Teoria grup przemiennych/Wstęp do teorii pierścieni
Strukturę grupy przemiennej można też wzbogacić inaczej niż przez dodatkowy zbiór skalarów i odpowiednie działanie. Można też wprowadzić drugie działanie wewnątrz samej grupy przemiennej; wtedy to pierwsze jest zwykle nazywane dodawaniem, a to drugie – mnożeniem. Tak wzbogaconą grupę przemienną nazywa się pierścieniem, o ile spełnia dwa warunki – to mnożenie jest:
- łączne: (ab)c = a(bc), przez co można pisać po prostu abc; niektórzy lubią nazywać takie struktury półgrupami;
- rozdzielne względem dodawania: a(b+c) = ab + ac, (b+c)a = ba + ca.
Co istotne:
- to mnożenie nie musi być przemienne ani nie musi mieć jedynki. Mówiąc uczenie: pierścień ze względu na mnożenie nie musi być półgrupą przemienną ani monoidem;
- te „bonusowe” własności są dla pierścieni niezależne od siebie – istnieją pierścienie nieprzemienne z jedynką oraz pierścienie przemienne bez jedynki[uwaga 1];
- przemienność jest też niezależna od dzielenia – zdarzają się nieprzemienne pierścienie z dzieleniem[uwaga 2].
Rola pierścieni[edytuj]
Teoria pierścieni ma dużo bardziej hermetyczne i specjalistyczne znaczenie niż teoria grupy, a tym bardziej niż algebra liniowa. Przez to jest nauczana głównie na studiach matematycznych i nie bez powodu wstęp do niej jest właśnie w tym miejscu, już po wspomnianych dwóch dziedzinach algebry. Flagowym przykładem pierścienia są liczby całkowite (ℤ); pierścienie można traktować jako dalekie uogólnienie liczb całkowitych – zbiory, w których możliwe jest dodawanie, odejmowanie i mnożenie, ale już niekoniecznie dzielenie, za to przynajmniej czasami można mówić o podzielności i dzieleniu z resztą.
Pierścienie pełnią rolę dla teorii grup przemiennych nie tylko jako jej zastosowanie i kontynuacja. Stosują się też do niej samej, jako że dla każdej grupy przemiennej A można skonstruować pierścień endomorfizmów End(A), wspominany już wcześniej. Jest to struktura analogiczna do pierścienia endomorfizmów przestrzeni liniowej L(V). Własności grupy przemiennej wiążą się ściśle z własnościami tego pierścienia.
Uwagi[edytuj]
- ↑ Przykłady tych pierwszych: macierze kwadratowe 2×2 albo kwaterniony (ℍ). Przykłady tych drugich: pewna klasa funkcji rzeczywistych (L1(ℝ) – całkowalne w sensie Lesbegue’a) z działaniem splotu.
- ↑ Przykładem są wspomniane już kwaterniony lub czwarki (ℍ). Pierścienie z dzieleniem czasem nazywano ciałami, jednak ugruntowała się węższa definicja ciała, jako pierścienia i z dzieleniem, i przemiennego.