Matematyka dla liceum/Rachunek prawdopodobieństwa/Prawdopodobieństwo całkowite

W teorii prawdopodobieństwa reguła całkowitego prawdopodobieństwa jest pojęciem używanym do znalezienia prawdopodobieństwa zdarzenia A poprzez zsumowanie wszystkich możliwych sposobów, w jakie A może wystąpić, biorąc pod uwagę prawdopodobieństwo wystąpienia każdego z tych sposobów.

Reguła całkowitego prawdopodobieństwa mówi, że jeśli mamy podział (rozłączny i wyczerpujący zbiór zdarzeń) B1, B2, ..., Bn przestrzeni próbki, to prawdopodobieństwo zdarzenia A wyraża się wzorem:

P(A) = P(A | B1) * P(B1) + P(A | B2) * P(B2) + ... + P(A | Bn) * P(Bn)

gdzie P(A | Bi) jest prawdopodobieństwem warunkowym A danego Bi, a P(Bi) jest prawdopodobieństwem zdarzenia Bi.

Innymi słowy, aby obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia A, możemy zsumować wszystkie prawdopodobieństwa A przy danym każdym możliwym zdarzeniu w podziale, ważone prawdopodobieństwem wystąpienia każdego z tych zdarzeń.

Reguła całkowitego prawdopodobieństwa jest często stosowana w praktycznych zastosowaniach, w których prawdopodobieństwo zdarzenia nie jest znane bezpośrednio, ale można je wyrazić za pomocą innych znanych prawdopodobieństw. Na przykład, jeśli chcemy obliczyć prawdopodobieństwo zachorowania osoby, możemy nie znać tego prawdopodobieństwa bezpośrednio, ale możemy znać prawdopodobieństwo wystąpienia pewnych objawów oraz warunkowe prawdopodobieństwo wystąpienia choroby z tymi objawami. Korzystając z reguły całkowitego prawdopodobieństwa, możemy obliczyć prawdopodobieństwo wystąpienia choroby na podstawie prawdopodobieństwa wystąpienia każdego zestawu objawów.

Reguła całkowitego prawdopodobieństwa jest ściśle powiązana z twierdzeniem Bayesa, które umożliwia aktualizację prawdopodobieństw zdarzeń na podstawie nowych informacji.