Teoria grup przemiennych/Wstęp do grup nieprzemiennych

Grupa symetrii czworościanu foremnego, inaczej 4. grupa alternująca (A₄) – przykład grupy nieprzemiennej

Wstęp do wstępu

Zwieńczeniem tego kursu są dalsze rozważania o przemienności w grupach, ale już trochę szersze – tym razem o przemienności także w tych grupach, które nie są całkiem przemienne.

Grupy nieprzemienne są dziedziną znacznie bogatszą i w praktyce termin „teoria grup” oznacza właśnie w domyśle teorię grup ogólnych (Gr) – niekoniecznie przemiennych i zazwyczaj nieprzemiennych. Po około dwustu latach ta dziedzina algebry dalej jest aktywnie badana, także w przypadku skończonym. Przez to nie da się jej zamknąć w krótkim kursiku zrozumiałym dla licealisty, tak jak to można zrobić – przynajmniej w przypadku skończenie generowanym – dla grup przemiennych. Ten tekst skupia się na omówieniu najważniejszych różnic między tymi teoriami i na wspomnieniu najważniejszych pojęć, które pojawiają się w tym szerszym kontekście. Ma to zapobiec różnym niemiłym niespodziankom, rozczarowaniom i nieporozumieniom. Opisano tutaj, co się zmienić nie musi, a co musi i jak bardzo może się zmienić.

Resztki przemienności w centrum

Podgrupy cykliczne w 4. grupie diedralnej, Dih₄ = D₈, opisującej m.in. symetrie kwadratu.

Co to dokładnie znaczy, że grupa jest nieprzemienna? Jak źle może być? Prawo Murphy’ego każe przygotować się na najgorsze, ale na szczęście nie jest maksymalnie źle; parafrazując Einsteina: grupy nieprzemienne są wyrafinowane, ale nie są złośliwe. Nieprzemienność oznacza tylko, że nie każda para elementów komutuje. Oznacza to negację dużej kwantyfikacji: ¬(∀a,b∈G: ab = ba). Zgodnie z regułami („prawami”) de Morgana dla kwantyfikatorów – można je „wcisnąć” pod kwantyfikator, jeśli się go odwróci; zatem ∃a,b∈G: ab ≠ ba. Zatem żeby grupa była nieprzemienna, wystarczy istnienie choć jednej pary niekomutujących elementów. Bynajmniej nie oznacza to, że żadna para nie komutuje; taka „bezprzemienność” jest wewnętrznie sprzeczna; nie ma w niej warunku różności tych elementów, przez co twierdzi, że w szczególności aa ≠ aa. Zdanie to można minimalnie osłabić, zmieniając zakres kwantyfikacji na a ≠ b. Tylko że nawet taki postulat maksymalnej nieprzemienności byłby sprzeczny z jednym z aksjomatów definiujących grupę, jakim jest istnienie elementu neutralnego – który to musi komutować ze wszystkim (ae = ea ∀a∈G).

Widać więc, że spośród wszystkich par elementów grupy (par nieuporządkowanych; tzw. dubletów) – których jest (#G po 2) = #G·(#G–1)/2 – par komutujących jest co najmniej dwa razy tyle, ile wynosi rząd grupy, minus jeden, dla wykluczenia powtórzenia: (2·#G–1). Jest tak za sprawą zwrotności komutacji oraz istnienia elementu neutralnego, który komutuje ze wszystkim. Pojawia się naturalne pytanie: czy tych par komutujących może być więcej? Pytając bardzo odważnie i optymistycznie: czy są może elementy podobne do neutralnego, komutujące ze wszystkim? Odpowiedź na oba pytania jest twierdząca. Rozważa się centrum grupy Z(G) – zbiór wszystkich elementów „wszech-przemiennych”, tzn. komutujących ze wszystkim: Z(G)  := {z∈G : ∀a∈G za = az}. Literę zet (Z, z) można skojarzyć z niemiecką nazwą (das Zentrum). Nierzadko centrum jest trywialne, np. w najmniejszej grupie nieprzemiennej, jaką jest S₃, tak jak dla wszystkich dalszych grup permutacji S_n. Jednak już dla obu nieprzemiennych grup 8-elementowych centra są nietrywialne, dwuelementowe – wśród symetrii kwadratu D₈ obrót półpełny (o 180°) komutuje ze wszystkim, tak jak minus jedynka (–1) w tzw. grupie kwaternionów Q₈. Czytelnik zaznajomiony z algebrą macierzy mógł słyszeć o macierzach skalarnych A_s := [sδ_ij], uogólniających macierz jednostkową I_n – te niezerowe (s ≠ 0) tworzą centrum grupy wszystkich macierzy odwracalnych (nieosobliwych) danego rzędu, GL_n(F). Centrum może być zatem nieskończone i w niektórych takich wypadkach nawet równoliczne z całą nieprzemienną grupą, #Z(G) = #G.

