Topologia ogólna/Przekształcenia ciągłe

Przekształcenia ciągłe

W tym rozdziale wprowadzamy definicje funkcji ciągłej, otwartej, domkniętej, homeomorfizmu; podajemy podstawowe własności takich przekształceń. Korzystając z pojęcia ciągłości konstruujemy produkt przestrzeni topologicznych oraz przestrzeń ilorazową.

Funkcje ciągłe

Definicja

Niech: $(X,{\mathcal {O}}_{X})$, $(Y,{\mathcal {O}}_{Y})$ będą przestrzeniami topologicznymi.

Funkcję $f:X\to Y$ nazywamy funkcją ciągłą, o ile $\forall _{U\in {\mathcal {O}}_{Y}}f^{-1}(U)\in {\mathcal {O}}_{X}$.

Innymi słowy funkcja $f:X\to Y$ jest ciągła, jeśli przeciwobrazy zbiorów otwartych poprzez tę funkcję są zbiorami otwartymi.

Zauważmy, że ta sama funkcja $f:X\to Y$, w zależności od topologii na zbiorach $X$ i $Y$ może być lub nie być ciągła. O ile na zbiorach $X,Y$ są z góry ustalone pewne wybrane topologie, mówienie o ciągłości funkcji $f:X\to Y$ nie prowadzi do nieporozumień. Kiedy jednak na przykład rozważamy dwie różne topologie ${\mathcal {O}}_{1},{\mathcal {O}}_{2}$ na zbiorze $X$, zapis $f:X\to X$ przestaje być jednoznaczny. W związku z tym zamiast mówić o funkcjach ciągłych działających między zbiorami, będziemy mówili raczej o odwzorowaniach ciągłych działających między przestrzeniami topologicznymi. Tam gdzie to konieczne będziemy pisali: $f:(X,{\mathcal {O}}_{X})\to (Y,{\mathcal {O}}_{Y})$ zamiast $f:X\to Y$.

Własności

Niech $(X,{\mathcal {O}}_{X}),(Y,{\mathcal {O}}_{Y}),(Z,{\mathcal {O}}_{Z})$ będą przestrzeniami topologicznymi.

1. Jak wykazaliśmy w rozdziale 1. (podrozdział "funkcje ciągłe", własność 3.), w przypadku gdy $X,Y$ są przestrzeniami metrycznymi, powyższa definicja jest pewne orównoważna definicji wyrażonej w języku ε-δ (a zatem i definicji ciągowej) ciągłości.
2. Jeśli $f:X\to Y$ i $g:Y\to Z$ są funkcjami ciągłymi, to funkcja $(g\circ f):X\to Z$ jest ciągła.

   Dowód:

   Weźmy dowolny zbiór $U\in {\mathcal {O}}_{Z}$. Musimy pokazać, że $(g\circ f)^{-1}(U)\in {\mathcal {O}}_{X}$. Zauważmy, że $(g\circ f)^{-1}(U)=f^{-1}(g^{-1}(U))$. Z ciągłości $g$ mamy $g^{-1}(U)\in {\mathcal {O}}_{Y}$. Zatem, z ciągłości $f$, $f^{-1}(g^{-1}(U))\in {\mathcal {O}}_{X}$. $\square$

3. Definicję ciągłości można równoważnie sformułować na wiele sposobów. W szczególności, równoważne są następujące warunki:
   1. $f:X\to Y$ jest ciągła,
   2. $\forall _{F\in {\mathcal {F}}_{Y}}f^{-1}(F)\in {\mathcal {F}}_{X}$,
   3. Dla pewnej podbazy otwartej ${\mathcal {P}}_{Y}$ w $Y$: $\forall _{U\in {\mathcal {P}}_{Y}}f^{-1}(P)\in {\mathcal {O}}_{X}$,
   4. Dla pewnej bazy otwartej ${\mathcal {B}}_{Y}$ w $Y$: $\forall _{U\in {\mathcal {B}}_{Y}}f^{-1}(P)\in {\mathcal {O}}_{X}$,
   5. Dla pewnych systemów otoczeń $\{{\mathcal {B}}(x)\}_{x\in X}$, $\{{\mathcal {G}}(y)\}_{y\in Y}$ odpowiednio w $X$ i $Y$: $\forall _{x\in X}\forall _{G\in {\mathcal {G}}(f(x))}\exists _{B\in {\mathcal {B}}(x)}f(B)\subseteq G$.

      Dowód:

      [1.]$\leftrightarrow$[2.] $\forall _{U\in {\mathcal {O}}_{Y}}f^{-1}(U)\in {\mathcal {O}}_{X}\iff$$\forall _{U\in {\mathcal {O}}_{Y}}X\setminus f^{-1}(U)\in {\mathcal {F}}_{X}\iff$$\forall _{U\in {\mathcal {O}}_{Y}}f^{-1}(Y\setminus U)\in {\mathcal {F}}_{X}\iff \forall _{F\in {\mathcal {F}}_{Y}}f^{-1}(F)\in {\mathcal {F}}_{X}$

      [1.]$\rightarrow$[3.] Oczywiste, bo ${\mathcal {P}}_{Y}\subseteq {\mathcal {O}}_{Y}$.

      [3.]$\rightarrow$[4.] Elementy bazy ${\mathcal {B}}_{Y}$ są skończonymi przekrojami elementów podbazy ${\mathcal {P}}_{Y}$. Zatem ich przeciwobrazy są skończonymi przekrojami przeciwobrazów elementów ${\mathcal {P}}_{Y}$, więc z 3. są otwarte.

      [4.]$\rightarrow$[5.] Weźmy dowolne $x\in X$ i $G\in {\mathcal {G}}(x)$. Zauważmy, że ponieważ ${\mathcal {B}}_{Y}$ jest bazą w $Y$, to $G=\bigcup _{i\in I}B_{i}$ dla pewnej rodziny $\{B_{i}\}_{i\in I}\subseteq {\mathcal {B}}_{Y}$. Zatem $f^{-1}(G)=f^{-1}(\bigcup _{i\in I}B_{i})=\bigcup _{i\in I}f^{-1}(B_{i})\in {\mathcal {O}}_{X}$. Ponadto $f(x)\in G$, zatem $x\in f^{-1}(G)$. ${\mathcal {B}}(x)$ jest bazą otoczeń $x$, zatem istnieje $B\in {\mathcal {B}}(x)$ takie, że $B\subseteq f^{-1}(G)$. Ponadto $f(B)\subseteq f(f^{-1}(G))\subseteq G$.

