Matematyka dla liceum/Logika

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Skocz do: nawigacja, szukaj

Logika

Zdanie[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

W logice zdaniem logicznym nazywamy wyrażenie oznajmujące, o którym można powiedzieć, że jest prawdziwe lub fałszywe.

Zdania z reguły oznaczamy małymi literami. Prawdę oznaczamy przez 1 a fałsz przez 0. Na przykład zdanie „Księżyc krąży wokół Ziemi” jest prawdziwe, jego wartość logiczna wynosi 1. Z kolei zdanie „Pies ma osiem łap” nie jest prawdziwe, a jego wartość logiczna wynosi 0. Zdanie może mieć niewiadomą wartość logiczną: może to być wypowiedź pewnej nieudowodnionej hipotezy. Być może nie da się w ogóle określić jego wartości logicznej.

Informacja Nie każde zdanie języka polskiego jest zdaniem w matematyce. Przykładowo „To zdanie jest fałszywe" nie jest zdaniem logicznym, gdyż nie jest ani prawdziwe, ani fałszywe - jeśli zdanie „To zdanie jest fałszywe" jest fałszywe, to prawdziwe jest zdanie „To zdanie jest prawdziwe", czyli zdanie jest zarówno prawdziwe, jak i fałszywe; podobnie gdy zdanie „To zdanie jest fałszywe" byłoby prawdziwe. W tym przypadku problemem nie jest to, że nie potrafimy określić jego wartości logicznej, lecz to że obie możliwości prowadzą do sprzeczności.

Proste zdania logiczne można łączyć w bardziej złożone. Można to osiągnąć za pomocą różnych spójników logicznych, np. „i” czy też „lub”, które mają określone symbole. Poniżej znajduje się lista podstawowych spójników.

symbol logiczny spójnik nazwa zdania złożonego
i koniunkcja
lub alternatywa
¬, ~ nieprawda, że... negacja (zaprzeczenie)
jeżeli..., to... implikacja
wtedy i tylko wtedy, gdy... równoważność

Zastanów się teraz, które z poniższych zdań może być prawdziwe?

  • „Księżyc krąży wokół Ziemi i pies ma osiem łap”.
  • „Księżyc krąży wokół Ziemi lub pies ma osiem łap”.
  • „Księżyc krąży wokół Ziemi wtedy i tylko wtedy, gdy pies ma osiem łap”.
  • „Jeśli pies ma osiem łap, to Księżyc krąży wokół Ziemi”.

Okazuje się, że tylko dwa zdania są prawdziwe – „Księżyc krąży wokół Ziemi lub pies ma osiem łap” i „Jeśli pies ma osiem łap, to Księżyc krąży wokół Ziemi”. Dlaczego? Omówimy to w następnym podrozdziale.


Spójniki logiczne

Koniunkcja[edytuj]

Zajmijmy się takim prostym, logicznym zdaniem: „Byłem w księgarni i kupiłem książkę”. Oznaczmy to zdanie jako r. Zdanie to można podzielić na dwa zdania proste:

  • „Byłem w księgarni”, które oznaczymy przez p
  • „Kupiłem książkę”, które oznaczymy przez q

Te obydwa zdania proste łączą się spójnikiem i, które w matematyce oznaczamy przez . Zdania połączone spójnikiem i nazywamy koniunkcją. Możemy przyjąć, że zdanie r jest prawdziwe jedynie wtedy, kiedy rzeczywiście byliśmy w księgarni (p = 1) i kupiliśmy książkę (q = 1). Natomiast, jeśli któreś ze zdań p i q byłoby fałszywe (czyli nie byliśmy w księgarni lub nie kupiliśmy książki), oznaczałoby to, że skłamaliśmy, czyli wartość logiczna zdania r wynosiłaby 0. W zależności od wartości logicznych p i q możemy stworzyć tabelkę prawdziwości zdania (czyli zdania r), która jest pokazana niżej. Wynika z niej, że koniunkcja jest prawdziwa jedynie wtedy, kiedy obydwa zdania p i q są prawdziwe.

p q p ∧ q
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1

W przypadku zdania „Księżyc krąży wokół Ziemi i pies ma osiem łap” pierwsza część zdania jest prawdziwa, a druga fałszywa. Zatem całe zdanie będzie fałszywe.