W ramach ćwiczenia można sprawdzić, że centrum zawsze jest podgrupą Stąd nasuwa się nazwa podgrupa centralna, która ma jednak trochę szersze znaczenie – dowolnej podgrupy zawartej w centrum (H ≤ Z(G)). Przykładowo podgrupami centralnymi są też np.:

• podgrupa trywialna (zawierająca sam element neutralny e),
• wśród niezerowych macierzy skalarnych – macierze skalarne dodatnie.

Resztki przemienności poza centrum

Diagram przedstawiający cykle w grupie kwaternionów Q₈; zawiera ona cztery podgrupy cykliczne, wszystkie zawierające –1, a trzy z nich są rzędu cztery: ⟨i⟩ ≅ ⟨j⟩ ≅ ⟨k⟩ ≅ ℤ₄.

Podgrupy cykliczne i inne

Nasuwają się dalsze pytania – czy to wszystko? Czy tylko centrum jest „wyspą przemienności”, a czy przy trywialnym centrum nic innego nie komutuje? Już chwila namysłu daje odpowiedź negatywną. Otóż wystarczy sobie przypomnieć, że każdy nietrywialny element grupy jest co najmniej rzędu dwa, tzn. a² ≠ a (inny słowy nie ma tam idempotentów – jest to wykluczone przez aksjomat odwracalności). Każdy nietrywialny element a generuje zatem nietrywialną podgrupę cykliczną ⟨a⟩, która jest przemienna. Opisywane wcześniej twierdzenie Cauchy’ego stosuje się też do grup nieprzemiennych – istnienie podgrup cyklicznych (a przez to przemiennych) ⟨a⟩ < G jest zagwarantowane, ponieważ dowolny skończony rząd grupy (#G∈ℕ₊) ma dzielnik pierwszy (∃p∈ℙ: p|#G).

Następnie: czy może się zdarzyć, że komutują dwa elementy, które jednocześnie są:

• spoza centrum: a,b ∉ Z(G);
• kompletnie różne, niebędące swoimi iteracjami, należące do różnych podgrup cyklicznych: ⟨a⟩∩⟨b⟩ = {e}?

Otóż owszem, jest to możliwe; przykładu dostarcza np. kostka Rubika. Obroty dwóch przeciwległych ścian są w niej niezależne od siebie w obydwu znaczeniach tego słowa, są różnymi generatorami grupy, a jednocześnie komutują. Widać zatem, że w grupie nieprzemiennej mogą być podzbiory przemienne i to nie tylko centrum albo podgrupy cykliczne. We wspomnianej grupie Rubika są np. czwórki Kleina (V₄) – generowane przez obroty przeciwległych ścian o kąt półpełny (180°).

Co jednak istotne – te podgrupy przemienne jako całość nie tworzą kraty. Przecięcie dwóch podgrup przemiennych (H₁∩H₂) jest podgrupą przemienną, ale już działanie kompleksowe na nich („iloczyn kompleksowy” H₁H₂) – niekoniecznie.