      [5.]$\rightarrow$[1.] Weźmy $U\in {\mathcal {O}}_{Y}$ dowolne. Dla dowolnego $x\in f^{-1}(U)$ istnieje (z otwartości $U$ i definicji systemu otoczeń) $G\in {\mathcal {G}}(f(x))$ takie, że $G\subseteq U$. Z 5. istnieje zatem otoczenie otwarte $B\in {\mathcal {B}}(x)$ punktu $x$ takie, że $f(B)\subseteq G\subseteq U$. Stąd $B\subseteq f^{-1}(U)$, więc $x$ jest punktem wewnętrznyn $f^{-1}(U)$. Z dowolności $x$ otrzymujemy, że $f^{-1}(U)$ jest zbiorem otwartym. $\square$

W zadaniach do tego rozdziału Czytelnik odnajdzie inne charakteryzacje ciągłości.

Przykłady

1. Jeśli $(X,{\mathcal {O}}_{X}),(Y,{\mathcal {O}}_{Y})$ są przestrzeniami topologicznymi i ustalimy pewien element $y\in Y$, to funkcja stała $f:X\to Y$ zadana: $\forall _{x\in X}f(x)=y$ jest ciągła. Istotnie, $f^{-1}(U)=\left\{{\begin{matrix}\emptyset ,y\not \in U\\X,y\in U\end{matrix}}\right.$, ale $\emptyset ,X\in {\mathcal {O}}_{X}$.
2. Ćwiczenie: Przestrzeń topologiczna $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ jest dyskretna wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej przestrzeni topologicznej $(Y,{\mathcal {O}}_{Y})$ i każdej funkcji $f:X\to Y$ funkcja $f$ jest ciągła.
3. Ćwiczenie: Przestrzeń topologiczna $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ jest antydyskretna wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej przestrzeni topologicznej $(Y,{\mathcal {O}}_{Y})$ i każdej funkcji $f:Y\to X$ funkcja $f$ jest ciągła.
4. Jeśli $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ jest przestrzenią topologiczną, $A\subseteq X$ i na $A$ ustalimy topologię podprzestrzeni, to naturalne włożenie $i:A\hookrightarrow X$ (tzn. funkcja zadana $f(a)=a$ dla każdego $a\in A$) jest ciągłe. Przeciwobrazem dowolnego zbioru otwartego jest jego przekrój ze zbiorem $A$, a zatem zbiór otwarty w $A$.

Funkcje otwarte i domknięte

Definicje

Niech: $(X,{\mathcal {O}}_{X})$, $(Y,{\mathcal {O}}_{Y})$ będą przestrzeniami topologicznymi.

Funkcję $f:X\to Y$ nazywamy otwartą, o ile $\forall _{U\in {\mathcal {O}}_{X}}f(U)\in {\mathcal {O}}_{Y}$.

Funkcję $f:X\to Y$ nazywamy domkniętą, o ile $\forall _{U\in {\mathcal {F}}_{X}}f(U)\in {\mathcal {F}}_{Y}$.

Zatem funkcje otwarte są to te odwzorowania, które przeprowadzają zbiory otwarte na zbiory otwarte. Podobnie, odwzorowania domknięte to te, które przeprowadzają zbiory domknięte na zbiory domknięte.

Zauważmy, że w powyższej definicji nie zakładamy, że $f$ jest odwzorowaniem ciągłym. Część jednak autorów żąda od odwzorowania otwartego (domkniętego) by było ciągłe.

Własności

Niech $(X,{\mathcal {O}}_{X}),(Y,{\mathcal {O}}_{Y}),(Z,{\mathcal {O}}_{Z})$ będą przestrzeniami topologicznymi.

1. Jeśli $f:X\to Y$, $g:Y\to Z$ są przekształceniami otwartymi (domkniętymi), to $(g\circ f):X\to Z$ jest przekształceniem otwartym (domkniętym).
2. Jeśli $f:X\to Y$ jest bijekcją, to funkcja $f$ jest otwarta wtedy i tylko wtedy, gdy jest domknięta.
3. Jeśli $f:X\to Y$ jest ciągłą bijekcją wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja $f^{-1}:Y\to X$ odwrotna do $f$ jest otwartą (domkniętą) bijekcją.
4. Funkcja $f:X\to Y$ jest otwarta wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje baza ${\mathcal {B}}$ przestrzeni $X$ taka, że $\forall _{U\in {\mathcal {B}}}f(U)\in {\mathcal {O}}_{Y}$.

• Ćwiczenie: Przeprowadzić dowody powyższych faktów.

Przykłady

1. Jeśli $X$ jest dowolną przestrzenią topologiczną, zaś $Y$ jest przestrzenią dyskretną, to każda funkcja $f:X\to Y$ jest otwarta i jest domknięta. Oczywiście funkcja ta na ogół nie jest ciągła.
2. Naturalne włożenie odcinka domkniętego $\mathbf {I}$ w przestrzeń $\mathbf {E}$ jest odwzorowaniem ciągłym, domkniętym, ale nie otwartym.

Homeomorfizmy

Definicje

Niech $(X,{\mathcal {O}}_{X}),(Y,{\mathcal {O}}_{Y})$ będą przestrzeniami topologicznymi.

Homeomorfizmem z przestrzeni $X$ do przestrzeni $Y$ nazywamy każdą funkcję ciągłą $f:X\to Y$, odwracalną i taką, że funkcja $f^{-1}:Y\to X$ odwrotna do $f$ jest ciągła.

Zauważmy, że jeśli $f:X\to Y$ jest homeomorfizmem, to $f^{-1}:Y\to X$ jest również homeomorfizmem.

