Liczby zespolone/Sprzężenie liczby

Sprzężenie liczby zespolonej

Jakby nie patrzeć, z matematycznego punktu widzenia liczby zespolone są sumą dwóch jednomianów. Element o podwójnej konstrukcji zwany jest w matematyce dwumianem i posiada ciekawą właściwość zwaną sprzężeniem. Liczby zespolone poddają się jego charakterystycznym właściwościom tak samo jak liczby rzeczywiste.

Przypomnijmy sobie definicję tej właściwości:

Interpretacja geometryczna liczby zespolonej i liczba do niej sprzężonej

Definicja z pozoru całkiem zagmatwana. Rzeczy najprostsze chyba jest najtrudniej opisać. Kiedy bowiem sobie wszystko rozpiszemy - zabieg wydaje się trywialny.

Sprzężeniem dwumianu rzeczywistego $x+y$, jest również dwumian rzeczywisty $x-y$. Jeżeli za y podstawilibyśmy liczbę urojoną, to sprzężenie takie byłoby sprzężeniem liczby zespolonej. Wystarczy tylko spojrzeć na jej postać algebraiczną.

Sprzężenie liczby w matematyce oznacza się na dwa sposoby, albo przez oznaczenie liczby poziomą linią na górze ${\overline {z}}\!$, albo czasami przez oznaczenie liczby tzw. operatorem gwiazdki: $z^{*}$.

.

Spoglądając na wykres, liczba sprzężona do liczby zespolonej jest jej odbiciem w symetrii względem osi rzeczywistej Re.

Właściwości sprzężenia

Sprzężenie dwóch liczb rzeczywistych dawało bardzo przydatną właściwość, znaną ze wzorów skróconego mnożenia. Podobnie jest z liczbami zespolonymi:

1. Iloczyn liczby zespolonej $z\!$ i liczby do niej sprzężonej ${\overline {z}}\!$:

   $z\cdot {\overline {z}}=(a+ib)\cdot (a-ib)=a^{2}-(ib)^{2}=a^{2}+b^{2}\!$,

2. Sprzężenie liczby sprzężonej:

   ${\overline {({\overline {z}})}}=z\!$,

3. Sprzężenie sumy jest sumą sprzężeń:

   ${\overline {z_{1}+z_{2}}}={\overline {z_{1}}}+{\overline {z_{2}}}\!$,

4. Sprzężenie różnicy jest różnicą sprzężeń:

   ${\overline {z_{1}-z_{2}}}={\overline {z_{1}}}-{\overline {z_{2}}}\!$,

5. Sprzężenie iloczynu jest iloczynem sprzężeń:

   ${\overline {z_{1}\cdot z_{2}}}={\overline {z_{1}}}\cdot {\overline {z_{2}}}\!$,

6. Sprzężenie ilorazu jest ilorazem sprzężeń:

   ${\overline {\left({\frac {z_{1}}{z_{2}}}\right)}}={\frac {\overline {z_{1}}}{\overline {z_{2}}}}\!$, zakładając że $z_{2}\neq 0$,

7. Suma liczby zespolonej $z\!$ i liczby do niej sprzężonej ${\overline {z}}\!$:

   $z+{\overline {z}}=2a=2\operatorname {Re} (z)\!$

8. Różnica liczby zespolonej $z\!$ i liczby do niej sprzężonej ${\overline {z}}\!$:

   $z-{\overline {z}}=2ib=2i\operatorname {Im} (z)\!$

9. Część rzeczywista sprzężenia:

   $\operatorname {Re} ({\overline {z}})=\operatorname {Re} (z)$,

10. Część urojona sprzężenia:

    $\operatorname {Im} ({\overline {z}})=-\operatorname {Im} (z)$,