Konsekwencje komutacji

Przykład funkcji 1. stopnia (afinicznej), zwanej czasem „liniową”: f ∈ Aff(ℝ) ⊂ ℝ₁[X]. Wśród nich różne pierwiastki kwadratowe z tożsamości (inwolucje: f∘f = id) nie muszą komutować.

Można udowodnić – choćby w ramach ćwiczenia – że jeśli dwa elementy komutują (ab = ba), to komutują również:

• ich potęgi naturalne: a^mbⁿ = bⁿa^m ∀m,n∈ℕ;
• ich odwrotności: a^–1b^–1 = b^–1a^–1;
• dowolne ujemne potęgi całkowite: a^–mb^–n = b^–na^–m ∀m,n∈ℕ.
• odwrotność jednego elementu z tym drugim (jego pierwszą potęgą lub iteracją): a^–1b = ba^–1;
• różne całkowite potęgi (iteracje), nawet jeśli wykładniki mają różne znaki: a^mbⁿ = bⁿa^m ∀m,n∈ℤ.

Ostatni punkt mówi, że wspomniane wcześniej dwa przemienne zbiory (tzw. monoidy) – potęg całkowitych nieujemnych i całkowitych niedodatnich – łączą się w podgrupę, która również jest przemienna. Nie tylko ⟨a,b⟩ < G, ale i ⟨a,b⟩ ∈ Ab.

Pojawia się pokusa pójścia jeszcze dalej: czy przemienność zachodzi też dla potęg (iteracji) ułamkowych (m,n∉ℤ)? Tutaj jednak odpowiedź brzmi „nie”, nawet jeśli te wykładniki – czyli mniej-więcej stopnie pierwiastkowania – są sobie równe (m=n):

• Przykładowo niekomutować mogą różne pierwiastki z jedynki (elementu neutralnego) – elementy torsyjne (∃r∈ℕ: a^r = id):

• W trzeciej grupie symetrycznej (S₃) są 3 różne transpozycje (inwolucje), które jednak nie są ze sobą przemienne; (12)(23) ≠ (23)(12).
• Innego przykładu dostarczają np. funkcje rzeczywiste pierwszego stopnia („liniowe”), oznaczane ℝ₁[X] – te odwracalne (niestałe, stopnia dokładnie jeden) tworzą tzw. grupę afiniczną prostej rzeczywistej: Aff(ℝ). Jeśli f(x) := –x, g(x) := 1–x, to f^∘2 = g^∘2 = id, przez co ich kwadraty trywialnie komutują: f^∘2∘g^∘2 = id = g^∘2∘f^∘2; z drugiej strony wyjściowe dwie funkcje – przykłady inwolucji – przemienne już nie są: f∘g(x) = x–1 ≠ g∘f(x) = x+1.

• Różne pierwiastki elementu nietrywialnego (innego niż neutralny) też nie muszą komutować. W grupie kwaternionów Q₈ jest sześć pierwiastków kwadratowych z minus jedynki: (–1)^1/2 to i, j, k i ich negacje (–i, –j, –k). Jednak te pierwiastki niekoniecznie ze sobą komutują; np. ij ≠ ji (bo to odpowiednio k i –k).

Rozważaną własność można osłabić: czy pierwiastki różnych komutujących elementów (a ≠ b) muszą ze sobą komutować? W tym wypadku również nie muszą.

Przemienność wszystkich podgrup i faktorów

Trójkąt równoboczny – jego grupa symetrii S₃ jest nieprzemienna, ale wszystkie jej podgrupy właściwe (H < S₃) i faktory właściwe są przemienne.