Przestrzenie $X,Y$ nazywamy homeomorficznymi, o ile istnieje homeomorfizm z $X$ do $Y$ (lub równoważnie, co wynika z powyższej uwagi, homeomorfizm z $Y$ do $X$). Fakt, że przestrzenie $X,Y$ są homeomorficzne, oznaczamy symbolem $X\simeq Y$.

Własnością topologiczną nazywamy każdą taką własność przestrzeni topologicznych, że dana przestrzeń posiada ją wtedy i tylko wtedy, gdy posiada ją każda przestrzeń z nią homeomorficzna. Topologia jako nauka zajmuje się badaniem własności topologicznych przestrzeni. Z topologicznego punktu widzenia przestrzenie homeomorficzne są nierozróżnialne.

Włożeniem nazywamy funkcję ciągłą $f:X\to Y$ będącą homeomorfizmem na obraz (tzn. $f$ traktowana jako funkcja $f:X\to f(X)$, gdzie na $f(X)$ ustalona jest topologia podprzestrzeni względem $Y$, jest homeomorfizmem).

Własności

Niech $(X,{\mathcal {O}}_{X}),(Y,{\mathcal {O}}_{Y}),(Z,{\mathcal {O}}_{Z})$ będą przestrzeniami topologicznymi.

1. Jeśli $f:X\to Y$ i $g:Y\to Z$ są homeomorfizmami, to $(g\circ f):X\to Z$ jest homeomorfizmem.

   Dowód:

   Funkcja $(g\circ f)$ jest ciągłą bijekcją jako złożenie ciągłych bijekcji. Ponadto, $(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$. Ponieważ $f^{-1},g^{-1}$ są funkcjami ciągłymi, $(g\circ f)^{-1}$ jest ciągła jako ich złożenie. $\square$

2. Ciągła bijekcja $f:X\to Y$ jest homeomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy jest funkcją otwartą (funkcją domkniętą).

   Dowód:

   Dowód przeprowadzimy dla wersji twierdzenia mówiącej o funkcji otwartej. Dowód drugiej wersji jest analogiczny. Wprowadźmy oznaczenie: $g=f^{-1}:Y\to X$.

   [$\rightarrow$] Weźmy dowolny zbiór $U\in {\mathcal {O}}_{X}$. Ponieważ $f$ jest bijekcją oraz $g$ jest ciągłe, to $f(U)=g^{-1}(U)\in {\mathcal {O}}_{Y}$.

   [$\leftarrow$] Musimy pokazać, że $g$ jest ciągłe. Weźmy $U\in {\mathcal {O}}_{X}$. Mamy: $g^{-1}(U)=f(U)\in {\mathcal {O}}_{Y}$ z otwartości $f$. $\square$

3. Jeśli $f:X\to Y$ jest ciągłą injekcją i jest otwarta lub jest domknięta, to $f$ jest włożeniem.

   Dowód:

   Dowód przeprowadzimy dla odwzorowania otwartego. Oczywiście $f$ jest bijekcją na obraz. Ponieważ dla każdego $U\in {\mathcal {O}}_{X}$ z otwartości $f$ mamy $f(U)\in {\mathcal {O}}_{Y}$ oraz $f(U)\subseteq f(X)$, to $f(U)\in {\mathcal {O}}_{f(X)}$. Wobec tego $f:X\to f(X)$ jest otwartą bijekcją. Z ostatniego twierdzenia otrzymujemy, że $f:X\to f(X)$ jest homeomorfizmem. $\square$

   Ćwiczenie: Wykazać, że otwartość (domkniętość) ciągłej injekcji jest warunkiem dostatecznym, ale nie koniecznym na to, żeby injekcja ta była włożeniem.

Przykłady

1. Istnieją ciągłe bijekcje, które nie są homeomorfizmami. Rozważmy funkcję identycznościową $id:(\mathbb {R} ,{\mathcal {O}}_{d})\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {O}}_{E})$, gdzie ${\mathcal {O}}_{d}$ oznacza topologię dyskretną na $\mathbb {R}$. Jest ona oczywiście ciągłą bijekcją. Jednak $id^{-1}=id:(\mathbb {R} ,{\mathcal {O}}_{E})\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {O}}_{d})$ nie jest ciągła, gdyż np. $\{0\}\in {\mathcal {O}}_{d}$, ale $\{0\}=id^{-1}(\{0\})\not \in {\mathcal {O}}_{E}$.
2. Homeomorficzne są dowolne dwa odcinki otwarte $(a;b),(c;d)\subseteq \mathbb {R}$ z topologiami standardowymi.

   Dowód:

   Nietrudno sprawdzić (ćwiczenie), że jest homeomorfizmem przekształcenie $f:(a;b)\to (c;d)$ zadane $f(x)=c+(x-a){\frac {d-c}{b-a}}$ dla każdego $x\in (a;b)$. $\square$

3. Homeomorficzne są odcinek otwarty $(a;b)$ z topologią standardową i $\mathbf {E}$.

   Dowód:

   Odcinek $(a;b)$ jest homeomorficzny z odcinkiem $\left(-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right)$. Funkcja tangens $\operatorname {tg} :\left(-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right)\to \mathbb {R}$ jest homeomorfizmem. Z faktu, że złożenie homeomorfizmów jest homeomorfizmem, otrzymujemy tezę. $\square$

4. Ćwiczenie: Przestrzenie dyskretne (antydyskretne) $X,Y$ są homoeomorficzne dokładnie wtedy, gdy $|X|=|Y|$.
5. Ćwiczenie: Wykazać, że bycie przestrzenią: dyskretną (antydyskretną, skończoną, nieskończoną) jest własnością topologiczną.

Wprowadzanie topologii przez funkcje ciągłe

Minimalna topologia na dziedzinie

Niech $(Y,{\mathcal {O}}_{Y})$ będzie przestrzenią topologiczną, $X$ zbiorem, zaś $f:X\to Y$ funkcją.

Wprowadzimy na zbiorze $X$ pewną topologię ${\mathcal {T}}$, przy której funkcja $f:(X,{\mathcal {T}})\to (Y,{\mathcal {O}}_{Y})$ będzie ciągła. Oczywiście, znalezienie jakiejkolwiek topologii na $X$ o tej własności nie jest trudne - wystarczy przyjąć ${\mathcal {T}}=2^{X}$. Nas jednak będzie interesowała najmniejsza topologia o tej własności. Zachodzi następujące twierdzenie:

${\mathcal {T}}=\{f^{-1}(U):U\in {\mathcal {O}}_{Y}\}$ jest najmniejszą topologią na $X$ przy której $f:X\to Y$ jest funkcją ciągłą.

