Powtarzamy matematykę - matura 2010/Arkusz 1 zadanie 31

Zadanie 31 ( 6 punktów) Dwa pociągi towarowe wyjechały z miast A i B oddalonych od siebie o 540 km. Pociąg jadący z miasta A do B wyjechał o godzinę wcześniej niż pociąg jadący z miasta B do miasta A i jechał z prędkością o 9 km/h mniejszą . Pociągi te minęły się w połowie drogi. Oblicz z jakimi prędkościami jechały te pociągi.

W tym zadaniu musisz zapisać całe rozwiązanie w pracy maturalnej.

Spróbuj rozwiązać zadanie samodzielnie na kartce!
Jeśli już to zrobiłeś - porównaj z naszym rozwiązaniem lub zajmij się innym zadaniem.

Rozwiązanie

Zadanie aż za 6 punktów! Narysujmy sobie te pociągi. Musimy ułożyć jakieś równanie, które pozwoli nam obliczyć prędkości pociągów. Wprowadźmy zmienną x. x - prędkość pociągu z A x+9 - prędkość pociągu z B Wiemy, że pociąg z A jechał godzinę dłużej. W zadaniach z prędkością, drogą -musimy pamiętać o wzorach: droga=prędkość x czas czas=${\frac {droga}{predkosc}}$ prędkość=${\frac {droga}{czas}}$ Pociągi minęły się w połowie drogi, czyli przejechały po 270 km. Ostatecznie: x - prędkość pociągu z A x+9 - prędkość pociągu z B 270 - droga do momentu spotkania ${\frac {270}{x}}$ - czas jazdy pociągu z A ${\frac {270}{x+9}}$ - czas jazdy pociągu z B Pociąg z A jechał o 1 h dłużej. Mamy równanie: ${\frac {270}{x}}={\frac {270}{x+9}}+1$ Spróbuj samodzielnie rozwiązć to równanie!

Rozwiązanie c.d.

${\frac {270}{x}}={\frac {270}{x+9}}+1$ rozwiązujemy to równanie ${\frac {270}{x}}={\frac {270}{x+9}}+{\frac {x+9}{x+9}}$ zamieniliśmy 1 na ułamek ${\frac {270}{x}}={\frac {270+x+9}{x+9}}$ dodaliśmy ułamki ${\frac {270}{x}}={\frac {279+x}{x+9}}$ pomnożymy ułamki - na krzyż ${270\cdot x}+{270\cdot 9}={x\cdot 279}+{x\cdot x}$ przeniesiemy wszystko na lewą stronę ${-x^{2}-9\cdot x}+{270\cdot 9}=0$ mamy równanie kwadratowe ${-x^{2}-9\cdot x}+2430=0$ rozwiążemy równanie kwadratowe Materiał o równaniach kwadratowych

Rozwiązanie c.d.

${-x^{2}-9\cdot x}+2430=0$ rozwiążemy równanie kwadratowe $\Delta ~=81+9720=9801$ obliczamy deltę ${\sqrt {\Delta }}=99$ wyciągamy pierwiastek z delty $x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}},\;\;\;x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}$ wzory na pierwiastki $x_{1}={\frac {9+99}{-2}},\;\;\;x_{2}={\frac {9-99}{-2}}$ możemy wybrać tylko pierwiastek nieujemny $x_{1}=-54,\;\;\;x_{2}=45$ 45 to prędkość pociągu z A, -54 odrzucamy Nasze oznaczenia: x=45 - prędkość pociągu z A x+9 = 45+9 = 54 - prędkość pociągu z B Odpowiedź: Prędkość pociągu z A była 45 km/h, a pociągu z B - 54 km/h.