Alternatywa[edytuj]

Oznaczmy przez r zdanie: „Dziś rano posprzątam w pokoju lub pooglądam telewizję”. Zdanie r możemy podzielić na dwa zdania proste:

  • zdanie p: „Dziś rano posprzątam w pokoju”
  • i zdanie q: „Dziś rano pooglądam telewizję”

połączone spójnikiem lub. Jak było pokazane wcześniej w tabelce, spójnik lub oznaczamy przez . Nasze zdanie r będzie zarówno prawdziwe wtedy, kiedy zdanie p będzie prawdziwe (posprzątamy w pokoju) lub zdanie q będzie prawdziwe (pooglądamy telewizję). Ponadto nie skłamiemy, jeśli posprzątaliśmy i pooglądaliśmy telewizję (obydwa zdania p i q są prawdziwe). Tabelka przedstawiająca wartości logiczne alternatywy, w zależności od prawdziwości zdania p i q będzie wyglądać tak:

p q p ∨ q
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1

W poprzednim podrozdziale powiedzieliśmy, że zdanie złożone „Księżyc krąży wokół Ziemi lub pies ma osiem łap” jest prawdziwe. Widzimy, że zdanie p „Księżyc krąży wokół Ziemi” jest prawdziwe, a zdanie q „pies ma osiem łap” jest fałszywe, dlatego wartość logiczna zdania p ∨ q wynosi 1 ∨ 0, czyli 1. Zatem to zdanie będzie rzeczywiście prawdziwe.

Negacja[edytuj]

Zdanie „Nieprawda, że byłem dzisiaj w kinie” oznaczmy jako zdanie r. Zdanie to jest zaprzeczeniem (negacją) zdania „Byłem dzisiaj w kinie”, które oznaczymy przez p. Negację zdania p przedstawiamy jako (w zapisie odręcznym: ∼p). Jeśli zdanie p jest prawdziwe (byliśmy w kinie), to zdanie r jest fałszywe, bo skłamaliśmy, że nie byliśmy w kinie. Natomiast jeśli zdanie p jest nieprawdziwe, oznacza to, że zdanie r jest prawdziwe. Wnioski te można to przedstawić w poniższej tabelce.

p ¬ p
0 1
1 0

Implikacja[edytuj]

Oznaczmy r jako zdanie „Jeżeli będziesz grzeczny, to dostaniesz czekoladę”. Zdanie to jest implikacją. Zdanie to składa się z dwóch zdań prostych:

  • zdania p: „Będziesz grzeczny”
  • zdania q: „Dostaniesz czekoladę”

Implikację zdań oznaczamy za pomocą spójnika , a w tym przypadku przez . Pozostaje zastanowić się, kiedy zdanie r będzie prawdą, a kiedy kłamstwem. Załóżmy, że zdanie to wypowiedziała mama do swojego syna. Jeśli syn był grzeczny i dostał czekoladę, mama nie skłamała. Jeśli syn był niegrzeczny i nie dostał czekolady, mama także nie skłamała. Jeśli syn był grzeczny, a nie dostał czekolady, oznacza to, że został okłamany. Okazuje się także, że gdyby syn był niegrzeczny i także dostał czekoladę, mama by nie skłamała. Dlaczego? Ponieważ, mama nie stwierdziła, co go spotka, jeśli będzie niegrzeczny. Powiedziała jedynie, co go spotka jeśli będzie grzeczny. Dlatego też o zdaniu p mówimy, że jest warunkiem wystarczającym do tego, by zaszło q, a o q, że jest warunkiem koniecznym do tego, by zaszło p. Tabelka wartości logicznych będzie wyglądać tak:

p q p ⇒ q
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1

Powróćmy znowu do przykładu przedstawionego w poprzednim podrozdziale. Otóż było tam zdanie „jeśli pies ma osiem łap, to Księżyc krąży wokół Ziemi”. To zdanie złożone możemy podzielić na dwa proste zdania:

p: „pies ma osiem łap”,
q: „Księżyc krąży wokół Ziemi”.

Wiemy, że pierwsze p jest fałszywe, a zdanie q jest prawdziwe. Zatem wartość logiczna zdania p ⇒ q wynosi 0 ⇒ 1. Otrzymana wartość logiczna tego zdania wynosi 1. Jest to podobna sytuacja do tej, w której syn był niegrzeczny, a dostał czekoladę.

Wartość logiczną zdania można najprościej zapisać jako .