Dowód:

Wykażemy najpierw, że ${\mathcal {T}}$ jest topologią na $X$. Zauważmy, że $\emptyset =f^{-1}(\emptyset ),X=f^{-1}(Y)\in {\mathcal {T}}$. Dalej, przypuśćmy że rodzina $\{f^{-1}(U_{i})\}_{i\in I}\subseteq {\mathcal {T}}$ (gdzie $\forall _{i\in I}U_{i}\in {\mathcal {O}}_{Y}$). Wówczas, z własności przeciwobrazu i definicji topologii na $Y$: $\bigcup _{i\in I}f^{-1}(U_{i})=f^{-1}(\bigcup _{i\in I}U_{i})\in {\mathcal {T}}$. Z podobnych przyczyn dla $f^{-1}(U),f^{-1}(V)\in {\mathcal {T}}$ (gdzie $U,V\in {\mathcal {O}}_{Y}$ mamy: $f^{-1}(U)\cap f^{-1}(V)=f^{-1}(U\cap V)\in {\mathcal {T}}$. Zatem ${\mathcal {T}}$ jest topologią na $X$.

Jest jasne, że $f:(X,{\mathcal {T}})\to (Y,{\mathcal {O}})$ jest ciągła.

Zauważmy teraz, że jeśli ${\mathcal {T}}_{1}$ jest topologią na $X$ taką, że $f:(X,{\mathcal {T}}_{1})\to (Y,{\mathcal {O}}_{Y})$ jest ciągła, to z definicji ciągłości $\forall _{U\in {\mathcal {O}}_{Y}}f^{-1}(U)\in {\mathcal {T}}_{1}$, zatem ${\mathcal {T}}\subseteq {\mathcal {T}}_{1}$. $\square$

Rozważmy teraz ogólniejszą wersję powyższego problemu.

Niech $\{(Y_{i},{\mathcal {O}}_{i})\}_{i\in I}$ będzie rodziną przestrzeni topologicznych, $X$ zbiorem, zaś $\{f:X\to Y_{i}\}_{i\in I}$ rodziną funkcji.

Wówczas ${\mathcal {P}}=\bigcup _{i\in I}\{f_{i}^{-1}(U):U\in {\mathcal {O}}_{i}\}$ jest podbazą najmniejszej topologii ${\mathcal {T}}$ na $X$ takiej, że dla każdego $i\in I$ funkcja $f_{i}:(X,{\mathcal {T}})\to (Y_{i},{\mathcal {O}}_{i})$ jest ciągła.

Dowód:

Wykażemy najpierw, że ${\mathcal {P}}$ jest podbazą pewnej topologii na $X$. Oznaczmy przez ${\mathcal {B}}$ rodzinę skończonych przekrojów elementów rodziny ${\mathcal {P}}$. Musimy pokazać, że ${\mathcal {B}}$ spełnia aksjomaty bazy. Zauważmy, że $X=f^{-1}(Y_{i})$ dla dowolnego $i\in I$, zatem $X\in {\mathcal {P}}\subseteq {\mathcal {B}}$. Zatem $\bigcup {\mathcal {B}}=X$. Weźmy teraz dowolne dwa elementy $B_{1},B_{2}\in {\mathcal {B}}$. Z definicji ${\mathcal {B}}$ istnieją $P_{1},P_{2},\dots ,P_{n},P_{n+1},\dots ,P_{n+m}\in {\mathcal {P}}$ takie, że $B_{1}=\bigcap _{k=1}^{n}P_{k}$ i $B_{2}=\bigcap _{k=n+1}^{n+m}P_{k}$. Stąd $B_{1}\cap B_{2}=\bigcap _{k=1}^{n+m}P_{k}\in {\mathcal {B}}$. Zatem ${\mathcal {B}}$ jest bazą pewnej topologii na $X$.

Wystarczy teraz zauważyć, że jeśli ${\mathcal {T}}_{1}$ jest topologią na $X$ taką, że dla każdego $i\in I$ funkcja $f_{i}:(X,{\mathcal {T}}_{1})\to (Y,{\mathcal {O}})$ jest ciągła, to ${\mathcal {P}}\subseteq {\mathcal {T}}_{1}$. Stąd ${\mathcal {T}}\subseteq {\mathcal {T}}_{1}$, gdyż ${\mathcal {T}}$ jest najmniejszą topologią na $X$ zawierającą ${\mathcal {P}}$. $\square$

• Ćwiczenie: Wykazać, że przy oznaczeniach powyższego twierdzenia zbiór ${\mathcal {P}}^{*}=\bigcup _{i\in I}\{f^{-1}(P):P\in \mathbf {P} _{i}\}$, gdzie $\mathbf {P} _{i}$ jest podbazą przestrzeni $(Y_{i},{\mathcal {O}}_{i})$ dla każdego $i\in I$, jest podbazą topologii ${\mathcal {T}}$.

Maksymalna topologia na przeciwdziedzinie

Rozważymy teraz sytuację w pewnym sensie odwrotną do opisanej w poprzednim podrozdziale. Będziemy bowiem przy ustalonej topologii na dziedzinie funkcji wprowadzali topologię na jej przeciwdziedzinie tak, aby dana funkcja była ciągła. Chcemy ponadto, aby wprowadzona topologia była największa z możliwych.

Niech $(X,{\mathcal {O}})$ będzie przestrzenią topologiczną, $Y$ zbiorem, zaś $f:X\to Y$ funkcją.

Wówczas ${\mathcal {T}}=\{U:f^{-1}(U)\in {\mathcal {O}}\}$ jest największą topologią na $Y$ taką, że $f:(X,{\mathcal {O}})\to (Y,{\mathcal {T}})$ jest funkcją ciągłą.

