Statystyka matematyczna/Średnie w matematyce statystycznej

Szablon:TopPageKolumnowy Średnią w matematyce statystycznej nazywamy przepis pozwalający wyliczyć na podstawie n wyników uzyskanych w doświadczeniu, jedną ściśle określoną wartość. Ogólnym przepisem na liczenie średnich jest średnia potęgowa, z której szczególnymi przypadkami są: średnia arytmetyczna, średnia ważona, średnia geometryczna, średnia harmoniczna oraz średnia kwadratowa.

Średnia arytmetyczna

Średnia arytmetyczna liczb $a_{1},a_{2},...,a_{n}\;$, to iloraz sumy n zmiennych przez liczbę tych zmiennych. Szablon:IndexWzór Średnia arytmetyczna jest szczególnym przypadkiem średniej ważonej (Niedopasowany uchwyt: 1.4), jeśli przyjmiemy:$p_{i}={{1} \over {n}}\;$, co wynika stąd, że prawdopodobieństwo każdego zdarzenia z osobna (dzięki którym to prawdopodobieństwom chcemy policzyć średnią ważoną) jest jednakowe. Stąd wynika, że mianownik w średniej ważonej dla tego przypadku dla wszystkich n zdarzeń jest równy jeden. Po krótkich rozważaniach dochodzimy do wniosku, że dla równoprawdopodobnych zdarzeń średnia ważona przechodzi w średnią arytmetyczną. Szablon:IndexWzór

Średnia arytmetyczna jest szczególnym przypadkiem średniej potęgowej (Niedopasowany uchwyt: 1.12) gdy parametr "k" przyjmuje wartość jeden, co można udowodnić następująco: Szablon:IndexWzór

Średnia ważona

Przy założeniu, że prawdopodobieństwo uzyskania każdego z wyników $a_{i}\;$ wynosi odpowiednio:$p_{i}\;$, to średnią ważoną definiuje się jako iloraz sumy: n iloczynów prawdopodobieństwa uzyskania wyniku przez wartość uzyskaną w doświadczeniu przez sumę prawdopodobieństw uzyskania poszczególnych wyników. Szablon:IndexWzór

Gdy suma prawdopodobieństw uzyskania n wyników jest zdarzeniem pewnym, to średnia ważoną (Niedopasowany uchwyt: 1.4) można zapisać wedle schematu: Szablon:IndexWzór

Można powiedzieć, że średnia ważona jest szczególnym przypadkiem średniej arytmetycznej, jeśli prawdopodobieństwo uzyskania wszystkich wyników jest równe jeden tak jak w punkcie (Niedopasowany uchwyt: 1.5) i poszczególne wyniki w średniej arytmetycznej powtarzają się, co pozwala wyliczyć jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania powtarzających się poszczególnych wyników, lub gdy wyniki $a_{i}\;$ są unormowane.

Przyjmijmy, że spełniony jest ten drugi warunek, tzn. zachodzi$a_{ij}\rightarrow {{a_{ij}} \over {\sum _{i=1}^{n}p_{i}}}\;$, i posługujmy się tą definicją $a_{ij}\;$.

Przyjmijmy też, że dla wyników pomiarów $a_{ij}\;$, dla takich samych i zachodzi: $a_{ik_{1}}=a_{ik_{2}}=a_{i}\;$, czyli mają taką samą wartość. Oznaczmy liczbę takich samych wyników, czyli o takim samym i, przez $n_{i}\;$. Zatem, wiedząc że $\sum _{i=1}^{n}n_{i}=N\;$, dostajemy:

Szablon:IndexWzór W obliczeniach (Niedopasowany uchwyt: 1.6) udowodniliśmy, że średnia arytmetyczna przechodzi w średnią ważoną przy unormowanych wynikach a_ij.

Średnia geometryczna

Średnia geometryczna, nazywana również ważoną średnią geometryczną liczb $a_{1},a_{2},...,a_{n}\;$, jest to pierwiastek n-tego stopnia z iloczynu n liczb $a_{k}\;$ Szablon:IndexWzór

Bardzo ważne twierdzenie, mówiące o tym, że średnia geometryczna jest szczególnym przypadkiem średniej potęgowej (Niedopasowany uchwyt: 1.12) dla rzędu zerowego, i ta tożsamość dla parametru "k" dążącego do zera przedstawia się: Szablon:IndexWzór

Dowód wzoru (Niedopasowany uchwyt: 1.8) dla k nieskończenie bliskiemu zero wykorzystuje regułę de l'Hospitala.

Co kończy dowód tego twierdzenia.

Średnia harmoniczna

Średnia harmoniczna, zwana również ważoną średnią harmoniczną, jest to iloraz ilości pomiarów, których jest "n", dla których liczymy tą naszą średnią, przez sumę odwrotności tychże liczb: Szablon:IndexWzór

Średnia harmoniczna jest szczególnym przypadkiem średniej potęgowej (Niedopasowany uchwyt: 1.12), gdy parametr "k" jest równy minus jeden (-1). Szablon:IndexWzór

Średnia kwadratowa

Średnia kwadratowa to przykład miary statystycznej liczb $a_{1},a_{2},...,a_{n}\;$. Jest to pierwiastek ilorazu sumy kwadratów n tychże liczb przez ich liczbę. Szablon:IndexWzór Średnia kwadratowa jest szczególnym przypadkiem średniej potęgowej (Niedopasowany uchwyt: 1.12), gdy parametr "k" jest równy dwa (k=2).

Średnia potęgowa

Średnią potęgową (lub średnią uogólnioną) liczb $a_{1},a_{2},...,a_{n}\;$ nazywamy pierwiastek k-tego stopnia ilorazu sumy k-tych potęg n tychże liczb przez ich liczbę. Szablon:IndexSzablon:IndexWzór Średnia potęgowa jest szczególnym rozdzajem innych średnich, które podaliśmy wcześniej w tym rozdziale o średnich w matematyce statystycznej.