Równoważność[edytuj]

Gdyby poprzednie zdanie mama wypowiedziała tak: „Dostaniesz czekoladę jedynie wtedy, jeśli będziesz grzeczny” lub „Dostaniesz czekoladę wtedy i tylko wtedy, gdy będziesz grzeczny”, to okazałoby się, że gdyby synek był niegrzeczny, a mama i tak by mu dała czekoladę, to mama by skłamała. Spójnik logiczny „wtedy i tylko wtedy, gdy...” oznaczamy przez . Tabela równoważności będzie wyglądać tak:

p q p ⇔ q
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1

Powróćmy teraz do zdania „Księżyc krąży wokół Ziemi wtedy i tylko wtedy, gdy pies ma osiem łap”. Na pierwszy rzut oka nam coś w nim nie pasuje. Podzielmy to zdanie na dwa podzdania p i q:

p: „Księżyc krąży wokół Ziemi”
q: „pies ma osiem łap”

Wartość logiczna zdania p wynosi 1, a q wynosi 0. Ponieważ obie wartości logiczne zdań podrzędnych nie są sobie równe, więc zdanie to jest fałszywe, jego wartość logiczna wynosi 0. Jednak gdyby to zdanie brzmiało „Ziemia krąży wokół Księżyca wtedy i tylko wtedy, gdy pies ma osiem łap”, wówczas byłoby prawdziwe, ponieważ wartości logiczne obu zdań podrzędnych byłyby sobie równe i wynosiłyby 0.


Czy można tworzyć zdania, które będą zawsze prawdziwe? Oczywiście. W następnym podrozdziale dowiemy się, jak to robić, a także jak sprawdzić, czy dane zdanie jest rzeczywiście prawdziwe.


Prawa rachunku zdań

Definicja
DEFINICJA

Prawem rachunku zdań nazywamy zdanie złożone, które jest zawsze prawdziwe np. .

Rzeczywiście zdanie jest zawsze prawdziwe. Mówiąc „Byłem w kinie lub nie byłem w kinie” nie skłamiemy. Prawo rachunku zdań nazywane jest też prawem logicznym lub tautologią. Innym przykładem zdania, zawsze prawdziwego jest zdanie „jeśli nieprawdą jest, że jadłem śniadanie lub nie jadłem obiadu, to nie jadłem śniadania i jadłem obiad”.

Ale jak sprawdzić, czy dane zdanie jest prawdziwe? Możemy do tego wykorzystać metodę „zero-jedynkową”. Zacznijmy od przykładu podanego na samym początku, czyli zdania . Najlepiej utworzyć do tego odpowiednią tabelkę i analizujemy wszystkie możliwości. W przypadku prostego zdania p mamy tylko dwie możliwości, jego wartość logiczna może wynosić albo 1 albo 0; czyli w tabelce pod p wstawiamy 1 i 0 i wyliczamy wartości logiczne poszczególnych zdań, które dodaliśmy do tabelki. Należy zauważyć, że nie można wpisać 1 dla zarówno p i ¬p, gdyż prowadzi to do sprzeczności. Podobnie, pod oba zdania nie można wpisać 0, gdyż i to prowadzi do sprzeczności. Przyjrzyjmy się możliwym przykładom umieszczonym w tabelce:

p ¬p p ∨ ¬p
1 0 1
0 1 1

Zobaczmy kolejny przykład. Udowodnimy, że zdanie jest tautologią. Najpierw w pierwszej (p) i w drugiej kolumnie (q) wypisujemy wszystkie możliwości, których tym razem będzie cztery.

p q (p ⇒ q) (p ⇒ q) ∨ p
1 1 1 1
1 0 0 1
0 1 1 1
0 0 1 1

Ponieważ zdanie jest zawsze prawdziwe (pokazuje nam to ostatnia kolumna, po prawej stronie), możemy wywnioskować, że jest tautologią (czyli prawem rachunku zdań).

Teraz jako ciekawostka metoda dowodu nie wprost, dla tych co nie lubią rysować tabelek. Zaczynamy:

Pierwszym krokiem jest założenie, że zdanie nasze jest fałszem: Załóżmy, że

Z definicji alternatywy wiemy, że jest ona fałszywa gdy oba jej składniki są fałszywe, czyli

.

Stąd widzimy, że nasza implikacja jest zawsze prawdziwa, bo p jest fałszem. Zatem całe zdanie jest prawdziwe. Otrzymaliśmy sprzeczność z założeniem, czyli nasze zdanie jest tautologią.

