Statystyka matematyczna/Średnie w matematyce statystycznej

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Statystyka matematyczna
Statystyka matematyczna
Średnie w matematyce statystycznej

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Średnią w matematyce statystycznej nazywamy przepis pozwalający wyliczyć na podstawie n wyników uzyskanych w doświadczeniu, jedną ściśle określoną wartość. Ogólnym przepisem na liczenie średnich jest średnia potęgowa, z której szczególnymi przypadkami są: średnia arytmetyczna, średnia ważona, średnia geometryczna, średnia harmoniczna oraz średnia kwadratowa.

Średnia arytmetyczna[edytuj]

Średnia arytmetyczna liczb , to iloraz sumy n zmiennych przez liczbę tych zmiennych.

(1.1)

Średnia arytmetyczna jest szczególnym przypadkiem średniej ważonej (1.4), jeśli przyjmiemy:, co wynika stąd, że prawdopodobieństwo każdego zdarzenia z osobna (dzięki którym to prawdopodobieństwom chcemy policzyć średnią ważoną) jest jednakowe. Stąd wynika, że mianownik w średniej ważonej dla tego przypadku dla wszystkich n zdarzeń jest równy jeden. Po krótkich rozważaniach dochodzimy do wniosku, że dla równoprawdopodobnych zdarzeń średnia ważona przechodzi w średnią arytmetyczną.

(1.2)

Średnia arytmetyczna jest szczególnym przypadkiem średniej potęgowej (1.12) gdy parametr "k" przyjmuje wartość jeden, co można udowodnić następująco:

(1.3)

Średnia ważona[edytuj]

Przy założeniu, że prawdopodobieństwo uzyskania każdego z wyników wynosi odpowiednio: , to średnią ważoną definiuje się jako iloraz sumy: n iloczynów prawdopodobieństwa uzyskania wyniku przez wartość uzyskaną w doświadczeniu przez sumę prawdopodobieństw uzyskania poszczególnych wyników.

(1.4)

Gdy suma prawdopodobieństw uzyskania n wyników jest zdarzeniem pewnym, to średnia ważoną (1.4) można zapisać wedle schematu:

(1.5)

Można powiedzieć, że średnia ważona jest szczególnym przypadkiem średniej arytmetycznej, jeśli prawdopodobieństwo uzyskania wszystkich wyników jest równe jeden tak jak w punkcie (1.5) i poszczególne wyniki w średniej arytmetycznej powtarzają się, co pozwala wyliczyć jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania powtarzających się poszczególnych wyników, lub gdy wyniki są unormowane.

Przyjmijmy, że spełniony jest ten drugi warunek, tzn. zachodzi , i posługujmy się tą definicją .
Przyjmijmy też, że dla wyników pomiarów , dla takich samych i zachodzi: , czyli mają taką samą wartość. Oznaczmy liczbę takich samych wyników, czyli o takim samym i, przez . Zatem, wiedząc że , dostajemy:
(1.6)

W obliczeniach (1.6) udowodniliśmy, że średnia arytmetyczna przechodzi w średnią ważoną przy unormowanych wynikach aij.

Średnia geometryczna[edytuj]

Średnia geometryczna, nazywana również ważoną średnią geometryczną liczb , jest to pierwiastek n-tego stopnia z iloczynu n liczb :

(1.7)

Bardzo ważne twierdzenie, mówiące o tym, że średnia geometryczna jest szczególnym przypadkiem średniej potęgowej (1.12) dla rzędu zerowego, i ta tożsamość dla parametru "k" dążącego do zera przedstawia się:

(1.8)
Dowód wzoru (1.8) dla k nieskończenie bliskiemu zero wykorzystuje regułę de l'Hospitala.

Co kończy dowód tego twierdzenia.

Średnia harmoniczna[edytuj]

Średnia harmoniczna, zwana również ważoną średnią harmoniczną, jest to iloraz ilości pomiarów, których jest "n", dla których liczymy tą naszą średnią, przez sumę odwrotności tychże liczb:

(1.9)

Średnia harmoniczna jest szczególnym przypadkiem średniej potęgowej (1.12), gdy parametr "k" jest równy minus jeden (-1).

(1.10)

Średnia kwadratowa[edytuj]

Średnia kwadratowa to przykład miary statystycznej liczb . Jest to pierwiastek ilorazu sumy kwadratów n tychże liczb przez ich liczbę.

(1.11)

Średnia kwadratowa jest szczególnym przypadkiem średniej potęgowej (1.12), gdy parametr "k" jest równy dwa (k=2).

Średnia potęgowa[edytuj]

Średnią potęgową (lub średnią uogólnioną) liczb nazywamy pierwiastek k-tego stopnia ilorazu sumy k-tych potęg n tychże liczb przez ich liczbę.

(1.12)

Średnia potęgowa jest szczególnym rozdzajem innych średnich, które podaliśmy wcześniej w tym rozdziale o średnich w matematyce statystycznej.