Dowód:

Łatwo sprawdzamy, korzystając z własności przeciwobrazu, że ${\mathcal {T}}$ jest topologią na $Y$

Oczywiście $f:(X,{\mathcal {O}})\to (Y,{\mathcal {T}})$ jest ciągła.

Nietrudno też wykazać, że ${\mathcal {T}}$ jest największą topologią o żądanej własności. Jeśli bowiem $V\in 2^{X}$ i $V\not \in {\mathcal {T}}$, to $f^{-1}(V)\not \in {\mathcal {O}}$. $\square$

• Ćwiczenie: Uzupełnić szczegóły dowodu.
• Ćwiczenie: Wykazać, że jeśli $\{(X_{i},{\mathcal {O}}_{i})\}_{i\in I}$ jest rodziną przestrzeni topologicznych, $Y$ zbiorem, zaś $\{f_{i}:X_{i}\to Y\}_{i\in I}$ rodziną funkcji, to istnieje maksymalna topologia ${\mathcal {T}}$ na $Y$ przy której każda z funkcji $f_{i}:(X_{i},{\mathcal {O}}_{i})\to (Y,{\mathcal {T}})$ jest ciągła.

Suma rozłączna przestrzeni topologicznych

Korzystając z ostatniego ćwiczenia zdefiniujemy koprodukt (lub inaczej: sumę rozłączną) rodziny przestrzeni topologicznych $\{X_{i}\}_{i\in I}$. Dla uproszczenia załóżmy, że przestrzenie należące do tej rodziny są parami rozłączne (w przeciwnym wypadku możemy dokonać urozłącznienia, dla każdego $i\in I$ biorąc zamiast przestrzeni $X_{i}$ jej homeomorficzną kopię, której elementy są parami $(x,i)\in X_{i}\times \{i\}$). Koproduktem rodziny $\{X_{i}\}_{i\in I}$ nazywamy wówczas przestrzeń $\bigcup _{i\in I}X_{i}$ z najbogatszą topologią taką, że włożenia $j_{i}:X_{i}\hookrightarrow \bigcup _{i\in I}X_{i}$, $j_{i}(x)=x$ są ciągłe dla wszystkich $i\in I$. Przestrzeń tą oznaczamy symbolem $\coprod _{i\in I}X_{i}$.

• Ćwiczenie: Wykazać, że zbiór $U\subseteq \coprod _{i\in I}X_{i}$ jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $i\in I$ zbiór $U\cap X_{i}$ jest otwarty w $X_{i}$.

Topologia Tichonowa

Definicja

W tym podrozdziale wprowadzimy pojęcie produktu rodziny przestrzeni topologicznych. Przypomnijmy najpierw pewne pojęcia teoriomnogościowe:

Produktem kartezjańskim rodziny zbiorów $\{X_{i}\}_{i\in I}$ nazywamy zbiór $\prod _{i\in I}X_{i}=\{f:I\to \bigcup _{i\in I}X_{i}:\forall _{i\in I}f(i)\in X_{i}\}$.

Przy powyższych oznaczeniach rzutem na $j$-tą współrzędną (gdzie $j\in I$) nazywamy funkcję $p_{j}:\prod _{i\in I}X_{i}\to X_{j}$ zadaną $p_{j}(f)=f(j)$ dla każdego $f\in \prod _{i\in I}X_{i}$.

Przejdziemy teraz do właściwej definicji, korzystającej z twierdzenia o istnieniu minimalnej topologii na dziedzinie rodziny funkcji.

Produktem rodziny przestrzeni topologicznych $\{(X_{i},{\mathcal {O}}_{i})\}_{i\in I}$ nazywamy przestrzeń topologiczną $(\prod _{i\in I}X_{i},{\mathcal {T}})$, gdzie $\prod _{i\in I}X_{i}$ jest produktem kartezjańskim rodziny zbiorów $\{X_{i}\}_{i\in I}$, zaś ${\mathcal {T}}$ jest minimalną topologią na $\prod _{i\in I}X_{i}$, przy której dla każdego $j\in I$ rzutowanie $p_{j}:(\prod _{i\in I}X_{i},{\mathcal {T}})\to (X_{j},{\mathcal {O}}_{j})$ jest funkcją ciągłą.

Powyżej zdefiniowaną topologię ${\mathcal {T}}$ nazywamy topologią Tichonowa lub topologią produktową.

Własności

Przyjmijmy oznaczenia z powyższej definicji.

Uwaga: W poniższych rozważaniach, w celu ich uproszczenia, utożsamiamy funkcję $f:A\to B$ ze zbiorem par uporządkowanych $\{(a,f(a)):a\in A\}$ (to znaczy "zapominamy" o dziedzinie i przeciwdziedzinie).

[Komentarz wędrowca: pragnę zwrócić uwagę na nieścisłość nomenklaturową: funkcje SĄ zbiorami takich właśnie par. Trójka złożona z funkcji $f$ i dwóch zbiorów $A$ i $B$, takich że $A\subseteq dm(f),rg(f)\subseteq B$ nazywa się odwzorowaniem. W całym dokumencie przewija się ten błąd (Adam Kolany). ]

