Topologia ogólna/Aksjomaty oddzielania

Aksjomaty oddzielania

W rozdziale tym omówimy pewne warunki, zwane aksjomatami oddzielania, jakie można nakładać na badane przestrzenie topologiczne. Dotyczą one możliwości "oddzielania od siebie" w pewien sposób niektórych podzbiorów przestrzeni. Przedstawimy aksjomaty $T_{0},T_{1},T_{2},T_{3},T_{3,5},T_{4},T_{5},T_{6}$ wraz z przykładami i podstawowymi własnościami przestrzeni je spełniających.

Przestrzenie T₀

Definicja

Mówimy, że przestrzeń topologiczna $X$ spełnia aksjomat $T_{0}$ (lub: $X$ jest przestrzenią Kołmogorowa), o ile dla każdych $x,y\in X$ takich, że $x\not =y$, istnieje zbiór otwarty $U\subseteq X$ taki, że $x\in U,y\not \in U$ lub $y\in U,x\not \in U$.

Zamiast pisać "$X$ spełnia aksjomat $T_{i}$" będziemy również pisali: "$X$ jest przestrzenią $T_{i}$" lub krócej "$X$ jest $T_{i}$".

Własności

1. Spełnianie aksjomatu $T_{0}$ jest własnością topologiczną.
2. Przestrzeń $X$ jest $T_{0}$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej pary punktów $x,y\in X$ takich, że $x\not =y$, zachodzi $\operatorname {Cl} \{x\}\not =\operatorname {Cl} \{y\}$.

   Dowód:

   [$\rightarrow$] Weźmy $x,y\in X$ takie, że $x\not =y$. Z założenia istnieje zbiór otwarty $U\subseteq X$ taki, że $x\in U,y\not \in U$ lub $y\in U,x\not \in U$. Przypomnijmy, że dla dowolnych $a\in X$, $A\subseteq X$ warunek $a\in \operatorname {Cl} {A}$ jest równoważny warunkowi $\forall _{U\in {\mathcal {O}}_{X}}(a\in U\Rightarrow U\cap A\not =\emptyset )$. W pierwszym przypadku mamy zatem $y\not \in \operatorname {Cl} \{x\}$, zaś w drugim $x\not \in \operatorname {Cl} \{y\}$. Ponieważ $x\in \operatorname {Cl} \{x\},y\in \operatorname {Cl} \{y\}$, otrzymujemy tezę.

   [$\leftarrow$] Jeśli $\operatorname {Cl} \{x\}\not =\operatorname {Cl} \{y\}$, to istnieje punkt $z\in X$ taki, że $z\in \operatorname {Cl} \{x\},z\not \in \operatorname {Cl} \{y\}$ lub $z\in \operatorname {Cl} \{y\},z\not \in \operatorname {Cl} \{x\}$. Z przypomnianej w dowodzie implikacji w drugą stronę charakteryzacji domknięcia wynika, że istnieje otwarte otoczenie $U\subseteq X$ punktu $z$ takie, że $U\cap \{x\}\not =\emptyset =U\cap \{y\}$ lub $U\cap \{y\}\not =\emptyset =U\cap \{x\}$, co kończy dowód twierdzenia. $\square$

3. Podprzestrzeń przestrzeni $T_{0}$ jest przestrzenią $T_{0}$.

   Dowód:

   Niech $X$ będzie $T_{0}$ i $A\subseteq X$. Przypuśćmy, że $x,y\in A$ są takie, że $x\not =y$. Wówczas, ponieważ $X$ jest $T_{0}$ istnieje $U\subseteq X$ otwarty i taki, że należy do niego dokładnie jeden spośród punktów $x,y$. Wówczas $A\cap U$ jest otwarty w $A$ i również należy do niego dokładnie jeden spośród punktów $x,y$. $\square$

4. Produkt rodziny $\{X_{i}\}_{i\in I}$ niepustych przestrzeni topologicznych jest przestrzenią $T_{0}$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $i\in I$ przestrzeń $X_{i}$ jest $T_{0}$.

