Matematyka dla liceum/Planimetria/Twierdzenie Talesa

Według legendy, starożytny mędrzec Tales z Miletu potrafił za pomocą cienia wyznaczyć wysokość piramid i drzew.

Tales z Miletu (ok.640-546 p.n.e) jest uważany za jednego z siedmiu najwybitniejszych mędrców starożytnych. Był nie tylko filozofem, ale także matematykiem i astronomem. Oprócz twierdzenia omawianego w tym rozdziale odkrył także, że kąt wpisany oparty na średnicy okręgu jest kątem prostym. W wielu krajach właśnie to twierdzenie nazywane jest twierdzeniem Talesa.

Twierdzenie
Jeżeli ramiona kąta przetniemy prostymi równoległymi to odcinki wyznaczone przez te proste na jednym ramieniu kąta są proporcjonalne do odpowiednich odcinków na drugim ramieniu kąta.

Dla kąta z wierzchołkiem w punkcie A, jak na rysunku, zachodzi zaleźność:

${\frac {|AD|}{|AE|}}={\frac {|DB|}{|EC|}}={\frac {|AB|}{|AC|}}$

Po drobnym przekształceniu otrzymujemy:

${\frac {|AE|}{|EC|}}={\frac {|AD|}{|DB|}}$ oraz ${\frac {|AE|}{|AC|}}={\frac {|AD|}{|AB|}}$ a także ${\frac {|AC|}{|EC|}}={\frac {|AB|}{|DB|}}$.

Często spotykaną nieścisłością jest formułowanie twierdzenia Talesa w postaci twierdzenia: ${\frac {|AD|}{|DE|}}={\frac {|AB|}{|BC|}}$, ta równość jest oczywiście prawdziwa, ale wynika z podobieństwa trójkątów ADE i ABC a nie z samego twierdzenia Talesa.

Czy legenda była prawdziwa?

Przyjmijmy więc sytuację ciepłego, bezchmurnego dnia. Egipcjanie mają wyciąć drzewo do konstrukcji łodzi. Jednak nikt nie pokwapi się ścinać drzew by potem sprawdzić czy są wystarczająco długie by zrobić z nich odpowiednie deski, brakuje też odważnych by wdrapać się na wierzchołek. Jednak wiemy przecież, że Słońce jest daleko od ziemi, dlatego równie szybko jak Tales możemy stwierdzić, iż traktuje ono wszystkie przedmioty jednakowo: czyli przyjąć można, że promienie słoneczne biegną równolegle, a co za tym idzie - padają na przedmioty pod tym samym kątem. Z pomocą twierdzenia Talesa możemy zmierzyć rzeczy duże przy pomocy rzeczy małych. Nie zapomnijmy bowiem, że starożytni nie mieli ujednoliconej jednostki miary - wg pomiarów wysokość piramidy Cheopsa wynosiła np. ponad 80 talesów (Tales w pomiarach często używał siebie jako "mniejszego przedmiotu"). Biorąc krótki przedmiot, np. kij o znanej długości "A", stawiamy go pionowo i mierzymy jego cień "B", oraz cień "C" rzucany przez drzewo. Z twierdzenia szybko ustalimy iż wysokość drzewa "D" określa wzór:

${D}={\frac {A}{B}}\cdot {C}$

Możemy też uprościć sobie zadanie - jak Tales, i doczekać chwili, w której jego cień "B" będzie równy jego wysokości. Zgodnie z twierdzeniem Talesa w tym samym czasie cień "C" drzewa będzie równy jego wysokości "D". Według tego rozumowania wystarczyło tylko, właśnie w tym momencie, zmierzyć długość cienia na odcinku "C" by poznać wysokość drzewa.