1. Z twierdzenia o minimalnej topologii na dziedzinie wynika, że podbazą topologii produktowej ${\mathcal {T}}$ jest zbiór ${\mathcal {P}}=\{p_{i}^{-1}(U):i\in I\land U\in {\mathcal {O}}_{i}\}$.
2. Zauważmy, że dla każdych $i\in I,U\in {\mathcal {O}}_{i}$ zachodzi $p_{i}^{-1}(U)=\prod _{j\in I}\alpha _{i}^{U}(j)$, gdzie $\alpha _{i}^{U}(j)=\left\{{\begin{matrix}X_{j}&&,j\not =i\\U&&,j=i\end{matrix}}\right.$ dla każdego $j\in I$.
   Intuicyjnie, $\prod _{j\in I}\alpha _{i}^{U}(j)$ jest produktem kartezjańskim rodziny zbiorów powstałej przez zastąpienie w rodzinie $\{X_{j}\}_{j\in I}$ $i$-go zbioru przez zbiór $U$ (otwarty w $X_{i}$).
3. Z powyższych rozważań wynika, że elementami bazy topologii produktowej są skończone iloczyny zbiorów postaci $\prod _{j\in I}\alpha _{i}^{U}(j)$. Jak nietrudno zauważyć, są to produkty kartezjańskie rodzin zbiorów powstałych przez zastąpienie w rodzinie $\{X_{i}\}_{i\in I}$ skończonej liczby przestrzeni $X_{i_{1}},X_{i_{2}},\dots ,X_{i_{n}}$ przez ich podzbiory otwarte $U_{i_{1}},U_{i_{2}},\dots ,U_{i_{n}}$.
4. Zauważmy jeszcze, że w przypadku gdy rozważana rodzina przestrzeni $\{(X_{i},{\mathcal {O}}_{i})\}_{i\in I}$ jest skończona (przyjmijmy np. $I=\{1,2,\dots ,n\}$), to bazą topologii produktowej jest rodzina ${\mathcal {B}}=\{\prod _{i=1}^{n}U_{i}:\forall _{i=1,\dots ,n}U_{i}\in {\mathcal {O}}_{i}\}$.
   Ćwiczenie: Wykazać, że w powyższym, skończonym przypadku bazą topologii Tichonowa jest zbiór ${\mathcal {B}}^{*}=\{\prod _{i=1}^{n}B_{i}:\forall _{i=1,\dots ,n}B_{i}\in \mathbf {B} _{i}\}$, gdzie $\mathbf {B} _{i}$ jest bazą $(X_{i},{\mathcal {O}}_{i})$ dla każdego $i=1,2,\dots ,n$.
5. Dla każdego $j\in I$ rzutowanie $p_{j}:\prod _{i\in I}X_{i}\to X_{j}$ jest odwzorowaniem otwartym.

   Dowód:

   Wystarczy wykazać (z własności odwzorwań otwartych), że $p_{j}(B)\in {\mathcal {O}}_{i}$ dla zbiorów $B$ należących do bazy topologii produktowej. Z postaci zbiorów bazowych opisanej w 2. oraz definicji rzutowania wynika, że $p_{j}(B)=X_{j}$ lub $p_{j}(B)=U$ dla pewnego $U\in {\mathcal {O}}_{j}$. Dowód jest zakończony. $\square$

Przykłady

1. Produkt dowolnej rodziny przestrzeni antydyskretnych jest przestrzenią antydyskretną.
2. Produkt rodziny przestrzeni dyskretnych o mocy większej niż $1$ jest przestrzenią dyskretną wtedy i tylko wtedy, gdy jest to rodzina skończona.
3. Rozważmy przestrzenie skończone: $X=(\{0,1\},\{\emptyset ,\{0\},\{0,1\}\})$ i $Y=(\{a,b\},\{\emptyset ,\{a\},\{b\},\{a,b\}\})$. Wówczas na $X\times Y$ topologią Tichonowa jest zbiór: $\{\emptyset ,X\times Y,\{(0,a)\},\{(0,b)\},\{(0,a),(0,b)\},\{(0,a),(1,a)\},\{(0,b),(1,b)\}\}$.
4. Przez $X^{\kappa }$, gdzie $\kappa$ jest liczbą kardynalną zaś $X$ przestrzenią topologiczną, rozumiemy przestrzeń $\prod _{i\in \kappa }X$ (to znaczy produkt $\kappa$ kopii przestrzeni $X$) z topologią produktową.

   Niech $\kappa \geq \aleph _{0}$.

   • Dla $X=\{0,1\}$ z topologią dyskretną przestrzeń $X^{\kappa }$ nazywamy kostką Cantora o ciężarze $\kappa$.
   • Dla $X=\{0,1\}$ z topologią $\{\emptyset ,\{0\},\{0,1\}\}$ przestrzeń $X^{\kappa }$ nazywamy kostką Aleskandrowa o ciężarze $\kappa$. Przestrzeń $X$ z tego przykładu nazywamy przestrzenią Sierpińskiego.
   • Dla $X=\mathbf {I}$ przestrzeń $X^{\kappa }$ nazywamy kostką Tichonowa o ciężarze $\kappa$.

Topologia ilorazowa

Definicja

Niech będą dane przestrzeń topologiczna $(X,{\mathcal {O}})$ i relacja równoważności $\equiv \subseteq X\times X$.

Funkcją ilorazową nazywamy funkcję $\eta :X\to X/\equiv$ zadaną: $\eta (x)=[x]_{\equiv }$ dla każdego $x\in X$, gdzie $X/\equiv$ oznacza zbiór ilorazowy, zaś $[x]_{\equiv }\in X/\equiv$ klasę abstrakcji elementu $x\in X$ względem relacji $\equiv$.

Topologią ilorazową na zbiorze ilorazowym $X/\equiv$ nazywamy najbogatszą topologię ${\mathcal {O}}_{X/\equiv }$ na tym zbiorze, przy której funkcja ilorazowa $\eta :X\to X/\equiv$ jest ciągła. Przestrzeń $(X/\equiv ,{\mathcal {O}}_{X/\equiv })$ nazywamy przestrzenią ilorazową przestrzeni $X$ względem relacji $\equiv$.

Jeżeli $A\subseteq X$, to istnieje najmniejsza relacja równoważności $\equiv _{A}\subseteq X\times X$ taka, że $x\equiv _{A}y$ dla każdych $x,y\in A$. Przestrzeń ilorazową względem tej relacji oznaczać będziemy przez $(X/A,{\mathcal {O}}_{X/A})$. Intuicyjnie, przestrzeń ta powstaje poprzez "sklejenie" wszystkich punktów zbioru $A$ w jeden punkt.

Ogólniej, odwzorowaniem ilorazowym nazywamy każdą ciągłą surjekcję $q:X\to Y$ taką, że topologia na $Y$ jest najbogatszą topologią, przy której $q$ jest ciągła.

