Mechanika kwantowa/Zjawisko Comptona

Zjawisko Comptona

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

(Rys. 4.1) Schemat zjawiska Comptona

Zjawiskiem Comptona nazywamy zmianę długości fali promieniowania rentgenowskiego podczas rozpraszania tego promieniowania przez substancję zawierające atomy lepkie.

Opiszmy foton o częstości fali ν padający na spoczywający elektron, w wyniku zderzenia fotonu z elektronem, nasz foton rozprasza się pod kątem θ względem kierunku padającego fotonu z częstością ν^', a elektron zostaje rozproszony z pędem $\overrightarrow{p}$, który porusza się z prędkością mniejszą niż prędkość światła, wtedy z zasady zachowania energii:

$h\nu +m{c}^2=h{\nu }^{\prime }+\sqrt{p^2{c}^2+m^2{c}^4}$

(4.1)

Wyznaczamy z (4.1) kwadrat pędu relatywistycznego, czyli p², w tym celu wielkość występująca po prawej stronie rozważanego wzoru związany z częstością fotonu rozproszonego przenosimy na jej lewą stroną i włączamy je pod nawias napisany względem stałej Plancka h:

$h(\nu -{\nu }^{\prime })+m{c}^2=\sqrt{p^2{c}^2+m^2{c}^4}$

(4.2)

Podnosimy obustronnie równanie (4.2) do kwadratu, bo po prawej stronie ostatniego równania występuje pierwiastek, który w wyniku tej operacji zniknie i pozostawi po sobie wyrażenie podpierwiastkowe:

${(h(\nu -{\nu }^{\prime })+m{c}^2)}^2=p^2{c}^2+m^2{c}^4\Rightarrow h^2(\nu -{\nu }^{\prime }{)}^2+m^2{c}^4+h2(\nu -{\nu }^{\prime })m{c}^2=p^2{c}^2+m^2{c}^4$

(4.3)

Redukujemy pewne wyrazy w (4.3), które są takie same po lewej i prawej stronie naszego wyrażenia, to dostajemy inne do poprzedniego równanie, ale równoważne do niego:

$h^2(\nu -\nu {)}^2+2m{c}^{2}h(\nu -{\nu }^{\prime })=p^2{c}^2$

(4.4)

Dzielimy obustronnie tożsamość (4.4) przez kwadrat prędkości fal elektromagnetycznych w próżni c²:

$h^2{\left(\frac{\nu -{\nu }^{\prime }}{c}\right)}^2+2mh(\nu -{\nu }^{\prime })=p^2$

(4.5)

Z zasady zachowania pędu pęd początkowy fotonu przed zderzeniem jest równy sumie pędu fotonu i elektronu po zderzeniu, czyli po rozproszeniu naszego fotonu:

${\overrightarrow{p}}_f=\overrightarrow{p}+{\overrightarrow{p^{\prime }}}_f$

(4.6)

Wyznaczamy z równania (4.6) wektor pędu elektronu po rozproszeniu jako różnicę pędów fotonów przed i po rozproszeniu.

$\overrightarrow{p}={\overrightarrow{p}}_f-{\overrightarrow{p^{\prime }}}_f$

(4.7)

A teraz podnosimy do kwadratu równanie (4.7), dalej będziemy wykorzystywać definicję iloczynu skalarnego dwóch wektorów, pędu fotonu przed i po zderzeniu przy kącie rozpraszania θ.

$p^2=p_f^2+p{\text{'}}_f-2p_f{p}^{\prime }cos\theta$

(4.8)

Wiemy, że wartości pędów fotonu przed i po rozproszeniu w zależności od ich częstości fali fotonów, jeśli potraktować je jako fale z teorii korpuskularno-falowej, są napisane:

$p_f=\frac{h\nu }{c}$

(4.9)

$p{\text{'}}_f=\frac{h{\nu }^{\prime }}{c}$

(4.10)

Napiszmy kwadrat pędu elektronu rozproszonego mając wartości pędów fotonów przed zderzeniem (4.9) i po zderzeniu (4.10), to wyrażenie (4.8) piszemy:

$p^2={\left(\frac{h\nu }{c}\right)}^2+{\left(\frac{h{\nu }^{\prime }}{c}\right)}^2-2\frac{h\nu }{c}\frac{h{\nu }^{\prime }}{c}\cos \theta$

(4.11)

Porównujemy wzory (4.5) (wynikającego z zasady zachowania energii) z (4.11) (wynikającego z zasady zachowania pędu), to dostajemy równanie po połączeniu tych wspomnianych tożsamości:

${\left(\frac{h\nu }{c}\right)}^2+{\left(\frac{h{\nu }^{\prime }}{c}\right)}^2-2\frac{h\nu }{c}\frac{h{\nu }^{\prime }}{c}\cos \theta =h^2{\left(\frac{\nu -{\nu }^{\prime }}{c}\right)}^2+2m(\nu -{\nu }^{\prime })$