Czytelnik rozochocony tymi dobrymi wieściami może się zastanawiać: czy może się zdarzyć, że wszystkie właściwe podgrupy grupy nieprzemiennej są przemienne? Owszem, jest to możliwe. W końcu wśród grup nieprzemiennych musi być jakaś najmniejsza, przez co jej podgrupy, mniejsze od niej, muszą być przemienne. Tą minimalną grupą nieprzemienną jest 6-elementowa trzecia grupa permutacji (S₃), opisująca m.in. symetrie trójkąta równobocznego. Jej podgrupami są:

• podgrupa trywialna (id),
• permutacje cykliczne (obroty o 60°), tworzące grupę ℤ₃,
• trzy kopie grupy cyklicznej ℤ₂, odpowiadające odbiciom wzdłuż różnych osi symetrii.

Dalszych przykładów dostarcza twierdzenie Lagrange’a o rzędzie podgrup: skoro najmniejsza grupa nieprzemienna jest 6-elementowa, to rząd jej nadgrupy musi być całkowitą wielokrotnością szóstki; najmniejszą pasującą tutaj liczbą jest 12. Przez to wszystkie grupy nieprzemienne o rzędach od 7 do 11 włącznie nie mogą mieć nieprzemiennych podgrup właściwych. Okazuje się, że oprócz takiego wykluczenia kontrprzykładu są też pozytywne przykłady: istnieją nieprzemienne grupy rzędu 8 (D₈ oraz Q₈) i 10 (D₁₀); ich wszystkie podgrupy właściwe są przemienne.

Grupy, w których wszystkie podgrupy właściwe są przemienne, są jednym z możliwych uogólnień grup przemiennych. Jak się jednak okazuje – nie jest to uogólnienie jedyne ani nawet najbardziej „przyjazne”, tzn. dające największe pole manewru i upraszczające najważniejsze obliczenia. Co najmniej równie istotnym uogólnieniem są opisane dalej grupy Dedekinda, w których dzielenie przez podgrupę zawsze daje w wyniku grupę – co w nieprzemiennym krajobrazie niestety nie jest a priori zagwarantowane.

Może się też zdarzyć, że dla grupy nieprzemiennej wszystkie właściwe grupy ilorazowe (faktory) są przemienne; por. S₃, D₈ czy Q₈. Wszystkie z tych faktorów mogą być nawet cykliczne. Zatem jest też „trzecia droga” w zachowawczym uogólnianiu grup przemiennych, zachowując niektóre z ich własności. Może się też zdarzyć, że grupa nieprzemienna ma i same przemienne podgrupy właściwe, i same przemienne faktory właściwe – te drogi nie muszą się w całości rozbiegać.

Komplikacje ogólne

William Burnside (1852–1927)

Komplikacje nie kończą się na tym, że w grupach nieprzemiennych działania są bardziej skomplikowane, a tabelki Cayleya („tabliczki mnożenia”) – mniej symetryczne. Nieprzemienność „zabija” niektóre cenne własności jak homomorficzność potęgi (iteracji); wcześniejszy dowód tego, że w grupie przemiennej (ab)ⁿ = aⁿbⁿ, korzystał z przemienności i niestety jest to konieczne – w nieprzemiennych grupach to uproszczenie „rozsypuje się” niczym domek z kart. Przykładu dostarcza np. wspomniana grupa afiniczna prostej rzeczywistej: Aff(ℝ). Można nawet użyć tych samych przykładów, co poprzednio: jeśli f(x) := –x, g(x) := 1–x, to f^∘2 = g^∘2 = id, przez co f^∘2∘g^∘2 = id; z drugiej strony f∘g(x) = x–1, czyli (f∘g)^∘2(x) = x–2; wyniki są istotnie różne.

Grup nieprzemiennych jest też znacznie więcej – tak jakby grup przemiennych było mało – i, co gorsza, liczba ta jest trudna do dokładnego obliczenia. Skończone grupy przemienne mają rozkład, który pozwala na obliczenie, ile jest grup przemiennych danego rzędu; w ogólnym, nieprzemiennym przypadku niestety nie ma czegoś takiego – przynajmniej na początku lat 20. XXI w. Częściowe wyniki i asymptotyczne oszacownia w tej kombinatoryce są znalezione tylko dla szczególnych przypadków, np. dla rzędów będących potęgami liczb pierwszych (tak zwanych p-grup; #G = pⁿ, p∈ℙ, n∈ℕ). Pomocą są tu twierdzenia, które wiążą rząd grupy z pewnymi własnościami jak właśnie przemienność lub dużo słabsza rozwiązalność. W ogólności są tylko dość grube oszacowania z góry jak to, że wszystkich działań dwuargumentowych w zbiorze n-elementowym jest B_n = nⁿ².

