Liczby zespolone/Postać trygonometryczna
Postać trygonometryczna
[edytuj]Leonhard Euler bardzo zainteresował się pracami Wessela, Gaussa i Arganda. Pozwoliły one bowiem na proste przyswojenie sobie poglądu na liczby zespolone - i potraktowanie ich jako liczb faktycznie istniejących w matematyce.
Dysponując znajomością biegunowego sposobu zapisu liczb zespolonych, na pewno rzucą nam się w oczy pewne zależności, pozwalające zapisać poszczególne części liczby zespolonej jako złożenie funkcji trygonometrycznych. Wystarczy tylko ponownie przyjrzeć się wzorom Argranda z poprzedniego działu. W końcu sam argument liczby zespolonej opisany jest funkcją tangensa.
Zwróćmy więc uwagę, na zależności trygonometryczne trójkąta prostokątnego - skoro w ogólnym przypadku funkcja tangens jest złożeniem funkcji sinus i cosinus, postaci: to warto zbadać wartości tych funkcji dla liczb zespolonych. Zobaczmy więc, z definicji funkcji trygonometrycznych trójkąta prostokątnego, co otrzymamy:
- cosinus kąta ostrego to stosunek długości przyprostokątnej przyległej do kąta, do przeciwprostokątnej
- sinus kąta ostrego to stosunek długości przyprostokątnej przeciwległej do kąta, do przeciwprostokątnej
Dociekliwi zauważą, że w tych równaniach możemy znaleźć trygonometryczny opis dla wartości realnej jak i wyimaginowanej z pomocą parametrów biegunowych.
Stąd też wartość rzeczywistą liczby zespolonej opisać możemy za pomocą jej modułu i cosinusa:
Natomiast wartość urojoną liczby zespolonej opisać możemy za pomocą jej modułu i sinusa:
Podstawiając te wartości do wzoru na postać algebraiczną liczby zespolonej, określoną wzorem:
otrzymamy:
Każdą liczbę zespoloną można przedstawić w postaci trygonometrycznej:
|
Własności postaci trygonometrycznej
[edytuj]- Jeśli moduł liczby zespolonej , to sama liczba zespolona wynosi zero: oraz jej argument: .
- Dwie liczby zespolone są równe, jeśli ich moduły są równe: oraz argument jednej jest wielokrotnością drugiej, postaci: .
- Mnożenie liczb zespolonych oraz ma postać:
- Słownie przy mnożeniu liczb zespolonych ich moduły mnożymy, a argumenty dodajemy
- Dzielenie liczb zespolonych oraz ma postać:
- Słownie przy dzieleniu liczb zespolonych ich moduły dzielimy, a argumenty odejmujemy
.