   Dowód:

   [$\leftarrow$] Przypuśćmy, że $(x_{i})_{i\in I},(y_{i})_{i\in I}\in \prod _{i\in I}X_{i}$ oraz $(x_{i})_{i\in I}\not =(y_{i})_{i\in I}$. Istnieje zatem $i_{0}\in X_{i}$ takie, że $x_{i_{0}}\not =y_{i_{0}}$. Ponieważ $X_{i_{0}}$ jest przestrzenią $T_{0}$ istnieje otwarte $U\subseteq X_{i_{0}}$ takie, że do $U$ należy dokładnie jeden z punktów $x_{i_{0}},y_{i_{0}}$. Stąd $\prod _{i\in I}Y_{i}$, gdzie $Y_{i}={\begin{cases}X_{i}&{\text{dla }}i\not =i_{0}\\U&{\text{dla }}i=i_{0}\end{cases}}$, jest otwartym otoczeniem dokładnie jednego z punktów $(x_{i})_{i\in I},(y_{i})_{i\in I}$.

   [$\rightarrow$] Ustalmy $i_{0}\in I$ oraz dla każdego $i\in I,i\not =i_{0}$ wybierzmy element $x_{i}\in X_{i}$. Wówczas przestrzeń $\prod _{i\in I}Y_{i}$, gdzie $Y_{i}={\begin{cases}\{x_{i}\}&{\text{dla }}i\not =i_{0}\\X_{i_{0}}&{\text{dla }}i=i_{0}\end{cases}}$ jest, co nietrudno sprawdzić, homeomorficzna z $X_{i_{0}}$. Ponadto przestrzeń ta jest $T_{0}$ jako podprzestrzeń $\prod _{i\in I}X_{i}$. Fakt, że własność $T_{0}$ jest topologiczna kończy dowód. $\square$

Przykłady

Przykłady przestrzeni, które są $T_{0}$ pojawią się w dalszej części tekstu. Tu podamy przykłady przestrzeni, które aksjomatu $T_{0}$ nie spełniają. Podobna zasada obowiązywać będzie również w dalszych sekcjach z przykładami w tym rozdziale.

Przestrzeniami $T_{0}$ nie są:

1. co najmniej dwuelementowa przestrzeń antydyskretna;
2. zbiór $\mathbb {Z}$ liczb całkowitych z topologią $\{\emptyset ,\mathbb {Z} \}\cup \{\{z\in \mathbb {Z} :-n\leq z\leq n\}\}_{n\in \mathbb {N} }$;
3. zbiór liczb rzeczywistych z topologią generowaną przez bazę $\{[n,n+1]\}_{n\in \mathbb {Z} }$.

• Ćwiczenie: Sprawdzić, że wymienione wyżej przestrzenie faktycznie nie są $T_{0}$.

Przestrzenie T₁

Definicja

Przestrzeń topologiczna $X$ jest przestrzenią $T_{1}$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej pary punktów $x,y\in X$ takich, że $x\not =y$, istnieje zbiór otwarty $U\subseteq X$ taki, że $x\in U,y\not \in U$.

Przestrzenie $T_{1}$ bywają nazywane przestrzeniami Frécheta. Nazwa ta jest jednak zdecydowanie częściej używana w zupełnie innym znaczeniu, wobec czego bezpieczniej pozostać przy określeniu "przestrzeń $T_{1}$".

Własności

1. Spełnianie aksjomatu $T_{1}$ jest własnością topologiczną.
2. Podprzestrzeń przestrzeni $T_{1}$ jest przestrzenią $T_{1}$.
3. Produkt rodziny niepustych przestrzeni topologicznych jest przestrzenią $T_{1}$ wtedy i tylko wtedy, gdy każda z przestrzeni należących do tej rodziny jest $T_{1}$.
4. Każda przestrzeń $T_{1}$ jest przestrzenią $T_{0}$.
5. Przestrzeń $X$ jest $T_{1}$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\{x\}=\operatorname {Cl} \{x\}$ dla każdego punktu $\{x\}\in X$.

   Dowód:

   [$\rightarrow$] Przypuśćmy, że $X$ jest przestrzenią $T_{1}$ i $x\in X$. Dla każdego punktu $y\not =x$ istnieje zbiór otwarty $U_{y}\subseteq X$ taki, że $y\in U_{y},x\not \in U_{y}$. Określmy $F_{y}=X\setminus U_{y}$. Zbiór $F_{y}$ jest domknięty oraz $\{x\}\subseteq F_{y}$. Mamy $\{x\}\subseteq \operatorname {Cl} \{x\}\subseteq \bigcap _{y\not =x}F_{y}=\{x\}$.