Zmieniają się też zależności między dość ogólnymi własnościami grup – sposób przecinania się różnych klas. Dla grup przemiennych już pokazano dość intuicyjny fakt, że grupa skończenie generowana i torsyjna musi być skończona. Wspomniano też, że w nieprzemiennej ogólności sytuacja jest już dużo mniej oczywista. Problem Burnside’a – czy istnieją nieskończone grupy jednocześnie torsyjne i skończenie generowane – został postawiony w latach tysiącdziewięćsetnych i rozwiązany przeszło pół wieku później, w latach 60. XX w. Co może zaskakujące – odpowiedź jest pozytywna, odwrotnie niż w przypadku przemiennym.

Kolejną komplikacją nieintuicyjną – choć może niezaskakującą po takiej dawce trudnych wieści – jest zmiana własności pewnych własności. Otóż cecha bycia grupą skończenie generowaną przestaje być własnością dziedziczną – implikowaną dla wszystkich podgrup. Mówiąc bezpośrednio: podgrupa grupy skończenie generowanej nie musi być skończenie generowana. Przykładu dostarcza tzw. grupa wolna generowana przez zaledwie dwa elementy, F_ab.

Komplikacje podgrup i ilorazów

Krata podgrup nieprzemiennej grupy diedralnej Dih₄ – 8-elementowej symetrii prostokąta właściwego, niebędącego kwadratem.

Nieprzemienność „godzi” też w pewne podstawowe konstrukcje – jak grupa ilorazowa – i nakłada na nie więzy. Nie każda podgrupa – nawet przemienna! – jest jądrem homomorfizmu; nie każda zadaje strukturę ilorazową będącą grupą, a warstwy niektórych podgrup nie są włóknami żadnego homomorfizmu. Relacja kongruencji (przystawania) względem podgrupy nie musi być zgodna z działaniem grupowym, tj. dać się wykonywać stronami.

Przez to pojawia się istotne rozróżnienie podgrup „dobrych” od „niedobrych”; te pierwsze są jądrami homomorfizmów i pozwalają konstruować grupy ilorazowe – tzn. skonstruowane z nich struktury ilorazowe są grupami, a odpowiednie kongruencje są nimi sensu stricto, tzn. nie „psują” własności działań. Te „dobre” podgrupy nazywane są normalnymi, mają osobny domyślny symbol N zamiast H i ich relację do nadgrupy oznacza się osobnym symbolem: N ⊴ G. Można dość krótko udowodnić rozmaite warunki równoważne na normalność podgrupy.

Dygresja dydaktyczna: te kryteria normalności podgrupy nie muszą się odwoływać do pojęcia homomorfizmu ani grupy ilorazowej, a jedynie do pewnego rodzaju przemienności i niezmienniczości, które są dość atrakcyjnymi własnościami. Ten skromny aparat pojęciowy stwarza pokusę, żeby definiować podgrupy normalne właśnie w ten sposób, „prostszy”. Niestety potrafi on zaciemnić cały sens i cel ich rozważania; może się jawić jako zupełnie arbitralny, a przez to bezcelowy i jałowy.

Co gorsza, wprowadzenie podgrup normalnych w sposób „historyczny”, à la Galois, bez homomorfizmów ani grup ilorazowych, może zdarzać się krótko po wprowadzeniu do teorii grup i algebry abstrakcyjnej w ogóle, bez wcześniejszego kontaktu z pojęciem izomorfizmu usprawiedliwiającym użycie definicji aksjomatycznych. Może się też zdarzyć, że te tematy są wyłożone bez opanowania elementarnej teorii mnogości w sposób pogłębiony, razem z pojęciami takimi jak podział zbioru czy relacja równoważności. W takich okolicznościach rozważanie podgrup normalnych to nie lada wyzwanie, a uzasadnione poczucie zrozumienia ich graniczy z cudem.

