Mechanika kwantowa/Zjawisko Comptona

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Mechanika kwantowa
Mechanika kwantowa
Zjawisko Comptona

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

(Rys. 4.1) Schemat zjawiska Comptona

Zjawiskiem Comptona nazywamy zmianę długości fali promieniowania rentgenowskiego podczas rozpraszania tego promieniowania przez substancję zawierające atomy lepkie.

Opiszmy foton o częstości fali ν padający na spoczywający elektron, w wyniku zderzenia fotonu z elektronem, nasz foton rozprasza się pod kątem θ względem kierunku padającego fotonu z częstością ν', a elektron zostaje rozproszony z pędem , który porusza się z prędkością mniejszą niż prędkość światła, wtedy z zasady zachowania energii:

(4.1)

Wyznaczamy z (4.1) kwadrat pędu relatywistycznego, czyli p2, w tym celu wielkość występująca po prawej stronie rozważanego wzoru związany z częstością fotonu rozproszonego przenosimy na jej lewą stroną i włączamy je pod nawias napisany względem stałej Plancka h:

(4.2)

Podnosimy obustronnie równanie (4.2) do kwadratu, bo po prawej stronie ostatniego równania występuje pierwiastek, który w wyniku tej operacji zniknie i pozostawi po sobie wyrażenie podpierwiastkowe:

(4.3)

Redukujemy pewne wyrazy w (4.3), które są takie same po lewej i prawej stronie naszego wyrażenia, to dostajemy inne do poprzedniego równanie, ale równoważne do niego:

(4.4)

Dzielimy obustronnie tożsamość (4.4) przez kwadrat prędkości fal elektromagnetycznych w próżni c2:

(4.5)

Z zasady zachowania pędu pęd początkowy fotonu przed zderzeniem jest równy sumie pędu fotonu i elektronu po zderzeniu, czyli po rozproszeniu naszego fotonu:

(4.6)

Wyznaczamy z równania (4.6) wektor pędu elektronu po rozproszeniu jako różnicę pędów fotonów przed i po rozproszeniu.

(4.7)

A teraz podnosimy do kwadratu równanie (4.7), dalej będziemy wykorzystywać definicję iloczynu skalarnego dwóch wektorów, pędu fotonu przed i po zderzeniu przy kącie rozpraszania θ.

(4.8)

Wiemy, że wartości pędów fotonu przed i po rozproszeniu w zależności od ich częstości fali fotonów, jeśli potraktować je jako fale z teorii korpuskularno-falowej, są napisane:

(4.9)
(4.10)

Napiszmy kwadrat pędu elektronu rozproszonego mając wartości pędów fotonów przed zderzeniem (4.9) i po zderzeniu (4.10), to wyrażenie (4.8) piszemy:

(4.11)

Porównujemy wzory (4.5) (wynikającego z zasady zachowania energii) z (4.11) (wynikającego z zasady zachowania pędu), to dostajemy równanie po połączeniu tych wspomnianych tożsamości:

(4.12)

Dokonujemy dalszych przekształceń w (4.12) po prawej stronie wspomnianego równania podnosząc je do kwadratu dla pierwszego składnika sumy w tym równaniu, otrzymujemy:

(4.13)

Redukujemy wyrazy podobne w tożsamości (4.13), to dostajemy równoważne równanie:

(4.14)

Wyraźmy częstości fali fotonów przed i po rozproszeniu w zależności od długości fali fotonów według teorii korpuskularno-falowej:

(4.15)
(4.16)

Na podstawie (4.15) (fala padająca) i (4.16) (fala rozproszona) wzór (4.14) przyjmuje postać:

(4.17)

W wyrażeniu (4.17) po prawej stronie dokonajmy sumowania ułamków doprowadzając je do wspólnego mianownika:

(4.18)

Mnożymy obustronnie równanie (4.18) przez niezerowe λλ', pamiętając że foton nie może posiadać zerowych długości fali przed i po rozproszeniu, bo to by odpowiadało nieskończonej energii fotonów, co jest błędne dla naszego przypadku przy założeniu skończonej energii fotonów przed i po rozproszeniu tych obiektów:

(4.19)

Oznaczmy jako zmianę długości fali wiązki fotonów po i przed rozproszeniem przez wielkość Δλ wedle:

(4.20)

Na podstawie wzoru na zmianę długości fali fotonu zderzającego się z elektronem napisaną według tożsamości (4.20), podstawiając go do równania (4.19), dostajemy ostateczny wzór na zmianę długości fali fotonów przed i po rozproszeniu na lekkich atomach, a w nim na elektronach, w zależności od kąta rozproszenia wiązki fotonów:

(4.21)

Z definicji kątów połówkowych możemy napisać tożsamość:

(4.22)

Stąd wzór (4.21) na zmianę długości promieniowania wiązki fotonów przy rozpraszaniu na elektronach na podstawie wzoru (4.22) możemy napisać w inny równoważny sposób:

(4.23)

Oznaczmy, że stałą występującą w (4.23) (bez dwójki) jako λC i nazwijmy ją stałą Comptona:

(4.24)

Wzór Comptona (4.23) na podstawie przepisu na stałą Comptona (4.24) zapisywany jest w postaci kwadratu kosinusa dla kąta połówkowego przy stałej proporcjonalności równej podwojonej stałej Comptona:

(4.25)

Wzór (4.25) jest wzorem wyrażającej zmianę długości fali rozproszonej względem fali padającej w zależności od kąta rozproszenia θ względem kierunku fotonu padającego na elektron, dzięki któremu nastąpiło to zderzenie.

Następny rozdział: Postulat zerowy mechaniki kwantowej Poprzedni rozdział: Teoria atomu wodoru Sommerfelda

Podręcznik: Mechanika kwantowa