Topologia ogólna/Przekształcenia ciągłe

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Przekształcenia ciągłe[edytuj]

W tym rozdziale wprowadzamy definicje funkcji ciągłej, otwartej, domkniętej, homeomorfizmu; podajemy podstawowe własności takich przekształceń. Korzystając z pojęcia ciągłości konstruujemy produkt przestrzeni topologicznych oraz przestrzeń ilorazową.

Funkcje ciągłe[edytuj]

Definicja[edytuj]

Niech: , będą przestrzeniami topologicznymi.

Funkcję nazywamy funkcją ciągłą, o ile .

Innymi słowy funkcja jest ciągła, jeśli przeciwobrazy zbiorów otwartych poprzez tę funkcję są zbiorami otwartymi.

Zauważmy, że ta sama funkcja , w zależności od topologii na zbiorach i może być lub nie być ciągła. O ile na zbiorach są z góry ustalone pewne wybrane topologie, mówienie o ciągłości funkcji nie prowadzi do nieporozumień. Kiedy jednak na przykład rozważamy dwie różne topologie na zbiorze , zapis przestaje być jednoznaczny. W związku z tym zamiast mówić o funkcjach ciągłych działających między zbiorami, będziemy mówili raczej o odwzorowaniach ciągłych działających między przestrzeniami topologicznymi. Tam gdzie to konieczne będziemy pisali: zamiast .

Własności[edytuj]

Niech będą przestrzeniami topologicznymi.

  1. Jak wykazaliśmy w rozdziale 1. (podrozdział "funkcje ciągłe", własność 3.), w przypadku gdy są przestrzeniami metrycznymi, powyższa definicja jest pewne orównoważna definicji wyrażonej w języku ε-δ (a zatem i definicji ciągowej) ciągłości.
  2. Jeśli i są funkcjami ciągłymi, to funkcja jest ciągła.
    Dowód:
    Weźmy dowolny zbiór . Musimy pokazać, że . Zauważmy, że . Z ciągłości mamy . Zatem, z ciągłości , .
  3. Definicję ciągłości można równoważnie sformułować na wiele sposobów. W szczególności, równoważne są następujące warunki:
    1. jest ciągła,
    2. ,
    3. Dla pewnej podbazy otwartej w : ,
    4. Dla pewnej bazy otwartej w : ,
    5. Dla pewnych systemów otoczeń , odpowiednio w i : .
      Dowód:
      [1.][2.]
      [1.][3.] Oczywiste, bo .
      [3.][4.] Elementy bazy są skończonymi przekrojami elementów podbazy . Zatem ich przeciwobrazy są skończonymi przekrojami przeciwobrazów elementów , więc z 3. są otwarte.
      [4.][5.] Weźmy dowolne i . Zauważmy, że ponieważ jest bazą w , to dla pewnej rodziny . Zatem . Ponadto , zatem . jest bazą otoczeń , zatem istnieje takie, że . Ponadto .
      [5.][1.] Weźmy dowolne. Dla dowolnego istnieje (z otwartości i definicji systemu otoczeń) takie, że . Z 5. istnieje zatem otoczenie otwarte punktu takie, że . Stąd , więc jest punktem wewnętrznyn . Z dowolności otrzymujemy, że jest zbiorem otwartym.

W zadaniach do tego rozdziału Czytelnik odnajdzie inne charakteryzacje ciągłości.

Przykłady[edytuj]

  1. Jeśli są przestrzeniami topologicznymi i ustalimy pewien element , to funkcja stała zadana: jest ciągła. Istotnie, , ale .
  2. Ćwiczenie: Przestrzeń topologiczna jest dyskretna wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej przestrzeni topologicznej i każdej funkcji funkcja jest ciągła.
  3. Ćwiczenie: Przestrzeń topologiczna jest antydyskretna wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej przestrzeni topologicznej i każdej funkcji funkcja jest ciągła.
  4. Jeśli jest przestrzenią topologiczną, i na ustalimy topologię podprzestrzeni, to naturalne włożenie (tzn. funkcja zadana dla każdego ) jest ciągłe. Przeciwobrazem dowolnego zbioru otwartego jest jego przekrój ze zbiorem , a zatem zbiór otwarty w .

Funkcje otwarte i domknięte[edytuj]

Definicje[edytuj]

Niech: , będą przestrzeniami topologicznymi.