Ten kurs na Wikibooks ma zapobiegać podobnym umysłowym niestrawnościom – oswajając wiele pojęć już na „swojskim”, solidnym gruncie grup przemiennych, bogatym w przykłady, a jednocześnie w nietrywialne w zastosowania, nietrywialne pytania, wyniki, dowody i pojęcia abstrakcyjne, choć dobrze umocowane w wartościowym konkrecie. Droga przez grupy przemienne to dodanie pewnego niskiego szczebla w umysłowej drabinie i niskiego stopnia w umysłowych schodach; jest bardziej w duchu kursów niemieckojęzycznych niż francuskojęzycznych, od połowy XX w. silnych w dydaktyce za sprawą tzw. zespołu Bourbaki. Koniec dygresji.

Dla ogólnych grup już w przypadku skończonym zachodzi to, co dla grup przemiennych dotyczy tylko nieskończonych – mianowicie grupa ilorazowa nie musi być izomorficzna z żadną podgrupą grupy wyjściowej. Pokazuje to grupa kwaternionów Q₈ – wśród jej faktorów jest czwórka Kleina (V₄), niebędąca jej podgrupą. Przy dopuszczeniu nieprzemienności grupy „zepsute” zostają też inne własności. Krata podgrup przestaje być automatycznie modularna – reguła modularności Dedekinda jest spełniona tylko pod pewnymi warunkami. Na szczęście jednym z warunków wystarczających na to jest normalność rozważanych podgrup – podkrata podgrup normalnych jest już zawsze modularna.

Komplikacje automorfizmów

Évariste Galois (1811–1832), który rozważał sprzężenia, nazwane potem automorfizmami wewnętrznymi.

Nieprzemienność mąci też w strukturze automorfizmów grup: Aut(G). Pojawia się istotny podtyp: automorfizmy wewnętrzne Inn(G), zwane również sprzężeniami, które dla grup przemiennych się trywializują. Pozostałe automorfizmy nazywa się czasem zewnętrznymi, choć ta nazwa stosuje się też do elementów grupy ilorazowej Out(G) := Aut(G) \ Inn(G) – bo dobrze się składa, że taki iloraz tworzy grupę, tzn. Inn(G) jest normalna w Aut(G): Inn(G) ⊴ Aut(G). Pozioma kreska oznaczająca nieostrą inkluzję nie jest tu bez dobrej przyczyny. Otóż może się zdarzyć – odwrotnie niż w grupach przemiennych – że wszystkie automorfizmy są wewnętrzne, tzn. Aut(G) = Inn(G). Grupy o tej własności mają osobną nazwę (grupy pełne lub kompletne), choć ich znaczenie jest ograniczone, zwłaszcza na wczesnym etapie nauki.

Razem z tym rozróżnieniem dwóch typów automorfizmów pojawia się też uogólnienie podgrup charakterystycznych (C ◄ G) na te, które są niezmiennicze tylko dla automorfizmów wewnętrznych. Okazuje się, że takie rozważania i mnożenie pojęć nie są jałowe – wprost przeciwnie, są kluczowe, bo ten drugi typ podgrup to właśnie podgrupy normalne (N ⊴ G).

Sprzężenia pozwalają też inaczej, z szerszej perspektywy spojrzeć na przemienność. Elementy komutujące z każdym (wspomniane juz centrum grupy, Z(G)) są dla tych sprzężeń punktami stałymi; innymi słowy – sprzężenia są stabilizatorami elementów przemiennych. Widać zatem, że podgrupy normalne to dość naturalne, wręcz nasuwające się uogólnienie centrum – ze zbioru punktów stałych Z(G) = Fix φ na dowolny zbiór ściśle niezmienniczy, φ(N) = N.

