Mechanika kwantowa/Teoria atomu wodoru Sommerfelda

Teoria nierelatywistyczna atomów wodoropodobnych Sommerfelda

Model atomów wodoropodobnych Sommerfelda jest uogólnieniem modelu atomu wodoru Bohra, na orbity eliptyczne. W przestrzeni dwuwymiarowej określmy energię kinetyczną, jako sumę energii kinetycznej radialnej (zależnej od pochodnej radialnej względem czasu) i kątowej (zależnej od pochodnej współrzędnej kątowej względem czasu): Szablon:IndexWzór Energia potencjalna elektronu poruszającego się na orbicie eliptycznej w pewnym punkcie omawianego toru naszej cząstki jest napisana w zależności od odległości jądra atomowego od tego punktu: Szablon:IndexWzór Lagrangian z definicji jest różnicą energii kinetycznej i potencjalnej, na podstawie wzoru (Niedopasowany uchwyt: 3.1) (energia kinetyczna) i (Niedopasowany uchwyt: 3.2) (energia potencjalna), jest wyrażona wzorem w zależności od pierwszej pochodnej położenia radialnego i kątowego w układzie biegunowym oraz także od położenia radialnego, należy przy tym pamiętać, że energia potencjalna wspomniana powyżej nie zależy od żadnej pochodnej względem czasu, czyli od pochodnych położenia radialnego, czy to kątowego: Szablon:IndexWzór Wyznaczmy pędy uogólnione, których definicja jest znana z mechaniki klasycznej wedle Hamiltona:

1° Pęd radialny dla orbity eliptycznej jest to pochodna cząstkowa Lagrangianu względem pochodnej położenia radialnego względem czasu: Szablon:IndexWzór 2° Pęd kątowy dla tej samej orbity, co poprzednio jest wyrażony jako pochodna cząstkowa Lagrangianu względem pochodnej położenia kątowego względem czasu: Szablon:IndexWzór Postulat Sommerfelda mówi, że poszczególne całki, których funkcją podcałkową jest pęd uogólniony, ta całka jest liczona względem położeń uogólnionych (radialnej i kątowych we współrzędnych kulistych w przestrzeni lub radialnych na płaszczyźnie), czyli według równania: Szablon:IndexWzór Równanie toru we współrzędnych biegunowych na płaszczyźnie po której porusza się elektron jest równaniem położenia radialnego w układzie biegunowym względem jej położenia kątowego względem stałych k i ε, które charakteryzują naszą elipsę, ma postać: Szablon:IndexWzór Policzmy teraz pochodną położenia radialnego względem czasu wielkości wyrażoną wzorem (Niedopasowany uchwyt: 3.7), to otrzymamy wyrażenie zależne od pochodnej kątowej względem czasu i samych wielkości kątowych: Szablon:IndexWzór Wyraźmy moment pędu elektronu na orbicie eliptycznej, która jest zależna od poszukiwanej pochodnej wielkości kątowej względem czasu: Szablon:IndexWzór Ze wzoru (Niedopasowany uchwyt: 3.9) wyznaczmy wyrażenie będące pochodną wielkości kątowej względem czasu wyrażoną w zależności od momentu pędu charakteryzującego tor eliptyczny, po którym porusza się elektron, i od danej chwili położenia radialnego elektronu krążącego wokół jądra atomowego, i idąc dalej zależy ona od masy cząstki: Szablon:IndexWzór Dochodzimy więc do wniosku, że prędkość radialna (Niedopasowany uchwyt: 3.8) na podstawie już wyznaczonego wzoru (Niedopasowany uchwyt: 3.10) i po wyrażeniu pozostałych położeń radialnych, tzn. podstawiając równanie na promień orbity (Niedopasowany uchwyt: 3.7), otrzymujemy: Szablon:IndexWzór Z postulatu Sommerfelda (Niedopasowany uchwyt: 3.6) dla współrzędnej kątowej wynika, że moment pędu jest wielkością skwantowaną podobnie jak w modelu atomu wodoru Bohra, tylko tutaj mamy kątową liczbą kwantową n_θ, a w naszym poprzednim module była tylko liczba kwantowa n. Szablon:IndexWzór Wedle ostatniego wynikowego równania w (Niedopasowany uchwyt: 3.12) i po podzieleniu go przez 2π, po skorzystaniu z definicji stałej kreślonej Plancka, to dyskretny moment pędu zapisujemy: Szablon:IndexWzór