Funkcję nazywamy otwartą, o ile .

Funkcję nazywamy domkniętą, o ile .

Zatem funkcje otwarte są to te odwzorowania, które przeprowadzają zbiory otwarte na zbiory otwarte. Podobnie, odwzorowania domknięte to te, które przeprowadzają zbiory domknięte na zbiory domknięte.

Zauważmy, że w powyższej definicji nie zakładamy, że jest odwzorowaniem ciągłym. Część jednak autorów żąda od odwzorowania otwartego (domkniętego) by było ciągłe.

Własności[edytuj]

Niech będą przestrzeniami topologicznymi.

  1. Jeśli , są przekształceniami otwartymi (domkniętymi), to jest przekształceniem otwartym (domkniętym).
  2. Jeśli jest bijekcją, to funkcja jest otwarta wtedy i tylko wtedy, gdy jest domknięta.
  3. Jeśli jest ciągłą bijekcją wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja odwrotna do jest otwartą (domkniętą) bijekcją.
  4. Funkcja jest otwarta wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje baza przestrzeni taka, że .
  • Ćwiczenie: Przeprowadzić dowody powyższych faktów.

Przykłady[edytuj]

  1. Jeśli jest dowolną przestrzenią topologiczną, zaś jest przestrzenią dyskretną, to każda funkcja jest otwarta i jest domknięta. Oczywiście funkcja ta na ogół nie jest ciągła.
  2. Naturalne włożenie odcinka domkniętego w przestrzeń jest odwzorowaniem ciągłym, domkniętym, ale nie otwartym.

Homeomorfizmy[edytuj]

Definicje[edytuj]

Niech będą przestrzeniami topologicznymi.

Homeomorfizmem z przestrzeni do przestrzeni nazywamy każdą funkcję ciągłą , odwracalną i taką, że funkcja odwrotna do jest ciągła.

Zauważmy, że jeśli jest homeomorfizmem, to jest również homeomorfizmem.

Przestrzenie nazywamy homeomorficznymi, o ile istnieje homeomorfizm z do (lub równoważnie, co wynika z powyższej uwagi, homeomorfizm z do ). Fakt, że przestrzenie są homeomorficzne, oznaczamy symbolem .

Własnością topologiczną nazywamy każdą taką własność przestrzeni topologicznych, że dana przestrzeń posiada ją wtedy i tylko wtedy, gdy posiada ją każda przestrzeń z nią homeomorficzna. Topologia jako nauka zajmuje się badaniem własności topologicznych przestrzeni. Z topologicznego punktu widzenia przestrzenie homeomorficzne są nierozróżnialne.

Włożeniem nazywamy funkcję ciągłą będącą homeomorfizmem na obraz (tzn. traktowana jako funkcja , gdzie na ustalona jest topologia podprzestrzeni względem , jest homeomorfizmem).

Własności[edytuj]

Niech będą przestrzeniami topologicznymi.

  1. Jeśli i są homeomorfizmami, to jest homeomorfizmem.
    Dowód:
    Funkcja jest ciągłą bijekcją jako złożenie ciągłych bijekcji. Ponadto, . Ponieważ są funkcjami ciągłymi, jest ciągła jako ich złożenie.
  2. Ciągła bijekcja jest homeomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy jest funkcją otwartą (funkcją domkniętą).
    Dowód:
    Dowód przeprowadzimy dla wersji twierdzenia mówiącej o funkcji otwartej. Dowód drugiej wersji jest analogiczny. Wprowadźmy oznaczenie: .
    [] Weźmy dowolny zbiór . Ponieważ jest bijekcją oraz jest ciągłe, to .
    [] Musimy pokazać, że jest ciągłe. Weźmy . Mamy: z otwartości .
  3. Jeśli jest ciągłą injekcją i jest otwarta lub jest domknięta, to jest włożeniem.
    Dowód:
    Dowód przeprowadzimy dla odwzorowania otwartego. Oczywiście jest bijekcją na obraz. Ponieważ dla każdego z otwartości mamy oraz , to . Wobec tego jest otwartą bijekcją. Z ostatniego twierdzenia otrzymujemy, że jest homeomorfizmem.
    Ćwiczenie: Wykazać, że otwartość (domkniętość) ciągłej injekcji jest warunkiem dostatecznym, ale nie koniecznym na to, żeby injekcja ta była włożeniem.

