Liczby zespolone/Postać trygonometryczna

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Postać trygonometryczna[edytuj]

Leonhard Euler bardzo zainteresował się pracami Wessela, Gaussa i Arganda. Pozwoliły one bowiem na proste przyswojenie sobie poglądu na liczby zespolone - i potraktowanie ich jako liczb faktycznie istniejących w matematyce.


Dysponując znajomością biegunowego sposobu zapisu liczb zespolonych, na pewno rzucą nam się w oczy pewne zależności, pozwalające zapisać poszczególne części liczby zespolonej jako złożenie funkcji trygonometrycznych. Wystarczy tylko ponownie przyjrzeć się wzorom Argranda z poprzedniego działu. W końcu sam argument liczby zespolonej opisany jest funkcją tangensa.

Biegunowy opis liczby zespolonej

Zwróćmy więc uwagę, na zależności trygonometryczne trójkąta prostokątnego - skoro w ogólnym przypadku funkcja tangens jest złożeniem funkcji sinus i cosinus, postaci: to warto zbadać wartości tych funkcji dla liczb zespolonych. Zobaczmy więc, z definicji funkcji trygonometrycznych trójkąta prostokątnego, co otrzymamy:

cosinus kąta ostrego to stosunek długości przyprostokątnej przyległej do kąta, do przeciwprostokątnej
sinus kąta ostrego to stosunek długości przyprostokątnej przeciwległej do kąta, do przeciwprostokątnej

Dociekliwi zauważą, że w tych równaniach możemy znaleźć trygonometryczny opis dla wartości realnej jak i wyimaginowanej z pomocą parametrów biegunowych.

Stąd też wartość rzeczywistą liczby zespolonej opisać możemy za pomocą jej modułu i cosinusa:

Natomiast wartość urojoną liczby zespolonej opisać możemy za pomocą jej modułu i sinusa:

Podstawiając te wartości do wzoru na postać algebraiczną liczby zespolonej, określoną wzorem:

otrzymamy:

Własności postaci trygonometrycznej[edytuj]

  • Jeśli moduł liczby zespolonej , to sama liczba zespolona wynosi zero: oraz jej argument: .
  • Dwie liczby zespolone są równe, jeśli ich moduły są równe: oraz argument jednej jest wielokrotnością drugiej, postaci:  .
  • Mnożenie liczb zespolonych oraz ma postać:
    Słownie przy mnożeniu liczb zespolonych ich moduły mnożymy, a argumenty dodajemy
  • Dzielenie liczb zespolonych oraz ma postać:
    Słownie przy dzieleniu liczb zespolonych ich moduły dzielimy, a argumenty odejmujemy

Następny rozdział: Postać wykładnicza Poprzedni rozdział: Argument liczby

Podręcznik: Liczby zespolone

.