Jak widać metoda jest szybka i może oszczędzić dużo czasu przy bardziej skomplikowanych zdaniach. Trzeba pamiętać, że jeśli nie uzyskamy sprzeczności, to otrzymaliśmy przykład kiedy zdanie jest fałszem. Zwłaszcza kiedy mamy kilka przypadków kończymy sprawdzanie pozostałych w momencie gdy w którymś z nich nie otrzymaliśmy sprzeczności.

A jak pokazać, że zdanie „jeśli nieprawdą jest, że jadłem śniadanie lub nie jadłem obiadu, to nie jadłem śniadania i jadłem obiad” jest „politycznie poprawne”, czyli zawsze prawdziwe. Nawet intuicyjnie ciężko jest zrozumieć to zdanie, więc musimy je przerobić na zapis matematyczny. Mamy dwa zdania proste:

p: jadłem śniadanie
q: jadłem obiad.

Zdanie podrzędne „nieprawdą jest, że jadłem śniadanie lub nie jadłem obiadu” zapiszemy jako:

,

a zdanie „nie jadłem śniadania i jadłem obiad” jako:

.

Czyli całe zdanie przybierze postać:

.

Teraz tworzymy tabelę dla tego „logicznego giganta” i sprawdzamy wszystkie możliwości.

p q ¬p ¬q p ∨ ¬q ¬(p ∨ ¬q) ¬p ∧ q ¬(p ∨ ¬q) ⇒ (¬p ∧ q)
1 1 0 0 1 0 0 1
1 0 0 1 1 0 0 1
0 1 1 0 0 1 1 1
0 0 1 1 1 0 0 1

A teraz metodą poznaną wcześniej, o wiele krócej:

Załóżmy, że Z definicji wiemy, że implikacja jest fałszywa w jednym przypadku: . Zatem nasza implikacja jest fałszywa gdy:

Zajmijmy się lewą stroną implikacji.

Stąd

Alternatywa jest fałszem, gdy obydwa jej składniki są fałszywe, czyli , czyli q jest prawdą. Skoro znamy już p i q. Popatrzmy teraz na prawą stronę implikacji.

Podstawiamy nasze p i q

Otrzymaliśmy sprzeczność z założeniem, czyli nasze zdanie jest zawsze prawdziwe.

No dobra, ale jak najłatwiej wypisać wszystkie możliwości, gdy zdanie składa się z wielu zmiennych np. z trzech p, q, r. Zobaczmy najpierw, jakby wyglądał początek takiej tabelki.

p q r ...
1 1 1 ...
1 1 0 ...
1 0 1 ...
1 0 0 ...
0 1 1 ...
0 1 0 ...
0 0 1 ...
0 0 0 ...

Widzimy, że mamy możliwości. Teraz jak je wypisać? Hmm... na samej górze mamy same jedynki, pod kolumną r mamy od góry 1, 0, 1, 0, 1 itp., czyli wartości co chwilę zmieniają, pod kolumną q wartości się zmieniają co dwa, a pod kolumną p co cztery. Czyli już mamy sposób:

  • na samej górze dajemy same jedynki,
  • pod trzecią kolumną (r) zmieniamy wartości co jeden,
  • pod drugą kolumną (q) zmieniamy wartości co dwa,
  • pod pierwszą kolumną (p) zmieniamy wartości co cztery.

Sytuacja dla czterech, pięciu, czy sześciu zmiennych będzie bardzo podobna, tylko gdzieniegdzie będzie trzeba zmieniać wartość co osiem, co szesnaście itp.

Czy zdanie jest tautologią? Sprawdźmy.

p q r ¬p ¬q ¬r p ∧ q ∧ r ¬(p ∧ q ∧ r) ¬p ∨ ¬q ∨ ¬r ¬(p ∧ q ∧ r) ⇔ (¬p ∨ ¬q ∨ ¬r)
1 1 1 0 0 0 1 0 0 1
1 1 0 0 0 1 0 1 1 1
1 0 1 0 1 0 0 1 1 1
1 0 0 0 1 1 0 1 1 1
0 1 1 1 0 0 0 1 1 1
0 1 0 1 0 1 0 1 1 1
0 0 1 1 1 0 0 1 1 1
0 0 0 1 1 1 0 1 1 1

Ponieważ zdanie to ma zawsze wartość logiczną równą 1, więc jest prawem rachunku zdań.

