Matematyka dla liceum/Funkcja liniowa/Układ równań z parametrem

Układ równań z parametrem

Rozwiążmy poniższy układ równań. Musimy znaleźć x i y, dla których ten układ jest spełniony.

$\left\{{\begin{matrix}x-y=1\\x+my=5\end{matrix}}\right.$

$\left\{{\begin{matrix}y=x-1\\x+my=5\end{matrix}}\right.$

Podstawiając wyznaczony y do drugiego równania otrzymujemy:

$\left\{{\begin{matrix}y=x-1\\x+m(x-1)=5\end{matrix}}\right.$

Wyznaczmy x.

$x+m(x-1)=5$

$x+mx-m=5$

$(m+1)x=m+5$

Teraz musimy przeanalizować dwa przypadki -- gdy $m+1\neq 0$ lub gdy $m+1=0$.

1. Dla $m+1\neq 0$:

$(m+1)x=m+5\ \ /{:}\ (m+1)$

$x={\frac {m+5}{m+1}}$

Mogliśmy podzielić przez m + 1, ponieważ założyliśmy, że jest różne od 0.

Teraz wyznaczymy y.

$y=x-1={\frac {m+5}{m+1}}-1={\frac {m+5-(m+1)}{m+1}}={\frac {4}{m+1}}$.

2. Dla $m+1=0$, inaczej $m=-1$:

$(m+1)x=m+5\iff 0x=m+5\iff m=-5$.

Otrzymaliśmy sprzeczność, ponieważ założyliśmy, że $m=-1$.

Odp. $x={\frac {m+5}{m+1}}$ i $y={\frac {4}{m+1}}$.