Dla grup nieprzemiennych komplikują się nie tylko automorifzmy, ale i ogólne endomorfizmy. Suma dwóch endomorfizmów grupy nieprzemiennej już nie musi być endomorfizmem. Staje się to jaśniejsze z perspektywy wyłożonej dalej – endomorfizmy przestają tworzyć tzw. pierścień.

Komplikacje w redukcji

Kostka Rubika – grupę jej ustawień można wyrazić przez iloczyny prosty i półprosty grup prostych.

Dla grup nieprzemiennych zanika też zasadnicze twierdzenie o rozkładzie. Pojęcie sumy prostej w pewnym sensie jest zachowane – choć pod nazwą iloczynu prostego – ale jest o wiele słabsze; stosunkowo niewiele grup można przedstawić jako iloczyny proste (kartezjańskie) grup mniejszych. Te nierozkładalne często dalej są jednak „redukowalne” – kryją w sobie podstrukturę, którą wyłuskać i wykrzesać można, ale trzeba to robić w bardziej subtelny sposób niż „rzutowanie” na jeden z czynników iloczynu.

Jako środek zaradczy pojawia się ściśle nieprzemienne (czy właściwie: asymetryczne) pojęcie iloczynu półprostego (⋊). Niestety nawet ono nie wystarczy do wyrażenia wszystkich grup, choćby skończonych, za pomocą działania nim na „atomach”; przykładowo iloczynem półprostym nie jest grupa kwaternionów Q₈ [potrzebne źródło]. Rozmaitych iloczynów pojawia się cała gama i żaden z nich nie ma „mocy redukcyjnej”, jaką mają działania w niektórych innych strukturach – np. mnożenie liczb całkowitych, mnożenie wielomianów z liczbowymi współczynnikami, suma zbiorów czy właśnie suma prosta grup przemiennych skończenie generowanych.

Przez to dla ogólnych grup „elementy” i „atomy”, zwane grupami prostymi, nie są definiowane przez działania na „mniejszych” grupach. W definicji grup prostych pojawia się wspomniane pojęcie podgrupy normalnej – czyli de facto kluczowe jest istnienie nietrywialnych grup ilorazowych i możliwość „uproszczenia” grupy do obrazu pewnego homomorfizmu. Dla grup przemiennych grupy bez nietrywialnych podgrup właściwych – jak grupy cykliczne rzędu pierwszego (ℤ_p) – są raczej ciekawostką, a w ogólnej teorii grup ten typ zyskuje pewną centralną rolę. W pewnym sensie teoria grup nieprzemiennych dopatruje się „atomów” głębiej niż teoria grup przemiennych; w tej drugiej grupa cykliczna ℤ₄ jest jedną z podstawowych cegiełek, ale nie jest grupą prostą, bo jej podgrupa izomorficzna z ℤ₂ może „znikać”, odsłaniając też egzemplarz ℤ₂ jako obraz. Jednoczeście ℤ₄ nie wyraża się przez grupy ℤ₂ ani jako suma prosta (którą jest czwórka Kleina ℤ₂²), ani jako iloczyn półprosty. Podobnie wśród grup przemiennych rozkład ℤ₆ ≅ ℤ₂⊕ℤ₃ jest czymś bardzo opcjonalnym, ale z punktu widzenia grup prostych – kluczowym.

Własności redukcji

Camille Jordan (1838–1922)

Szczęściem w tym „redukcyjnym nieszczęściu” jest nie tylko istnienie jasno zdefiniowanego budulca i fundamentu, czyli grup prostych jako punktu odniesienia. Dla ogólnych grup istnieje też pewna namiastka rozkładu i to jednoznacznego – jest nim tzw. ciąg kompozycyjny, opisujący serię zagnieżdżonych w sobie podgrup normalnych: 1 ⊴ N₁ ⊴ ... ⊴ N_r ⊴ G. Istnieje twierdzenie Jordana–Höldera (Camille’a Jordana) mówiące, że różne ciągi kompozycyjne danej grupy są sobie w pewnym stopniu równoważne.