A teraz szybszą metodą bez robienia tabelek. Załóżmy, że

Z definicji równoważności, są dwa przypadki kiedy jest fałszywa. Zatem musimy rozpatrzyć je obydwa. Pierwszy przypadek:

Zajmiemy się

Sprawdzamy

Otrzymaliśmy sprzeczność, więc w tym przypadku zdanie jest prawdą.

Drugi przypadek:

Zajmijmy się:

Sprawdzamy

Zatem sprzeczność z założeniem, więc i w tym przypadku zdanie jest prawdziwe. A skoro w obydwu przypadkach zdanie jest prawdziwe, to jest to tautologia.

Prawa De Morgana[edytuj]

Na koniec przedstawimy prawa De Morgana dotyczące zaprzeczeń zdań złożonych:

  • I prawo De Morgana:
    (Zaprzeczenie alternatywy dwóch zdań jest równoważne koniunkcji zaprzeczeń tych zdań)
  • II prawo De Morgana:
    (Zaprzeczenie koniunkcji dwóch zdań jest równoważne alternatywie zaprzeczeń tych zdań)

Prawa te są oczywiście tautologiami. W ćwiczeniu 9 zostaniesz poproszony o udowodnienie tych praw.

Jak napisać zdanie „każdy pies ma cztery łapy” lub „są ludzie, którzy nie umieją liczyć”? W następnym podrozdziale dowiemy się, jak pisać zdania takiego typu, czyli zdania odnoszące się do własności pewnego zbioru. Dowiemy się, co oznacza tajemnicze słowo „kwantyfikator”...


Kwantyfikatory

Kwantyfikatory umożliwiają zapisanie długich zdań w krótszej formie. Na przykład zdanie „kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest większy bądź równy 0” możemy zapisać krócej . Podobnie zdanie „sześcian każdej liczby całkowitej dodatniej jest większy od 0”, możemy zapisać (zbiór liczb całkowitych dodatnich oznaczamy przez . Zdanie to przeczytamy „dla każdego x należącego do liczb całkowitych dodatnich, sześcian tej liczby jest większy od 0”. Podamy teraz formalną definicję.

Definicja
DEFINICJA

Kwantyfikator ogólny oznaczamy przez , mówi on, że dane stwierdzenie jest prawdziwe dla każdego x. Nazywany jest także kwantyfikatorem dużym lub kwantyfikatorem uniwersalnym.

Powróćmy teraz do pytania przedstawionego w poprzednim podrozdziale: jak zapisać za pomocą symboli matematycznych zdanie „każdy pies ma cztery łapy”? Jeśli zbiór wszystkich psów oznaczymy przez ZP, a liczbę łap psa p oznaczymy przez , wówczas możemy napisać:

.

Zdanie to przeczytamy tak: „dla każdego psa p należącego do zbioru wszystkich psów ZP liczba łap wynosi 4” lub bardziej po polsku „każdy pies ma cztery łapy”.

Czasami dane zdanie nie spełniają wszystkie liczby, lecz zaledwie jedna liczba np. istnieje liczba rzeczywista, której kwadrat wynosi 0. Jest to tylko jedna liczba -- samo 0. Tak więc zdanie „istnieje liczba rzeczywista, której kwadrat wynosi 0” możemy zapisać za pomocą pewnego kwantyfikatora: . Zdanie to przeczytamy „istnieje taka liczba x należąca do liczb rzeczywistych, że kwadrat tej liczby wynosi 0”. Kwantyfikator ten (łatwo zauważyć, że został zapisany jako nazywany jest kwantyfikatorem szczegółowym.

Definicja
DEFINICJA

Kwantyfikator szczegółowy oznaczamy przez , mówi on, że istnieje takie x, dla którego dane stwierdzenie jest prawdziwe. Nazywany jest także kwantyfikatorem małym lub kwantyfikatorem egzystencjalnym.

Innymi przykładami do których można zastosować kwantyfikator szczegółowy mogą być zdania:

  • Istnieje liczba rzeczywista, która jest mniejsza od 10.
  • Istnieje liczba całkowita, dodatnia, która jest podzielna przez 5.
  • Istnieje liczba rzeczywista większa od 0.