Orbity eliptyczne w przybliżonym modelu atomu wodoru Sommerfelda

Dla współrzędnej radialnej postulat Sommerfelda (Niedopasowany uchwyt: 3.6) dla pędu uogólnionego zdefiniowanego wedle (Niedopasowany uchwyt: 3.4) i po scałkowaniu go względem promienia radialnego otrzymujemy wiedząc przy poniższych obliczeniach, że $...<\epsilon ^{3}<\epsilon ^{2}<\epsilon <1\;$ (dla orbit eliptycznych w przybliżonym rozważanym tym modelu, w którym wyrazy z $\epsilon ^{3}\;$ i dalsze pomijamy), wykorzystując formułę Sommerfelda dla $i=r\;$, mamy: Szablon:IndexWzór Z definicji modelu Sommerfelda (Niedopasowany uchwyt: 3.6) zastosowaną w przypadku atomu wodoru i na podstawie całki Riemanna dla przypadku $i=r\;$, czyli (Niedopasowany uchwyt: B1), i korzystając ze wzoru na moment pędu (Niedopasowany uchwyt: 3.13) wynikający z $i=\theta \;$ z tego modelu, wtedy: Szablon:IndexWzór Czyli tutaj zachodzi na podstawie (Niedopasowany uchwyt: B2) dla orbit eliptycznych mimośrodu elipsy, tzn.: $\epsilon <1\;$: Szablon:IndexWzór Czyli tutaj widzimy na podstawie (Niedopasowany uchwyt: B22), że $n_{r}=0\;$ dla $n_{\theta }=1,2\;$ i $n_{r}\geqslant 0\;$ dla $n_{\theta }=3,4,5,...\;$, tzn. $n_{r}=0,1\;$ dla $n_{\theta }=3\;$, $n_{r}=0,1\;$ dla $n_{\theta }=4\;$, $n_{r}=0,1,2\;$ dla $n_{\theta }=5\;$, $n_{r}=0,1,2\;$ dla $n_{\theta }=6\;$, $n_{r}=0,1,2,3\;$ dla $n_{\theta }=7\;$, $n_{r}=0,1,2,3\;$ dla $n_{\theta }=8\;$, $n_{r}=0,1,2,3,4\;$ dla $n_{\theta }=9\;$, i tak dalej podobnie. Energia całkowita dla toru eliptycznego, którego wzór wyprowadziliśmy w mechanice teoretycznej, przedstawimy w zależności od liczb kwantowych n_r (a narazie najpierw go nie wykorzystamy, ale później przy dalszych podstawieniach za pomocą $\epsilon ^{2}\;$) i n_θ, który ten drugi zawiera się w równaniu zawartym podanym w (Niedopasowany uchwyt: 3.13) i go wykorzystamy przy liczeniu całkowitej energii dla cząstki krążącej po orbicie eliptycznej, ale skwantowanej, wyrażone ogólnie przez wzór, tzn.: (Niedopasowany uchwyt: 1.141), stąd: Szablon:IndexWzór Teraz podstawiamy za ε² wyrażone wzorem (Niedopasowany uchwyt: B2) do równania na energię całkowitą elektronu poruszającego po dyskretnym torze w (Niedopasowany uchwyt: 3.20) to mamy ostateczny wzór na całkowitą energię mechaniczną elektronu krążącej wokół jądra atomowego: Szablon:IndexWzór Wzór (Niedopasowany uchwyt: 3.21) jest identyczny ze wzorem (Niedopasowany uchwyt: 2.17), jeśli liczba kwantowa radialna n_r jest równa zero, a kątowa liczba kwantowa spełnia wtedy postać n=n_θ.