Matematyka dla liceum/Funkcja kwadratowa/Wiadomości wstępne

Wiadomości wstępne

Co to jest funkcja kwadratowa? Czasem do opisu liczbowego nie wystarcza nam funkcja liniowa - np. gdy chcemy opisać pole powierzchni pewnego kwadratu, będzie ono wyrażone wzorem x². Druga potęga iksa znajduje się właśnie we wzorze funkcji kwadratowej.

funkcja kwadratowa, trójmian kwadratowy

DEFINICJA Funkcję określoną wzorem $f(x)=ax^{2}+bx+c\$, gdzie $a,b,c,x\in \mathbb {R} {\mbox{ i }}a\neq 0$ nazywamy funkcją kwadratową.

Wyrażenie $ax^{2}+bx+c\$, gdzie $a\neq 0$, jest nazywane trójmianem kwadratowym.

Przykłady

• $f(x)=x^{2}+6x+5\ \quad -$ tutaj: $a=1,\;b=6,\;c=5\$
• $f(x)=x^{2}+3x-5\ \quad -$ tutaj: $a=1,\;b=3,\;c=-5\$

• $f(x)=-x^{2}+4\ \quad -$ teraz: $a=-1,\;b=0,\;c=4\$
• $f(x)=x^{2}\ \quad -$ wreszcie tutaj: $a=1,\;b=0,\;c=0\$.

Przykład 'z treścią':

Powierzchnia pewnego lokalu ma kształt kwadratu, cena za 1m² wynosi 7zł, dodatkowo do ceny należy doliczyć opłatę 150zł. Zapisz wzór na cenę lokalu, jeżeli długość boku kwadratu wynosi x.

Odp: Cenę y można obliczyć ze wzoru:  $y=7\cdot x^{2}+150\,$.

Wykres funkcji kwadratowej

wykres funkcji kwadratowej

Wykresem funkcji kwadratowej jest linia nazywana parabolą. Poniżej wykres funkcji $f(x)=x^{2}$

Wyróżnik trójmianu kwadratowego (delta)

wyróżnik trójmianu kwadratowego (delta), delta

Charakterystyczną cechą wyróżnika jest to, że jego wartość określa, czy funkcja przecina oś OX - a jeśli przecina, to w ilu miejscach (1 lub 2). Stosowany jest więc głównie przy znajdowaniu miejsc zerowych.

• oznacza się symbolem greckiej litery alfabetu $\Delta$ (Delta)
• oblicza się go ze wzoru: $\Delta ~=b^{2}-4ac$