   [$\leftarrow$] Przypuśćmy, że w przestrzeni $X$ wszystkie zbiory jednoelementowe są domknięte oraz $x,y\in X$, $x\not =y$. Ponieważ zbiór $\{y\}$ jest domknięty, zbiór $X\setminus \{y\}$ jest otwartym otoczeniem $x$ nie zawierającym $y$. $\square$

• Ćwiczenie: Udowodnić własności podane wyżej bez dowodów.
• Ćwiczenie: Wykazać, że przestrzeń topologiczna jest $T_{1}$ wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jej skończony podzbiór jest domknięty. Jako wniosek wykazać, że każda skończona przestrzeń $T_{1}$ jest dyskretna.

Przykłady

Podamy teraz przykłady przestrzeni $T_{0}$ nie będących przestrzeniami $T_{1}$:

1. przestrzeń Sierpińskiego (patrz: rozdział 3., podrozdział "topologia Tichonowa", przykład 4.);
2. odcinek $[-1,1]$ z topologią generowaną przez podbazę $\{[-1,b):0<b<1\}\cup \{(a,1]:-1<a<0\}$.

• Ćwiczenie: Wykazać, że wyżej podane przestrzenie faktycznie są $T_{0}$ i nie są $T_{1}$.

Przestrzenie T₂

Definicja

Przestrzeń topologiczną $X$ nazywamy przestrzenią $T_{2}$ (lub przestrzenią Hausdorffa) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej pary punktów $x,y\in X$ takiej, że $x\not =y$, istnieją rozłączne zbiory otwarte $U,V\subseteq X$ takie, że $x\in U,y\in V$.

Własności

1. Spełnianie aksjomatu $T_{2}$ jest własnością topologiczną.
2. Spełnianie aksjomatu $T_{2}$ jest własnością dziedziczną.
3. Produkt rodziny niepustych przestrzeni topologicznych jest przestrzenią $T_{2}$ wtedy i tylko wtedy, gdy każda z przestrzeni należących do tej rodziny jest $T_{2}$.
4. Każda przestrzeń $T_{2}$ jest przestrzenią $T_{1}$.
5. Przestrzeń $X$ jest $T_{2}$ wtedy i tylko wtedy, gdy przekątna $\Delta (X)=\{(x,x)\in X\times X:x\in X\}$ jest domkniętym podzbiorem przestrzeni $X\times X$.

   Dowód:

   Niech $X$ będzie przestrzenią topologiczną. Zauważmy, że $\Delta (X)$ jest domknięty w $X\times X$ wtedy i tylko wtedy, gdy $X\times X\setminus \Delta (X)$ jest otwarty w $X\times X$.

   [$\rightarrow$] Załóżmy, że $X$ jest $T_{2}$. Niech $(x,y)\in X\times X\setminus \Delta (X)$ będzie dowolne. Pokażemy, że istnieje otoczenie otwarte $(x,y)$ zawarte w $X\times X\setminus \Delta (X)$ (stąd wynika już otwartość $X\times X\setminus \Delta (X)$). Istotnie, istnieją otwarte, rozłączne podzbiory $U,V$ przestrzeni $X$ takie, że $x\in U,y\in V$. Stąd $U\times V$ jest otwartym podzbiorem $X\times X$ zawierającym punkt $(x,y)$, a ponieważ $U\cap V=\emptyset$, to $U\times V\cap \Delta (X)=\emptyset$.

   [$\leftarrow$] Załóżmy, że $\Delta (X)$ jest zbiorem domkniętym i weźmy $x,y\in X$ takie, że $x\not =y$. Wówczas $(x,y)\in X\times X\setminus \Delta (X)$. Ale $X\times X\setminus \Delta (X)$ jest zbiorem otwartym. Wobec tego istnieje zbiór bazowy $U\times V$ (gdzie $U,V$ są otwartymi podzbiorami $X$) taki, że $(x,y)\in U\times V\subseteq X\times X\setminus \Delta (X)$. Stąd zbiory $U,V$ są rozłącznymi, otwartymi otoczeniami odpowiednio $x$ i $y$. $\square$

6. Przestrzeń $X$ jest $T_{2}$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego punktu $x\in X$ przekrój domknięć wszystkich zbiorów otwartych zawierających $x$ jest zbiorem jednoelementowym $\{x\}$.

   Dowód:

   Niech $X$ będzie przestrzenią topologiczną. Dla $x\in X$ przez ${\mathcal {U}}(x)$ oznaczmy rodzinę domknięć zbiorów otwartych zawierających $x$, tzn. ${\mathcal {U}}(x)=\{\operatorname {Cl} (U):U\in {\mathcal {O}}_{X},x\in U\}$.