Przykłady[edytuj]

  1. Istnieją ciągłe bijekcje, które nie są homeomorfizmami. Rozważmy funkcję identycznościową , gdzie oznacza topologię dyskretną na . Jest ona oczywiście ciągłą bijekcją. Jednak nie jest ciągła, gdyż np. , ale .
  2. Homeomorficzne są dowolne dwa odcinki otwarte z topologiami standardowymi.
    Dowód:
    Nietrudno sprawdzić (ćwiczenie), że jest homeomorfizmem przekształcenie zadane dla każdego .
  3. Homeomorficzne są odcinek otwarty z topologią standardową i .
    Dowód:
    Odcinek jest homeomorficzny z odcinkiem . Funkcja tangens jest homeomorfizmem. Z faktu, że złożenie homeomorfizmów jest homeomorfizmem, otrzymujemy tezę.
  4. Ćwiczenie: Przestrzenie dyskretne (antydyskretne) są homoeomorficzne dokładnie wtedy, gdy .
  5. Ćwiczenie: Wykazać, że bycie przestrzenią: dyskretną (antydyskretną, skończoną, nieskończoną) jest własnością topologiczną.

Wprowadzanie topologii przez funkcje ciągłe[edytuj]

Minimalna topologia na dziedzinie[edytuj]

Niech będzie przestrzenią topologiczną, zbiorem, zaś funkcją.

Wprowadzimy na zbiorze pewną topologię , przy której funkcja będzie ciągła. Oczywiście, znalezienie jakiejkolwiek topologii na o tej własności nie jest trudne - wystarczy przyjąć . Nas jednak będzie interesowała najmniejsza topologia o tej własności. Zachodzi następujące twierdzenie:

jest najmniejszą topologią na przy której jest funkcją ciągłą.

Dowód:
Wykażemy najpierw, że jest topologią na . Zauważmy, że . Dalej, przypuśćmy że rodzina (gdzie ). Wówczas, z własności przeciwobrazu i definicji topologii na : . Z podobnych przyczyn dla (gdzie mamy: . Zatem jest topologią na .
Jest jasne, że jest ciągła.
Zauważmy teraz, że jeśli jest topologią na taką, że jest ciągła, to z definicji ciągłości , zatem .


Rozważmy teraz ogólniejszą wersję powyższego problemu.

Niech będzie rodziną przestrzeni topologicznych, zbiorem, zaś rodziną funkcji.

Wówczas jest podbazą najmniejszej topologii na takiej, że dla każdego funkcja jest ciągła.

Dowód:
Wykażemy najpierw, że jest podbazą pewnej topologii na . Oznaczmy przez rodzinę skończonych przekrojów elementów rodziny . Musimy pokazać, że spełnia aksjomaty bazy. Zauważmy, że dla dowolnego , zatem . Zatem . Weźmy teraz dowolne dwa elementy . Z definicji istnieją takie, że i . Stąd . Zatem jest bazą pewnej topologii na .
Wystarczy teraz zauważyć, że jeśli jest topologią na taką, że dla każdego funkcja jest ciągła, to . Stąd , gdyż jest najmniejszą topologią na zawierającą .
  • Ćwiczenie: Wykazać, że przy oznaczeniach powyższego twierdzenia zbiór , gdzie jest podbazą przestrzeni dla każdego , jest podbazą topologii .

Maksymalna topologia na przeciwdziedzinie[edytuj]

Rozważymy teraz sytuację w pewnym sensie odwrotną do opisanej w poprzednim podrozdziale. Będziemy bowiem przy ustalonej topologii na dziedzinie funkcji wprowadzali topologię na jej przeciwdziedzinie tak, aby dana funkcja była ciągła. Chcemy ponadto, aby wprowadzona topologia była największa z możliwych.

Niech będzie przestrzenią topologiczną, zbiorem, zaś funkcją.

Wówczas jest największą topologią na taką, że jest funkcją ciągłą.