Niestety taki rozkład jest w pewnym sensie jednokierunkowy; grupy można rozbijać na „twarde klocki”, ale nie można ich zrekonstruować za pomocą wyłącznie tych klocków, bez żadnych dodatkowych informacji. Podobnie ciało człowieka lub innego kręgowca można prześwietlić i zidentyfikować jego szkielet, ale sam stos kości bez instrukcji nie wystarczy do jego odbudowy. Różne, nieizomorficzne grupy mogą mieć taki sam ciąg kompozycyjny [potrzeby przykład]. Znajdowanie podgrup normalnych i grup ilorazowych można przyrównać do obierania cebuli lub rozłupywania orzechów w poszukiwaniu „twardego jądra”. Inna nasuwająca się analogia to kompilacja kodu komputerowego – zazwyczaj stratna; finalny kod maszynowy nie zawiera w sobie pełnych informacji o kodzie źródłowym. Jest też pewna analogia do rozkładu substancji na pierwiastki chemiczne – sama lista substancji chemicznych, nawet przy podaniu ich proporcji, nie określa jednoznacznie związku, z racji izomerii.

Kamień milowy w redukcji

Permutacje zbioru 3-elementowego z zaznaczoną tożsamością (stanem „wyjściowym”). Tworzą one nieprzemienną grupę znaną jako S₃ ≅ ℤ₃ ⋊ ℤ₂.

Poszukiwania skończonych grup prostych okazały się wyzwaniem potężnym, porównywalnym do wyczerpania układu okresowego pierwiastków, tabeli nuklidów czy do poszukiwań nowych cząstek elementarnych i fundamentalnych. To zadanie ukończono dopiero w latach dwutysięcznych („zerowych” XXI w.), po ponad stu latach pracy setek matematyków wspomaganych potężnymi komputerami, a dowód kompletności tej listy ma rekordową objętość kilkunastu tysięcy stron druku.

To jaskrawy przykład na to, że teoria grup jest dziedziną nie mniej ambitną niż np. teoria liczb całkowitych, w której to nawet cegiełki, jakimi są liczby pierwsze, dalej kryją wiele tajemnic. Zostaje nadzieja, że Czytelnik po dobrym poznaniu tego wierzchołka góry lodowej, jakim są grupy przemienne, poczuje się dobrze wyposażony w dalszą podróż, będzie ona dla niego łatwiejsza i może potrwa dłużej; i to nie przez potrzebę długiego trawienia podstaw, ale przez zajście dalej i głębiej.

Zanik „wektorowości”

Dla grup nieprzemiennych zmienia się też zasadnicza perspektywa i intuicja; co się wiąże ze wspomnianym brakiem rozkładu za pomocą działania na poszczególne „komponenty” (składowe). Grupy przemienne można sobie wyobrażać trochę jak wektory – którymi są przy bardzo ogólnej definicji wektora – i „w praktyce”, przy obliczeniach, grupy przemienne zachowują się podobnie do wektorów w tym elementarnym, szkolnym sensie, dzięki rozkładowi na poszczególne „współrzędne” odpowiadające różnym „wymiarom”. W przypadku nieprzemiennym ten punkt widzenia wręcz wyparowuje.

Na szczęście są inne analogie podpierające wyobraźnię, mianowicie permutacje – rozumiane jako bijekcje zbioru w siebie (inaczej bijekcje endofunkcyjne lub endobijekcje). Na mocy twierdzenia Cayleya każda grupa jest izomorficzna z podgrupą pewnej grupy permutacji; co prowadzi niektórych autorów – jak Władimir Arnold – do dość odważnych uproszczeń i definiowania grup właśnie w ten sposób, co jest niejako powrotem do korzeni tej teorii i zasłania moc pojęcia izomorfizmu.