Matematyka dla liceum/Wielomiany/Równości i nierówności wielomianowe z parametrem

Podczas pracy z nierównościami i równościami wielomianowymi, które obejmują parametr, istnieje kilka dodatkowych kroków, które można wykonać, aby znaleźć rozwiązanie:

Traktuj parametr jako stałą i rozwiąż nierówność lub równość w normalny sposób. To da ci wyrażenie lub zakres wyrażeń dla zmiennej pod względem parametru.

Sprawdź wyrażenie lub zakres wyrażeń znalezione w kroku 1 i poszukaj krytycznych punktów lub wartości parametru, które powodują zmianę wyrażenia. Na przykład, jeśli wyrażenie obejmuje pierwiastek kwadratowy, a parametr jest w pierwiastku, należy szukać wartości parametru, które sprawiają, że pierwiastek jest ujemny.

Podziel zakres parametrów na przedziały na podstawie punktów krytycznych znalezionych w kroku 2. Dla każdego przedziału określ, czy wyrażenie jest dodatnie, ujemne czy zerowe.

Połącz przedziały, w których wyrażenie jest dodatnie lub zerowe, aby znaleźć rozwiązanie.

Sprawdź swoje rozwiązanie, podstawiając wartości parametru mieszczące się w każdym przedziale i sprawdzając, czy wyrażenie spełnia nierówność lub równość.

Rozważmy na przykład nierówność (x-2)(x+3)(x+a) < 0, gdzie a jest parametrem.

Jeśli traktujemy a jako stałą, możemy rozwiązać nierówność w następujący sposób:

(x-2)(x+3)(x+a) < 0 (x-2) ma pierwiastek w punkcie x=2 (x+3) ma pierwiastek w punkcie x=-3 (x+a) ma pierwiastek w punkcie x=-a Więc rozwiązaniem jest (-∞,-a) U (-3,2).

Wyrażenie zmienia znak na -a, -3 i 2.

Możemy podzielić zakres parametrów na cztery przedziały:

a < -3 -3 < a < 2 2 <a a jest pierwiastkiem wielomianu (tj. a=-3 lub a=2) Możemy wtedy określić znak wyrażenia w każdym przedziale:

a < -3: (x-2)(x+3)(x+a) jest ujemne, gdy x jest między -3 a a, dodatnie, gdy x jest mniejsze niż -3, i ujemne, gdy x jest większe niż a. Więc rozwiązaniem w tym przedziale jest (-3,a). -3 < a < 2: (x-2)(x+3)(x+a) jest ujemne, gdy x jest między -3 a a lub między 2 a a, i dodatnie, gdy x jest mniejsze niż -3 lub większe niż 2. Zatem rozwiązaniem w tym przedziale jest (-3,a) U (2,a). 2 < a: (x-2)(x+3)(x+a) jest dodatnie, gdy x jest między -3 a 2, ujemne, gdy x jest między 2 a a, i dodatnie, gdy x jest większe niż a. Zatem rozwiązaniem w tym przedziale jest (a,2). a=-3 lub a=2: Musimy sprawdzić, czy wyrażenie jest ujemne w punkcie krytycznym. Jeśli a=-3, wyrażenie jest ujemne, gdy x=2, więc rozwiązaniem jest (-3,2). Jeśli a=2, wyrażenie jest ujemne, gdy x=-3, więc rozwiązaniem jest (-3,2). Możemy sprawdzić nasze rozwiązanie, podstawiając wartości a z każdego przedziału do pierwotnej nierówności i sprawdzając, czy wyrażenie jest ujemne w odpowiednim przedziale x.