Dowód:
Łatwo sprawdzamy, korzystając z własności przeciwobrazu, że jest topologią na
Oczywiście jest ciągła.
Nietrudno też wykazać, że jest największą topologią o żądanej własności. Jeśli bowiem i , to .
  • Ćwiczenie: Uzupełnić szczegóły dowodu.
  • Ćwiczenie: Wykazać, że jeśli jest rodziną przestrzeni topologicznych, zbiorem, zaś rodziną funkcji, to istnieje maksymalna topologia na przy której każda z funkcji jest ciągła.

Suma rozłączna przestrzeni topologicznych[edytuj]

Korzystając z ostatniego ćwiczenia zdefiniujemy koprodukt (lub inaczej: sumę rozłączną) rodziny przestrzeni topologicznych . Dla uproszczenia załóżmy, że przestrzenie należące do tej rodziny są parami rozłączne (w przeciwnym wypadku możemy dokonać urozłącznienia, dla każdego biorąc zamiast przestrzeni jej homeomorficzną kopię, której elementy są parami ). Koproduktem rodziny nazywamy wówczas przestrzeń z najbogatszą topologią taką, że włożenia , są ciągłe dla wszystkich . Przestrzeń tą oznaczamy symbolem .

  • Ćwiczenie: Wykazać, że zbiór jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego zbiór jest otwarty w .

Topologia Tichonowa[edytuj]

Definicja[edytuj]

W tym podrozdziale wprowadzimy pojęcie produktu rodziny przestrzeni topologicznych. Przypomnijmy najpierw pewne pojęcia teoriomnogościowe:

Produktem kartezjańskim rodziny zbiorów nazywamy zbiór .

Przy powyższych oznaczeniach rzutem na -tą współrzędną (gdzie ) nazywamy funkcję zadaną dla każdego .

Przejdziemy teraz do właściwej definicji, korzystającej z twierdzenia o istnieniu minimalnej topologii na dziedzinie rodziny funkcji.

Produktem rodziny przestrzeni topologicznych nazywamy przestrzeń topologiczną , gdzie jest produktem kartezjańskim rodziny zbiorów , zaś jest minimalną topologią na , przy której dla każdego rzutowanie jest funkcją ciągłą.

Powyżej zdefiniowaną topologię nazywamy topologią Tichonowa lub topologią produktową.

Własności[edytuj]

Przyjmijmy oznaczenia z powyższej definicji.

Uwaga: W poniższych rozważaniach, w celu ich uproszczenia, utożsamiamy funkcję ze zbiorem par uporządkowanych (to znaczy "zapominamy" o dziedzinie i przeciwdziedzinie).

[Komentarz wędrowca: pragnę zwrócić uwagę na nieścisłość nomenklaturową: funkcje SĄ zbiorami takich właśnie par. Trójka złożona z funkcji i dwóch zbiorów i , takich że nazywa się odwzorowaniem. W całym dokumencie przewija się ten błąd (Adam Kolany). ]


  1. Z twierdzenia o minimalnej topologii na dziedzinie wynika, że podbazą topologii produktowej jest zbiór .
  2. Zauważmy, że dla każdych zachodzi , gdzie dla każdego .
    Intuicyjnie, jest produktem kartezjańskim rodziny zbiorów powstałej przez zastąpienie w rodzinie -go zbioru przez zbiór (otwarty w ).
  3. Z powyższych rozważań wynika, że elementami bazy topologii produktowej są skończone iloczyny zbiorów postaci . Jak nietrudno zauważyć, są to produkty kartezjańskie rodzin zbiorów powstałych przez zastąpienie w rodzinie skończonej liczby przestrzeni przez ich podzbiory otwarte .
  4. Zauważmy jeszcze, że w przypadku gdy rozważana rodzina przestrzeni jest skończona (przyjmijmy np. ), to bazą topologii produktowej jest rodzina .
    Ćwiczenie: Wykazać, że w powyższym, skończonym przypadku bazą topologii Tichonowa jest zbiór , gdzie jest bazą dla każdego .
  5. Dla każdego rzutowanie jest odwzorowaniem otwartym.
    Dowód:
    Wystarczy wykazać (z własności odwzorwań otwartych), że dla zbiorów należących do bazy topologii produktowej. Z postaci zbiorów bazowych opisanej w 2. oraz definicji rzutowania wynika, że lub dla pewnego . Dowód jest zakończony.