Własności

[Komentarz wędrowca: uprasza się Autora o uporządkowanie oznaczeń. Ni przypiął ni przyłatał w następującym niżej tekście pojawia się tu i ówdzie funkcja $p$. Pewno ma to być $q$, ale może lepiej, zeby autor sam to poprawił?? (A.Kolany)]

1. Niech będą dane przestrzeń $X$ i relacja równoważności $\equiv$ na tej przestrzeni. $\eta :X\to X/\equiv$ niech będzie odwzorowaniem ilorazowym. Wówczas dla każdej przestrzeni $Y$ i funkcji ciągłej $g:X\to Y$ takiej, że $g(x)=g(y)$ o ile $x\equiv y$, istnieje dokładnie jedna funkcja ciągła $g':X/\equiv \to Y$ taka, że $g'\circ \eta =g$.

   Dowód:

   Przyjmijmy $g'([x])=g(x)$ dla $[x]\in X/\equiv$. Definicja ta jest niezależna od wyboru reprezentanta klasy $[x]$, gdyż z założenia $g(x)=g(y)$ dla każdego $y\in [x]$. Funkcja $g'$ jest zatem dobrze określona. Spełnia ona warunek $g'\circ \eta =g$ i nietrudno zauważyć, że jest jedyną funkcją go spełniającą. Wykażmy ciągłość $g'$. Niech $U\subseteq Y$ będzie zbiorem otwartym. Z definicji $g'$ wynika, że $\eta ^{-1}g'^{-1}(U)=g^{-1}(U)$. Zbiór $g^{-1}(U)$ jest otwarty z ciągłości funkcji $g$. Wystarczy teraz zauważyć, że z definicji topologii na $X/\equiv$ wynika, że $V\subseteq X/\equiv$ jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy $\eta ^{-1}(V)$ jest otwarty w $X$. Wobec tego $g'^{-1}(U)$ jest otwarty, zatem $g'$ jest funkcją ciągłą. $\square$

2. Niech $q:X\to Y$ będzie ciągłą surjekcją. Jeśli $q$ jest odwzorowaniem otwartym lub odwzorowaniem domkniętym, to jest odwzorowaniem ilorazowym.

   Dowód:

   Musimy wykazać, że dowolny podzbiór $U\subseteq Y$ jest otwarty o ile $p^{-1}(U)$ jest otwarty. Przypuśćmy zatem, że $p^{-1}(U)$ jest otwarty. Jeśli $p$ jest odwzorowaniem otwartym, to $p(p^{-1}(U))$ jest również otwarty. Ale $p$ jest surjekcją, więc $p(p^{-1}(U))=U$. Jeśli $p$ jest odwzorowaniem domkniętym, to $p(X\setminus p^{-1}(U))$ jest zbiorem domkniętym. Ale $p(X\setminus p^{-1}(U))=p(p^{-1}(Y\setminus U))=Y\setminus U$. $\square$

3. Niech $q:X\to Y$ będzie odwzorowaniem ilorazowym. Na $X$ określmy relację równoważności: $x\equiv y$ wtedy i tylko wtedy, gdy $q(x)=q(y)$. Wówczas przestrzenie $Y$ i $X/\equiv$ są homeomorficzne.

   Dowód:

   Przez $\eta :X\to X/\equiv$ oznaczmy odwzorowanie ilorazowe. Zdefiniujmy funkcję $h:X/\equiv \to Y$ wzorem $h([x])=p(x)$. Z definicji relacji $\equiv$ wynika, że jest ona dobrze określona. Ponadto $h$ jest surjekcją, gdyż $p$ jest surjekcją. Wykażmy różnowartościowość $h$. Przypuśćmy, że $h([x])=h([y])$, to znaczy $p(x)=p(y)$, co z kolei z definicji $\equiv$ oznacza, że $x\equiv y$, czyli $[x]=[y]$. Pozostaje wykazać ciągłość i otwartość $h$. Nietrudno zauważyć, że dla $U\subseteq Y$ mamy $\eta ^{-1}(h^{-1}(U))=p^{-1}(U)$. Z ciągłości $p$ zbiór ten jest otwarty, o ile $U$ jest zbiorem otwartym, zatem z definicji topologii ilorazowej zbiór $h^{-1}(U)$ jest otwarty. Analogicznie, korzystając z faktu, że $p^{-1}(h(V))=\eta ^{-1}(V)$ dla $V\subset X/\equiv$ otrzymujemy, że $h$ jest otwarte, co kończy dowód. $\square$

4. Surjekcja $q:X\to Y$ jest odwzorowaniem ilorazowym wtedy i tylko wtedy, gdy posiada następującą własność: dla każdej przestrzeni topologicznej $Z$ i odwzorowania $h:Y\to Z$ odwzorowanie $h$ jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy odwzorowanie $h\circ q$ jest ciągłe.

   Dowód:

   [$\rightarrow$] Pokażmy, że jeśli $q$ jest odwzorowaniem ilorazowym, to własność powyższa zachodzi. Weźmy dowolne odwzorowanie $h:Y\to Z$. Przypuśćmy, że $h\circ q$ jest ciągłe. Niech $U\subseteq Z$ będzie zbiorem otwartym. Z ciągłości $h\circ q$ zbiór $(h\circ q)^{-1}(U)$ jest otwarty, ale $(h\circ q)^{-1}(U)=q^{-1}(h^{-1}(U))$. Ponieważ $q$ jest odwzorowaniem ilorazowym, oznacza to, że zbiór $h^{-1}(U)$ jest otwarty. Stąd $h$ jest ciągłe. Z drugiej strony, jeśli $h$ jest ciągłe, to $h\circ q$ jest ciągłe jako złożenie odwzorowań ciągłych.

   [$\leftarrow$] Wykażmy teraz, że jeśli własność powyższa zachodzi, to $q$ jest odwzorowaniem ilorazowym. Wykażmy najpierw ciągłość $q$. Gdyby istniało $U\subseteq Y$ otwarte i takie, że $q^{-1}(U)$ nie byłoby otwarte, to dla odwzorowania identycznościowego $h=\operatorname {id} :Y\to Y$ otrzymalibyśmy sprzeczność z założeniem, bowiem tak zdefiniowane $h$ jest ciągłe, zaś $h\circ q=q$ nie jest ciągłe. Przypuśćmy teraz, że topologia na $Y$ nie jest maksymalną topologią, przy której $q$ jest ciągłe. Oznacza to, że istnieje zbiór $A\subseteq Y$ taki, że $p^{-1}(A)$ jest otwarty, zaś $A$ nie jest otwarty. Niech $Z$ będzie przestrzenią dwupunktową Sierpińskiego (tzn. $Z=(\{0,1\},\{\emptyset ,\{1\},\{0,1\}\})$). Zdefiniujmy $h:Y\to Z$ wzorem: $h(y)={\begin{cases}1&{\text{dla }}y\in A\\0&{\text{dla }}y\not \in A\end{cases}}$. Wówczas $h\circ q$ jest funkcją ciągłą, zaś $h$ nie jest ciągłe.$\square$

• Ćwiczenie: Wykazać, że ostatnie z powyższych twierdzeń nie zachodzi, jeśli o $q$ nie założymy, że jest surjekcją.