   [$\rightarrow$] Niech $X$ będzie $T_{2}$ i $x\in X$. Oczywiście $x\in \bigcap {\mathcal {U}}(x)$. Z drugiej strony, dla każdego $y\in X\setminus \{x\}$ istnieją rozłączne zbiory otwarte $U,V$ takie, że $x\in U,y\in V$. Gdyby $y\in \operatorname {Cl} U$, to $V\cap U\not =\emptyset$, zatem $y\not \in \operatorname {Cl} U$ i w konsekwencji $y\not \in \bigcap {\mathcal {U}}(x)$.

   [$\leftarrow$] Rozważmy dowolne $x,y\in X$ takie, że $x\not =y$. Ponieważ $y\not \in \{x\}=\bigcap {\mathcal {U}}(x)$, to istnieje otoczenie otwarte $U$ punktu $x$ takie, że $y\not \in \operatorname {Cl} U$. To z kolei oznacza, że istnieje otoczenie otwarte $V$ punktu $y$ takie, że $U\cap V=\emptyset$. $\square$

7. Jeśli $X$ jest dowolną przestrzenią topologiczną, zaś $Y$ jest przestrzenią $T_{2}$, to dla dowolnych funkcji ciągłych $f,g:X\to Y$ zbiór $\{x\in X:f(x)=g(x)\}$ jest domknięty w $X$.

   Dowód:

   Pokażemy, że dopełnienie zbioru $\{x\in X:f(x)=g(x)\}$ jest otwarte w $X$. Weźmy $y\in X$ takie, że $f(y)\not =g(y)$. Ponieważ $Y$ jest $T_{2}$, istnieją rozłączne zbiory otwarte $U,V\subseteq Y$ takie, że $f(y)\in U,g(y)\in V$. Niech $A=f^{-1}(U)\cap g^{-1}(V)$. Oczywiście, $A$ jest otwartym otoczeniem $y$. Ponadto, $A\subseteq X\smallsetminus \{x\in X:f(x)=g(x)\}$, gdyż $f(A)\cap g(A)\subseteq U\cap V=\emptyset$. $\square$

8. Jeśli $X$ jest dowolną przestrzenią topologiczną, zaś $Y$ jest przestrzenią $T_{2}$, to dla dowolnej funkcji ciągłej $f:X\to Y$ jej wykres $\Gamma (f)=\{(x,f(x))\in X\times Y:x\in X\}$ jest domknięty w $X\times Y$.

   Dowód:

   Niech odwzorowania ciągłe $f_{1},f_{2}:X\times Y\to Y$ będą zadane wzorami: $f_{1}(x,y)=x$, $f_{2}(x,y)=f(y)$. Zauważmy, że $\Gamma (f)=\{(x,y)\in X\times Y:f_{1}(x)=f_{2}(x)\}$, zatem z Własności 7. zbiór $\Gamma (f)$ jest domknięty. $\square$

• Ćwiczenie: Udowodnić własności podane wyżej bez dowodów.

Przykłady

Niżej podane przestrzenie są $T_{1}$ i nie są $T_{2}$:

1. dowolny zbiór nieskończony z topologią dopełnień zbiorów skończonych (patrz: rozdział 1., podrozdział "Przestrzeń topologiczna", przykład 4.);
2. zbiór mocy $\lambda$ z topologią dopełnień zbiorów mocy ostro mniejszej niż $\kappa$, gdzie $\kappa ,\lambda$ są liczbami kardynalnymi takimi, że $\kappa \leq \lambda$.

• Ćwiczenie: Wykazać, że wyżej podane przestrzenie faktycznie są $T_{1}$ i nie są $T_{2}$.

Przestrzenie T₃

Definicja

Przestrzeń topologiczna $X$ jest przestrzenią $T_{3}$ (lub przestrzenią regularną) wtedy i tylko wtedy, gdy $X$ jest przestrzenią $T_{1}$ oraz dla każdego zbioru domkniętego $F\subseteq X$ oraz punktu $x\in X\smallsetminus F$ istnieją rozłączne zbiory otwarte $U,V\subseteq X$ takie, że $F\subseteq U$, $x\in V$.

Część autorów rozróżnia pojęcia "przestrzeń regularna" i "przestrzeń $T_{3}$". Przestrzeniami regularnymi nazywa się czasem przestrzenie, w których można oddzielać zbiorami otwartymi punkty od zbiorów domkniętych, ale które nie muszą być $T_{1}$ (przykład takiej przestrzeni podamy poniżej), zaś przestrzeniami $T_{3}$ przestrzenie zdefiniowane powyżej. Zdarza się też sytuacja odwrotna.