Przykłady[edytuj]

  1. Produkt dowolnej rodziny przestrzeni antydyskretnych jest przestrzenią antydyskretną.
  2. Produkt rodziny przestrzeni dyskretnych o mocy większej niż jest przestrzenią dyskretną wtedy i tylko wtedy, gdy jest to rodzina skończona.
  3. Rozważmy przestrzenie skończone: i . Wówczas na topologią Tichonowa jest zbiór: .
  4. Przez , gdzie jest liczbą kardynalną zaś przestrzenią topologiczną, rozumiemy przestrzeń (to znaczy produkt kopii przestrzeni ) z topologią produktową.
    Niech .
    • Dla z topologią dyskretną przestrzeń nazywamy kostką Cantora o ciężarze .
    • Dla z topologią przestrzeń nazywamy kostką Aleskandrowa o ciężarze . Przestrzeń z tego przykładu nazywamy przestrzenią Sierpińskiego.
    • Dla przestrzeń nazywamy kostką Tichonowa o ciężarze .

Topologia ilorazowa[edytuj]

Definicja[edytuj]

Niech będą dane przestrzeń topologiczna i relacja równoważności .

Funkcją ilorazową nazywamy funkcję zadaną: dla każdego , gdzie oznacza zbiór ilorazowy, zaś klasę abstrakcji elementu względem relacji .

Topologią ilorazową na zbiorze ilorazowym nazywamy najbogatszą topologię na tym zbiorze, przy której funkcja ilorazowa jest ciągła. Przestrzeń nazywamy przestrzenią ilorazową przestrzeni względem relacji .

Jeżeli , to istnieje najmniejsza relacja równoważności taka, że dla każdych . Przestrzeń ilorazową względem tej relacji oznaczać będziemy przez . Intuicyjnie, przestrzeń ta powstaje poprzez "sklejenie" wszystkich punktów zbioru w jeden punkt.

Ogólniej, odwzorowaniem ilorazowym nazywamy każdą ciągłą surjekcję taką, że topologia na jest najbogatszą topologią, przy której jest ciągła.

Własności[edytuj]

[Komentarz wędrowca: uprasza się Autora o uporządkowanie oznaczeń. Ni przypiął ni przyłatał w następującym niżej tekście pojawia się tu i ówdzie funkcja . Pewno ma to być , ale może lepiej, zeby autor sam to poprawił?? (A.Kolany)]