A jak można napisać, że „są ludzie, którzy nie umieją liczyć”? Oznaczmy zbiór wszystkich ludzi jako L i zdanie q(l), jako zdanie mówiące, że człowiek l umie liczyć. Teraz możemy napisać:

,

co przeczytamy nie uwzględniając kontekstu: „istnieje taki element l należący do zbioru L, że zdanie q(l), nie jest prawdziwe”. Z kolei patrząc na kontekst możemy przeczytać: „istnieje taki człowiek l należący do zbioru wszystkich ludzi L, że człowiek ten nie umie liczyć” lub krócej „istnieją ludzie, którzy nie umieją liczyć”.

Ciekawostka
Czy wiesz, że...

Dosyć często kwantyfikator ogólny w polskich podręcznikach (w szczególności dla liceum) jest oznaczany przez („dla każdego x...”), a kwantyfikator szczegółowy przez („istnieje takie x, że...”). Jednak te oznaczenia nie są stosowane w większości współczesnych książek. Natomiast używane przez nas oznaczenia kwantyfikatorów są międzynarodowe i pochodzą z języka angielskiego. pochodzi od All (wszystkie), od Exists (istnieje).


Podsumowanie

Zdanie 
W matematyce zdanie jest rozumiane jako wyrażenie, o którym można powiedzieć, że jest prawdziwe lub fałszywe.
Koniunkcja 
Jest to zdanie złożone połączone spójnikiem „i”. Koniunkcję zdań p i q oznaczamy jako , a będzie ono prawdziwe jedynie wtedy, gdy p i q są prawdziwe.
Alternatywa 
Alternatywa to zdanie połączone spójnikiem „lub”. Alternatywę zdań p i q jest oznaczana przez i jest prawdziwa, gdy któreś ze zdań p i q jest prawdziwe.
Negacja 
Negacja to inaczej zaprzeczenie zdania. Zaprzeczenie zdania p oznaczamy przez , choć można spotkać także zapis , a jest prawdziwe jedynie wtedy, gdy zdanie p jest fałszywe.
Implikacja 
Implikacja jest to zdanie złożone połączone spójnikiem „jeżeli..., to...”. Implikację zdań p i q oznaczamy . Jest ona fałszywa, gdy zdanie p jest prawdziwe, a q fałszywe.
Równoważność 
Równoważność jest to zdanie złożone połączone spójnikiem „... wtedy i tylko wtedy, gdy ...”. Równoważność zdań p i q oznaczamy przez . Jest ona prawdziwa, jedynie wtedy, gdy zdanie p i q mają tę samą wartość logiczną.
Tautologia 
Tautologia to inaczej zdanie złożone, które jest zawsze prawdziwe. Aby sprawdzić, czy dane zdanie jest tautologią, należy sprawdzić wszystkie możliwości. Jednymi z praw rachunku zdań są między innymi prawa De Morgana:
  • (I prawo De Morgana)
  • (II prawo De Morgana).


Kwantyfikatory 
Kwantyfikatory umożliwiają zapisanie pewnych zdań w krótszej formie. Do kwantyfikatorów zaliczamy kwantyfikator ogólny, który zapisujemy przez:
,
a który oznacza, że dla każdego x należącego do zbioru X zdanie p(x) jest prawdziwe.
Istnieje także kwantyfikator szczegółowy, który oznaczamy przez:
i który oznacza, że istnieje takie x w zbiorze X, że zdanie p(x) jest prawdziwe.
W Polsce można spotkać także oznaczenie kwantyfikatora ogólnego jako , a jako kwantyfikator szczegółowy.


Zadania z rozwiązaniami

Zadania[edytuj]

Zad.1
Przypisz zdaniom wartość 1 (prawda) lub 0 (fałsz).
a) 15 jest liczbą pierwszą
b) -3 jest liczbą naturalną
c) jest liczbą niewymierną
d) Warszawa jest stolicą Chin
e) jest liczbą całkowitą
f) Sześciokąt foremny ma 10 przekątnych
g) Słońce jest gwiazdą

Zad.2
Podaj zaprzeczenia zdań.
a) 4>3
b) 11=11
c)
d) 8451 jest liczbą podzielną przez 3
e)
f) Warszawa jest stolicą Chin.
g) 7 jest liczbą nieujemną.

