Matematyka dla liceum/Funkcja liniowa/Układ równań z trzema niewiadomymi

Układ równań z trzema niewiadomymi

Kilka przykładów pomoże nam zrozumieć, jak rozwiązywać takie układy.

Przykład 1.

${\begin{cases}2x-2y-2z=-2&(1)\\5x+2y+3z=8&(2)\\-x+3y+4z=4&(3)\end{cases}}$

Takie układy równań możemy rozwiązać na wiele sposobów. Jednym ze sposobów jest wyznaczenie np. z któregoś równania x i podstawianie wyznaczonego x do pozostałych równań otrzymując układ równań drugiego stopnia. Na przykład z równania (1) otrzymujemy:

${\begin{aligned}2x-2y-2z&=-2\\2x&=-2+2y+2z\quad {\Big /}{:}\ 2\\x&=y+z-1\end{aligned}}$

Teraz wyznaczony x podstawiamy do (2):

$5x+2y+3z=5(y+z-1)+2y+3z=7y+8z-5$ i to ma być równe 8.

Podobnie podstawiamy do (3):

$-x+3y+4z=-(y+z-1)+3y+4z=2y+3z+1$, a to z kolei ma być równe 4.

Łącząc otrzymane dwa równania, otrzymujemy układ równań z dwoma niewiadomymi.

${\begin{cases}7y+8z-5=8\\2y+3z+1=4\end{cases}}$

Pozostaje nam tylko rozwiązać ten układ.

${\begin{cases}7y+8z-5=8\\2y+3z+1=4\end{cases}}\iff {\begin{cases}7y+8z=13\\2y+3z=3\end{cases}}$

Teraz możemy równanie górne obustronnie wymnożyć przez 2, a dolne przez 7 i otrzymamy:

${\begin{cases}14y+16z=26\\14y+21z=21\end{cases}}$

Odejmując te równania od siebie otrzymamy:

${\begin{aligned}(14-14)y+(16-21)z&=26-21\\-5z&=5\\z&=-1\end{aligned}}$

Ponieważ $2y+3z=3$, więc $y={\frac {3-3z}{2}}={\frac {3-3\cdot (-1)}{2}}=3$. Czyli wiemy już, że $y=3$ i $z=-1$ . Ponadto pamiętamy, że $x=y+z-1$, więc $x=3-1-1=1$.

Odp. $(x;y;z)=(1;3;-1)$.