Matematyka dla liceum/Funkcja liniowa/Układ równań z parametrem

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Układ równań z parametrem[edytuj]

Rozwiążmy poniższy układ równań. Musimy znaleźć x i y, dla których ten układ jest spełniony.


\left\{
\begin{matrix}
x - y = 1 \\
x + my = 5
\end{matrix}
\right.


\left\{
\begin{matrix}
y = x - 1 \\
x + my = 5
\end{matrix}
\right.

Podstawiając wyznaczony y do drugiego równania otrzymujemy:


\left\{
\begin{matrix}
y = x - 1 \\
x + m(x - 1) = 5
\end{matrix}
\right.

Wyznaczmy x.

 x + m(x - 1) = 5
 x + mx - m = 5
 (m + 1)x = m + 5

Teraz musimy przeanalizować dwa przypadki -- gdy  m + 1 \neq 0 lub gdy  m + 1 = 0 .

1. Dla  m + 1 \neq 0 :

 (m + 1)x = m + 5 \ \ /{:}\ (m + 1)
 x = \frac{m + 5}{m + 1}

Mogliśmy podzielić przez m + 1, ponieważ założyliśmy, że jest różne od 0.

Teraz wyznaczymy y.

 y = x - 1 = \frac{m + 5}{m + 1} - 1 = \frac{m + 5 - (m + 1)}{m + 1} = \frac{4}{m + 1} .

2. Dla  m + 1 = 0 , inaczej  m = -1 :

 (m + 1)x = m + 5 \iff 0x = m + 5 \iff m = -5.

Otrzymaliśmy sprzeczność, ponieważ założyliśmy, że m = -1.

Odp.  x = \frac{m + 5}{m + 1} i  y = \frac{4}{m + 1} .