Własności

1. Spełnianie aksjomatu $T_{3}$ jest własnością topologiczną.
2. Spełnianie aksjomatu $T_{3}$ jest własnością dziedziczną.
3. Produkt rodziny niepustych przestrzeni topologicznych jest przestrzenią $T_{3}$ wtedy i tylko wtedy, gdy każda z przestrzeni należących do tej rodziny jest $T_{3}$.
4. Każda przestrzeń $T_{3}$ jest przestrzenią $T_{2}$.
5. Przestrzeń topologiczna $X$ spełniająca warunek $T_{1}$ jest przestrzenią regularną wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego punktu $x\in X$ i jego otoczenia otwartego $U\subseteq X$ istnieje otoczenie otwarte $V\subseteq X$ punktu $x$ takie, że $\operatorname {Cl} (V)\subseteq U$.

   Dowód:

   [$\rightarrow$] Ustalmy $x\in X$ i otwarte otoczenie $U$ punktu $x$. Zbiór $F=X\smallsetminus U$ jest domknięty oraz $x\not \in F$, wobec czego istnieją rozłączne zbiory otwarte $A,B\subseteq X$ takie, że $x\in A$, $F\subseteq B$. Przyjmijmy $V=A$. Zauważmy, że $V\subseteq X\smallsetminus B$, ale $X\smallsetminus B$ jest domknięty, wobec czego $\operatorname {Cl} (V)\subseteq X\smallsetminus B\subseteq X\smallsetminus F=U$.

   [$\leftarrow$] Ustalmy zbiór domknięty $F\subseteq X$ oraz punkt $x\in X\smallsetminus F$. Zbiór $X\smallsetminus F$ jest otwartym otoczeniem $x$, wobec czego istnieje zbiór otwarty $V\subseteq X$ taki, że $x\in V\subseteq \operatorname {Cl} (V)\subseteq X\smallsetminus F$. Wobec tego $U=X\smallsetminus \operatorname {Cl} (V)$ jest otwarty, rozłączny z $V$ oraz $F\subseteq U$. $\square$

• Ćwiczenie: Udowodnić własności podane wyżej bez dowodów.

Przykłady

(dopisać)

Przestrzenie T_3,5

Definicja

Przestrzeń topologiczna $X$ jest przestrzenią $T_{3,5}$ (lub przestrzenią całkowicie regularną, przestrzenią Tichonowa) wtedy i tylko wtedy, gdy $X$ jest przestrzenią $T_{1}$ oraz dla każdego zbioru domkniętego $F\subseteq X$ oraz punktu $x\in X\smallsetminus F$ istnieje funkcja ciągła $f:X\to \mathbf {I}$ taka, że $f(x)=0$ i $\forall _{y\in F}f(y)=1$.

Mówimy, że funkcja $f$ z powyższej definicji oddziela zbiór $F$ od punktu $x$.

Część autorów rozróżnia pojęcia "przestrzeń całkowicie regularna" i "przestrzeń $T_{3,5}$". Przestrzeniami całkowicie regularnymi nazywa się czasem przestrzenie, w których można oddzielać funkcjami punkty od zbiorów domkniętych, ale które nie muszą być $T_{1}$ (przykład takiej przestrzeni podamy poniżej), zaś przestrzeniami $T_{3},5$ przestrzenie zdefiniowane powyżej. Zdarza się też sytuacja odwrotna.

Własności

1. Spełnianie aksjomatu $T_{3,5}$ jest własnością topologiczną.
2. Spełnianie aksjomatu $T_{3,5}$ jest własnością dziedziczną.
3. Produkt rodziny niepustych przestrzeni topologicznych jest przestrzenią $T_{3,5}$ wtedy i tylko wtedy, gdy każda z przestrzeni należących do tej rodziny jest $T_{3,5}$.
4. Każda przestrzeń $T_{3,5}$ jest przestrzenią $T_{3}$.
5. (dopisać)

• Ćwiczenie: Udowodnić własności podane wyżej bez dowodów.

Przestrzenie T₄

• Definicja
• Przykłady
• Własności

Przestrzenie T₅

• Definicja
• Przykłady
• Własności

Przestrzenie T₆

• Definicja
• Przykłady
• Własności

Aksjomaty oddzielania a przestrzenie ilorazowe

>> Zadania