Zad.3
Uzupełnij tabelę negacji.

p -
- 1
- -

Zad.4 Które z podanych zdań mają sens logiczny?
a) 2=2
b) Polska jest krajem europejskim.
c) 6 jest małą liczbą.
d) 11-2
e) 11-2=9
f) Każdy równoległobok jest prostokątem.
g) 13 to pechowa liczba.
h) -1>-2

Zad.5
Oceń wartość logiczną zdań.
a) 15 jest liczbą pierwszą i Ziemia jest planetą.
b) Kwadrat jest prostokątem i suma dwóch pierwszych liczb pierwszych to 3.
c) jest liczbą pierwszą i 5 jest liczbą nieujemną.


Rozwiązania
Zad.1
a - 0
b - 0
c - 1
d - 0
e - 1
f - 0
g - 1

Zad.2
a -
b - 1111
c -
d - 8451 nie jest liczbą podzielną przez 3
e -
f - Warszawa nie jest stolicą Chin.
g - 7 jest liczbą ujemną (lub: 7 nie jest liczbą nieujemną).

Zad.3

p ¬ p
0 1
1 0

Zad.4
Zdania: a,b,e,f,h są zdaniami o sensie logicznym. Zdania: c,d,g nie mają sensu logicznego.

Zad.5
W każdym z trzech zdań znajduje się spójnik i. Zauważmy, że spójnik i występuje w koniunkcji, więc bazujemy na tabeli koniunkcji zdań.
a) p - 15 jest liczbą pierwszą, q - Ziemia jest planetą. Zdanie p jest fałszem, zaś zdanie q jest prawdą, czyli p - 0 q - 1. Teraz odczytujemy z tabeli wartości i już wiemy, że zdanie '15 jest liczbą złożoną i Ziemia jest planetą' jest fałszywe.
b) p - Kwadrat jest prostokątem, q - Suma dwóch pierwszych liczb pierwszych to 3. p - 1 q - 0. Zdanie: 'Kwadrat jest prostokątem i suma dwóch pierwszych liczb pierwszych to 3' jest fałszywe.
c) p - jest liczbą pierwszą, q - 5 jest liczbą nieujemną. p - 1 q - 1. Zdanie: jest liczbą pierwszą i 5 jest liczbą nieujemną jest prawdziwe.


Ćwiczenia

Rozgrzewka[edytuj]

1. Podaj trzy przykłady zdań, których wartość logiczna wynosi 0 i trzy zdania, których wartość logiczna wynosi 1.

2. Dane są zdania:

p: Pada deszcz
q:Janek gra na gitarze
r: Mama Janka ogląda polskie seriale
s: Ojciec Janka czyta gazetę
Zapisz zdania:
a) s=>p
b) r=>q
c) p=>r
d) q=>p


3. Które z poniższych wyrażeń jest zdaniem logicznym?

a) Jestem w sklepie. d) Krowa pije wodę.
b) Stać na rękach. e) Nie palić!
c) Jak długo szedłeś do sklepu? f) W Polsce nie ma żółwi.

4. Jak myślisz, czy poprawny jest zapis:

  • ,
  • ,
  • ?

5. Wypisz wszystkie szesnaście możliwości przypisania wartości logicznych zdaniom p, q, r, s.

Podstawy[edytuj]

6. Oceń wartość logiczną zdań:

a) W sklepie spożywczym można kupić chleb. d) Liczba 6 jest dzielnikiem liczby 24.
b) lub . e) Dzielenie przez zero jest niewykonalne i zero nie jest równe zeru.
c) wtedy i tylko wtedy, gdy . f) Jeśli 10 jest liczbą dodatnią, to 5 jest liczbą ujemną.

7. Dane są zdania:

p: w logice 1 oznacza fałsz
q: liczba 25 dzieli się przez 5

Oceń wartość logiczną:

a) b) c) d)

8. Oceń wartość logiczną:

a) d)
b) e)
c) f)

9. Udowodnij I prawo De Morgana i II prawo De Morgana.

10. Pokaż, że zdanie ma taką samą wartość logiczną, co zdanie dla dowolnych wartości logicznych zdań p i q.

11. Sprawdź, czy poniższe zdania są tautologiami:

a) d)
b) e)
c) f)

12. Jurek powiedział takie mądre zdania:

„jeśli mam kanapkę lub ty ją masz, to ja mam kanapkę i ty masz lub ja nie mam kanapki, a ty ją masz”.

Kiedy Jurek skłamie?

13. Które zdanie jest prawdziwe, które fałszywe, a które nie jest zdaniem.

a) d)
b) e)
c) f)