(4.12)

Dokonujemy dalszych przekształceń w (4.12) po prawej stronie wspomnianego równania podnosząc je do kwadratu dla pierwszego składnika sumy w tym równaniu, otrzymujemy:

${\left(\frac{h\nu }{c}\right)}^2+{\left(\frac{h{\nu }^{\prime }}{c}\right)}^2-2\frac{h\nu }{c}\frac{h{\nu }^{\prime }}{c}\cos \theta ={\left(\frac{h\nu }{c}\right)}^2+{\left(\frac{h{\nu }^{\prime }}{c}\right)}^2-2\frac{h\nu }{c}\frac{h{\nu }^{\prime }}{c}+2mh(\nu -{\nu }^{\prime })$

(4.13)

Redukujemy wyrazy podobne w tożsamości (4.13), to dostajemy równoważne równanie:

$2\frac{h\nu }{c}\frac{h{\nu }^{\prime }}{c}(1-\cos \theta )=2mh(\nu -{\nu }^{\prime })$

(4.14)

Wyraźmy częstości fali fotonów przed i po rozproszeniu w zależności od długości fali fotonów według teorii korpuskularno-falowej:

$\nu =\frac{c}{\lambda }$

(4.15)

${\nu }^{\prime }=\frac{c}{{\lambda }^{\prime }}$

(4.16)

Na podstawie (4.15) (fala padająca) i (4.16) (fala rozproszona) wzór (4.14) przyjmuje postać:

$h\frac{1}{\lambda {\lambda }^{\prime }}(1-cos\theta )=m(\frac{c}{\lambda }-\frac{c}{{\lambda }^{\prime }})$

(4.17)

W wyrażeniu (4.17) po prawej stronie dokonajmy sumowania ułamków doprowadzając je do wspólnego mianownika:

$h\frac{1}{{\lambda }^{\text{'}}\lambda }(1-cos\theta )=mc\frac{{\lambda }^{\prime }-\lambda }{{\lambda }^{\text{'}}\lambda }$

(4.18)

Mnożymy obustronnie równanie (4.18) przez niezerowe λλ^', pamiętając że foton nie może posiadać zerowych długości fali przed i po rozproszeniu, bo to by odpowiadało nieskończonej energii fotonów, co jest błędne dla naszego przypadku przy założeniu skończonej energii fotonów przed i po rozproszeniu tych obiektów:

$h(1-\cos \theta )=mc({\lambda }^{\prime }-\lambda )$

(4.19)

Oznaczmy jako zmianę długości fali wiązki fotonów po i przed rozproszeniem przez wielkość Δλ wedle:

${\lambda }^{\prime }-\lambda =\mathrm{\Delta }\lambda$

(4.20)

Na podstawie wzoru na zmianę długości fali fotonu zderzającego się z elektronem napisaną według tożsamości (4.20), podstawiając go do równania (4.19), dostajemy ostateczny wzór na zmianę długości fali fotonów przed i po rozproszeniu na lekkich atomach, a w nim na elektronach, w zależności od kąta rozproszenia wiązki fotonów:

$\frac{h}{mc}(1-\cos \theta )=\mathrm{\Delta }\lambda$

(4.21)

Z definicji kątów połówkowych możemy napisać tożsamość:

${\sin }^2\frac{\theta }{2}=\frac{1-\cos \theta }{2}\Rightarrow 1-\cos \theta =2{\sin }^2\frac{\theta }{2}$

(4.22)

Stąd wzór (4.21) na zmianę długości promieniowania wiązki fotonów przy rozpraszaniu na elektronach na podstawie wzoru (4.22) możemy napisać w inny równoważny sposób:

$\mathrm{\Delta }\lambda ={\lambda }^{\prime }-\lambda =2\frac{h}{mc}{\sin }^2\frac{\theta }{2}$

(4.23)

Oznaczmy, że stałą występującą w (4.23) (bez dwójki) jako λ_C i nazwijmy ją stałą Comptona:

${\lambda }_C=\frac{h}{mc}=2,43\cdot 10^{-12}\text{ m}$

(4.24)

Wzór Comptona (4.23) na podstawie przepisu na stałą Comptona (4.24) zapisywany jest w postaci kwadratu kosinusa dla kąta połówkowego przy stałej proporcjonalności równej podwojonej stałej Comptona:

$\mathrm{\Delta }\lambda =2{\lambda }_C{\sin }^2\frac{\theta }{2}$

(4.25)

Wzór (4.25) jest wzorem wyrażającej zmianę długości fali rozproszonej względem fali padającej w zależności od kąta rozproszenia θ względem kierunku fotonu padającego na elektron, dzięki któremu nastąpiło to zderzenie.