Logika dla prawników/Alternatywa

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Alternatywa[edytuj]

Alternatywa (z łac. alterno = zmieniam kolejno, przemieniam; alternus = występujący na przemian), nazywana też alternatywą nierozłączną, jest oznaczana symbolem ∨ oraz spójnikiem "lub".[1] Wówczas powstaje wzór p ∨ q ("p lub q"). Odmiennie niż koniunkcja alternatywa zachodzi wówczas, gdy jeden z jej elementów jest zaprzeczeniem pozostałego lub oba elementy są prawdziwe. Inaczej mówiąc: alternatywa dwóch zdań jest prawdziwa, jeśli co najmniej jedno z nich jest prawdziwe. Zaś jeszcze inaczej: alternatywa jest wtedy fałszywa, gdy oba zdania są fałszywe. Dzieje się tak, ponieważ obydwa zdania wchodzące w skład alternatywy można rozpatrywać osobno. Tabela prawdy dla alternatywy przedstawia się więc następująco:

p q p ∨ q
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1

O ile trzy ostatnie kombinacje są oczywiste, o tyle pierwsza, w której zestawiono oba zdania fałszywe może budzić wątpliwości. Jeśli jednak zobrazujemy to przykładem, w którym występują dwie negacje, to wyjaśnimy problem. Przykładowo mamy zdanie: "Posprzątam pokój lub obejrzę film". Składa się z dwóch zdań: "Posprzątam pokój" oraz "Obejrzę film", z których każde możemy oceniać w kategorii prawdy lub fałszu.

  1. jeśli nie posprzątam pokoju ani nie obejrzę filmu, to powyższe zdanie okaże się fałszywe
  2. jeśli nie posprzątam pokoju, ale obejrzę film, to będzie prawdziwe (bo coś jednak zrobię, dokonam jakiegoś wyboru)
  3. jeśli posprzątam pokój, ale nie obejrzę filmu (to zawsze posprzątam)
  4. jeśli posprzątam pokój i zarazem obejrzę film (to zrobię obie rzeczy i moje zdanie okaże się prawdą).

Na przykładzie Kowalskiego i Nowaka sytuacja będzie wyglądać następująco: "Kowalski jest robotnikiem lub Nowak jest robotnikiem." Prawda wystąpi, jeśli jeden z nich jest robotnikiem lub obaj są robotnikami. Fałsz, gdy żaden z nich nie jest robotnikiem.

Alternatywa może być:

  • przemienna:

p ∨ q = q ∨ p

  • łączna:

p ∨ (q ∨ r) = (p ∨ q) ∨ r

Alternatywa wykluczająca[edytuj]

W logice używa się również alternatywy wykluczającej (rozłącznej) oznaczanej symbolem: ┴, ew. podkreślonej u dołu litery "v" (⊻) lub połączeniem znaku "+" i "-" jako . Zwana jest także alternatywą rozłączną lub ekskluzją. Odpowiada ona wyrażeniu: "albo ... albo ..." i dotyczy wyboru między dwoma wykluczającymi się alternatywami. Zachodzi wówczas, jeśli jedno ze zdań jest prawdziwe. Fałsz występuje wówczas, gdy oba zdania są prawdziwe lub oba są nieprawdziwe. Można ją zastosować we wzorze: p ┴ q = (p ∧ ~q) ∨ (~p ∧ q). Tablica prawdy dla alternatywy wykluczającej przedstawia się następująco:

p q p ┴ q
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0

Jako, że w zwykłym języku spójnik "lub" oznacza z reguły wybór między dwoma alternatywami z rezygnacją z jednej stąd też trudno jest uchwycić specyfikę alternatywy rozłącznej. Jeśli jednak podkreślimy, iż chodzi o wybór między wykluczającymi się alternatywami, to konstrukcja alternatywy wykluczającej staje się bardziej zrozumiała. Przykładowo rozpatrzmy zdanie: "Pojadę do Warszawy albo do Krakowa".

  1. jeśli nie pojadę ani do Warszawy ani do Krakowa, to moja wypowiedź okaże się fałszywa
  2. jeśli nie pojadę do Warszawy a pojadę do Krakowa, to moja wypowiedź będzie prawdziwa
  3. podobnie będzie prawdziwa jeśli pojadę do Warszawy, a nie pojadę do Krakowa
  4. natomiast jeśli pojadę do Warszawy i do Krakowa, to okaże się, że kłamałem.

Czasem zamiast alternatywy wykluczającej używa się negacji równoważności: ~ (p ⇔ q). Ponadto alternatywa wykluczająca z wykorzystaniem negacji jednego ze zdań: ~p ┴ q odpowiada:

  1. alternatywie wykluczającej z zaprzeczeniem drugiego ze zdań: p ┴ ~q
  2. negacji alternatywy wykluczającej: ~(p ┴ q)
  3. równoważności p ⇔ q.[2]

Zaś alternatywa wykluczająca negacji ~p ┴ ~q odpowiada alternatywie wykluczającej p ┴ q.


Przypisy

  1. Alternatywę zaznacza się także symbolem "+".
  2. www.aries.com.pl/grzegorzj/logika/zwlog2.html

Powrót do spisu treści