  1. Niech będą dane przestrzeń i relacja równoważności na tej przestrzeni. niech będzie odwzorowaniem ilorazowym. Wówczas dla każdej przestrzeni i funkcji ciągłej takiej, że o ile , istnieje dokładnie jedna funkcja ciągła taka, że .
    Dowód:
    Przyjmijmy dla . Definicja ta jest niezależna od wyboru reprezentanta klasy , gdyż z założenia dla każdego . Funkcja jest zatem dobrze określona. Spełnia ona warunek i nietrudno zauważyć, że jest jedyną funkcją go spełniającą. Wykażmy ciągłość . Niech będzie zbiorem otwartym. Z definicji wynika, że . Zbiór jest otwarty z ciągłości funkcji . Wystarczy teraz zauważyć, że z definicji topologii na wynika, że jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest otwarty w . Wobec tego jest otwarty, zatem jest funkcją ciągłą.
  2. Niech będzie ciągłą surjekcją. Jeśli jest odwzorowaniem otwartym lub odwzorowaniem domkniętym, to jest odwzorowaniem ilorazowym.
    Dowód:
    Musimy wykazać, że dowolny podzbiór jest otwarty o ile jest otwarty. Przypuśćmy zatem, że jest otwarty. Jeśli jest odwzorowaniem otwartym, to jest również otwarty. Ale jest surjekcją, więc . Jeśli jest odwzorowaniem domkniętym, to jest zbiorem domkniętym. Ale .
  3. Niech będzie odwzorowaniem ilorazowym. Na określmy relację równoważności: wtedy i tylko wtedy, gdy . Wówczas przestrzenie i są homeomorficzne.
    Dowód:
    Przez oznaczmy odwzorowanie ilorazowe. Zdefiniujmy funkcję wzorem . Z definicji relacji wynika, że jest ona dobrze określona. Ponadto jest surjekcją, gdyż jest surjekcją. Wykażmy różnowartościowość . Przypuśćmy, że , to znaczy , co z kolei z definicji oznacza, że , czyli . Pozostaje wykazać ciągłość i otwartość . Nietrudno zauważyć, że dla mamy . Z ciągłości zbiór ten jest otwarty, o ile jest zbiorem otwartym, zatem z definicji topologii ilorazowej zbiór jest otwarty. Analogicznie, korzystając z faktu, że dla otrzymujemy, że jest otwarte, co kończy dowód.
  4. Surjekcja jest odwzorowaniem ilorazowym wtedy i tylko wtedy, gdy posiada następującą własność: dla każdej przestrzeni topologicznej i odwzorowania odwzorowanie jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy odwzorowanie jest ciągłe.
    Dowód:
    [] Pokażmy, że jeśli jest odwzorowaniem ilorazowym, to własność powyższa zachodzi. Weźmy dowolne odwzorowanie . Przypuśćmy, że jest ciągłe. Niech będzie zbiorem otwartym. Z ciągłości zbiór jest otwarty, ale . Ponieważ jest odwzorowaniem ilorazowym, oznacza to, że zbiór jest otwarty. Stąd jest ciągłe. Z drugiej strony, jeśli jest ciągłe, to jest ciągłe jako złożenie odwzorowań ciągłych.
    [] Wykażmy teraz, że jeśli własność powyższa zachodzi, to jest odwzorowaniem ilorazowym. Wykażmy najpierw ciągłość . Gdyby istniało otwarte i takie, że nie byłoby otwarte, to dla odwzorowania identycznościowego otrzymalibyśmy sprzeczność z założeniem, bowiem tak zdefiniowane jest ciągłe, zaś nie jest ciągłe. Przypuśćmy teraz, że topologia na nie jest maksymalną topologią, przy której jest ciągłe. Oznacza to, że istnieje zbiór taki, że jest otwarty, zaś nie jest otwarty. Niech będzie przestrzenią dwupunktową Sierpińskiego (tzn. ). Zdefiniujmy wzorem: . Wówczas jest funkcją ciągłą, zaś nie jest ciągłe.
  • Ćwiczenie: Wykazać, że ostatnie z powyższych twierdzeń nie zachodzi, jeśli o nie założymy, że jest surjekcją.

Przykłady[edytuj]

  1. Przestrzeń jest homeomorficzna z przestrzenią .
    Wykażmy prawdziwość tego stwierdzenia. Ponieważ , zaś jest w naturalny sposób homeomorficzne z , możemy utożsamiać ze zbiorem . Rozważmy odwzorowanie ciągłe zadane wzorem . Ponieważ , indukuje ono odwzorowanie ciągłe . Nietrudno sprawdzić, że jest bijekcją. Weźmy zbiór otwarty w topologii ilorazowej na . Mamy: , gdzie jest odwzorowaniem ilorazowym. Pokażemy, że dla każdego punktu istnieje jego otoczenie otwarte . Będzie to oznaczało, że zbiór jest otwarty, co wobec dowolności wykaże otwartość odwzorowania . Niech zatem oraz . Ponieważ jest ciągłe, jest otwarte w . Jeśli zatem , to i istnieje takie, że . Jeśli zaś , to oraz istnieje takie, że . W obu wypadkach nietrudno pokazać, że jest otwarte w .
  2. Przestrzeń jest homeomorficzna z przestrzenią . Intuicyjnie fakt ten nie jest trudny do przyjęcia, formalny dowód pozostawiamy jako ćwiczenie dla Czytelnika. Jego wykonanie może okazać się łatwiejsze po ukończeniu lektury dalszych rozdziałów.
  3. Rozważmy przestrzeń oraz najmniejsze relacje równoważności takie, że:
    • oraz ,
    • oraz ,
    • dla każdego .

    Przestrzeń nazywamy torusem 2-wymiarowym, butelką Kleina, zaś wstęgą Mōbiusa.

  4. Niech będzie dana przestrzeń topologiczna . Stożkiem nad tą przestrzenią nazywamy przestrzeń , zaś zawieszeniem nazywamy przestrzeń , gdzie jest najmniejszą relacją równoważności na taką, że oraz dla każdych .
  5. W przestrzeni rozważmy relację taką, że wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie, że dla każdego . Przestrzeń nazywamy -wymiarową rzeczywistą przestrzenią rzutową i oznaczamy .

>> Zadania