Przykłady

1. Przestrzeń $\mathbf {I} /\{0,1\}$ jest homeomorficzna z przestrzenią $\mathbf {S} ^{1}$.
   Wykażmy prawdziwość tego stwierdzenia. Ponieważ $\mathbf {S} ^{1}\subseteq \mathbb {R} ^{2}$, zaś $\mathbb {R} ^{2}$ jest w naturalny sposób homeomorficzne z $\mathbb {C}$, możemy utożsamiać $\mathbf {S} ^{1}$ ze zbiorem $\{z\in \mathbb {C} ;|z|=1\}$. Rozważmy odwzorowanie ciągłe $\operatorname {exp} :\mathbf {I} \to \mathbf {S} ^{1}\subseteq \mathbb {C}$ zadane wzorem $\operatorname {exp} (t)=e^{2\pi it}=\cos(2\pi t)+i\sin(2\pi t)$. Ponieważ $\operatorname {exp} (0)=\operatorname {exp} (1)=1$, indukuje ono odwzorowanie ciągłe $\operatorname {exp} ':\mathbf {I} /\{0,1\}\to \mathbf {S} ^{1}$. Nietrudno sprawdzić, że $\operatorname {exp} '$ jest bijekcją. Weźmy zbiór $U\subseteq \mathbf {I} /\{0,1\}$ otwarty w topologii ilorazowej na $\mathbf {I} /\{0,1\}$. Mamy: $\operatorname {exp} '(U)=\operatorname {exp} (\eta ^{-1}(U))$, gdzie $\eta :\mathbf {I} \to \mathbf {I} /\{0,1\}$ jest odwzorowaniem ilorazowym. Pokażemy, że dla każdego punktu $s\in \operatorname {exp} '(U)$ istnieje jego otoczenie otwarte $U_{s}\subseteq \operatorname {exp} '(U)$. Będzie to oznaczało, że zbiór $\operatorname {exp} '(U)$ jest otwarty, co wobec dowolności $U$ wykaże otwartość odwzorowania $\operatorname {exp} '$. Niech zatem $s\in \operatorname {exp} '(U)$ oraz $[t]=\operatorname {exp} '^{-1}(s)\in U$. Ponieważ $\eta$ jest ciągłe, $\eta ^{-1}(U)$ jest otwarte w $\mathbf {I}$. Jeśli zatem $[t]\not =[1]$, to $t\in \eta ^{-1}(U)$ i istnieje $\epsilon$ takie, że $V_{[t]}=(t-\epsilon ;t+\epsilon )\subseteq \eta ^{-1}(U)$. Jeśli zaś $[t]=[1]$, to $0,1\in \eta ^{-1}(U)$ oraz istnieje $\epsilon$ takie, że $V_{[t]}=[0;\epsilon )\cup (1-\epsilon ;1]\subseteq \eta ^{-1}(U)$. W obu wypadkach nietrudno pokazać, że $U_{s}=\operatorname {exp} (V_{[t]})\subseteq \operatorname {exp} (\eta ^{-1}(U))=\operatorname {exp} '(U)$ jest otwarte w $\mathbf {S} ^{1}$.
2. Przestrzeń $\mathbf {I} ^{n}/\operatorname {Fr} \mathbf {I} ^{n}$ jest homeomorficzna z przestrzenią $\mathbf {S} ^{n}$. Intuicyjnie fakt ten nie jest trudny do przyjęcia, formalny dowód pozostawiamy jako ćwiczenie dla Czytelnika. Jego wykonanie może okazać się łatwiejsze po ukończeniu lektury dalszych rozdziałów.
3. Rozważmy przestrzeń $X=\mathbf {I} \times \mathbf {I}$ oraz najmniejsze relacje równoważności $\equiv _{1},\equiv _{2},\equiv _{3}$ takie, że:
   • $(0,t)\equiv _{1}(1,t)$ oraz $(t,0)\equiv _{1}(t,1)$,
   • $(0,t)\equiv _{2}(1,1-t)$ oraz $(t,0)\equiv _{2}(t,1)$,
   • $(0,t)\equiv _{3}(1,1-t)$ dla każdego $t\in \mathbf {I}$.

   Przestrzeń $X/\equiv _{1}$ nazywamy torusem 2-wymiarowym, $X/\equiv _{2}$ butelką Kleina, zaś $X/\equiv _{3}$ wstęgą Mōbiusa.

4. Niech będzie dana przestrzeń topologiczna $X$. Stożkiem nad tą przestrzenią nazywamy przestrzeń $X\times \mathbf {I} /X\times \{1\}$, zaś zawieszeniem $X$ nazywamy przestrzeń $X\times \mathbf {I} /\equiv$, gdzie $\equiv$ jest najmniejszą relacją równoważności na $X\times \mathbf {I}$ taką, że $(x,1)\equiv (x',1)$ oraz $(x,0)\equiv (x',0)$ dla każdych $x,x'\in X$.
5. W przestrzeni $X=\mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}$ rozważmy relację $\equiv$ taką, że $(t_{1},\ldots ,t_{n})\equiv (s_{1},\ldots ,s_{n})$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje $\lambda \in \mathbb {R}$ takie, że $s_{i}=\lambda t_{i}$ dla każdego $i=1,\ldots ,n$. Przestrzeń $X/\equiv$ nazywamy $n-1$-wymiarową rzeczywistą przestrzenią rzutową i oznaczamy $\mathbb {R} \mathbf {P} ^{n-1}$.

>> Zadania