczby zespolone są sumą dwóch jednomianów. Element o podwójnej konstrukcji zwany jest w matematyce dwumianem i posiada ciekawą właściwość zwaną sprzężeniem. Liczby zespolone poddają się jego charakterystycznym właściwościom tak samo jak liczby rzeczywiste.

Przypomnijmy sobie definicję tej właściwości:

Interpretacja geometryczna liczby zespolonej i liczba do niej sprzężonej

Definicja z pozoru całkiem zagmatwana. Rzeczy najprostsze chyba jest najtrudniej opisać. Kiedy bowiem sobie wszystko rozpiszemy - zabieg wydaje się trywialny.

Sprzężeniem dwumianu rzeczywistego , jest również dwumian rzeczywisty . Jeżeli za y podstawilibyśmy liczbę urojoną, to sprzężenie takie byłoby sprzężeniem liczby zespolonej. Wystarczy tylko spojrzeć na jej postać algebraiczną.

Sprzężenie liczby w matematyce oznacza się na dwa sposoby, albo przez oznaczenie liczby poziomą linią na górze , albo czasami przez oznaczenie liczby tzw. operatorem gwiazdki: .

.

Spoglądając na wykres, liczba sprzężona do liczby zespolonej jest jej odbiciem w symetrii względem osi rzeczywistej Re.

Właściwości sprzężenia[edytuj]

Sprzężenie dwóch liczb rzeczywistych dawało bardzo przydatną właściwość, znaną ze wzorów skróconego mnożenia. Podobnie jest z liczbami zespolonymi:

  1. Iloczyn liczby zespolonej i liczby do niej sprzężonej :
    ,
  2. Sprzężenie liczby sprzężonej:
    ,
  3. Sprzężenie sumy jest sumą sprzężeń:
    ,
  4. Sprzężenie różnicy jest różnicą sprzężeń:
    ,
  5. Sprzężenie iloczynu jest iloczynem sprzężeń:
    ,
  6. Sprzężenie ilorazu jest ilorazem sprzężeń:
    , zakładając że ,
  7. Suma liczby zespolonej i liczby do niej sprzężonej :
  8. Różnica liczby zespolonej i liczby do niej sprzężonej :
  9. Część rzeczywista sprzężenia:
    ,
  10. Część urojona sprzężenia:
    ,

Następny rozdział: Moduł liczby Poprzedni rozdział: Postać algebraiczna

Podręcznik: Liczby zespolone