Topologia ogólna/Przestrzenie metryczne

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Przestrzenie metryczne[edytuj]

W niniejszym rozdziale wprowadzimy pojęcia odległości i przestrzeni metrycznej, kuli, zbieżności ciągu, punktów wewnętrznych, izolowanych, punktów skupienia, zbiorów otwartych i domkniętych, funkcji ciągłej. Udowodnimy kilka podstawowych własności związanych z powyższymi pojęciami. Rozdział ten nie jest dogłębnym omówieniem przestrzeni metrycznych, a jedynie krótkim wprowadzeniem. Część istotnych własności przestrzeni metrycznych jest omówiona w dalszej części podręcznika.

Przestrzeń metryczna[edytuj]

Definicja[edytuj]

Odległością (lub: metryką) na zbiorze nazywamy każdą funkcję spełniającą poniższe warunki:

Warunek 3. nosi nazwę nierówności trójkąta.

Zauważmy, że z powyższych warunków wynika, iż . Gdyby bowiem istniały takie, że , to byłoby: , co jest niemożliwe.

Przestrzenią metryczną nazywamy parę uporządkowaną , gdzie jest dowolnym zbiorem, zaś jest metryką na zbiorze .

  • Ćwiczenie: Pokazać, że jeśli jest metryką na oraz , to jest metryką na zbiorze (gdzie oznacza obcięcie funkcji do zbioru ).

Podprzestrzenią metryczną przestrzeni metrycznej wyznaczaną przez zbiór nazywamy przestrzeń metryczną z powyższego ćwiczenia, tzn. przestrzeń .

Często, dla skrócenia zapisu, przestrzeń metryczną oznaczać będziemy po prostu przez , o ile nie będzie to prowadziło do niejasności.

Przykłady[edytuj]

  1. Przestrzenią metryczną jest , gdzie dla dowolnych , zaś oznacza wartość bezwzględną z . Istotnie, dla każdych :
    • .
  2. Rozważmy iloczyn kartezjański kopii prostej rzeczywistej: . Dla dowolnych definiujemy . W jednym z zadań do tego rozdziału udowodnimy, iż tak określona funkcja jest odległością. Nazywamy ją metryką euklidesową. Zauważmy, że dla jest to metryka z przykładu 1., gdyż .
  3. W możemy określić wiele innych metryk. Przykładowo, metryką maksimum nazywamy metrykę zadaną wzorem: . Metryką miejską (taksówkową, Manhattan) nazywamy funkcję określoną .
  4. Niech będzie dowolnym zbiorem. Rozważmy funkcję określoną dla dowolnych . Nietrudno sprawdzić, że jest to metryka, zwana metryką dyskretną (trywialną).
  5. Rozważmy zbiór funkcji ciągłych, określonych na odcinku domkniętym , o wartościach rzeczywistych. Dla definiujemy: . Jest to metryka, zwana metryką supremum.

Więcej przykładów przestrzeni metrycznych Czytelnik znajdzie w zadaniach do tego rozdziału.

Kule[edytuj]

Definicje[edytuj]

Niech będą dane przestrzeń metryczna , i .

Kulą otwartą w przestrzeni o środku i promieniu nazywamy zbiór .

Kulą domkniętą w przestrzeni o środku i promieniu nazywamy zbiór .

Przykłady[edytuj]

  1. W z metryką euklidesową pojęcie kuli pokrywa się z intuicyjnym rozumieniem tego słowa. W kulą otwartą jest koło, zaś w odcinek otwarty o zadanym środku i promieniu.
  2. W przestrzeni metrycznej dyskretnej : .
  3. Jednostkowa (tzn. o promieniu 1) kula otwarta o środku w punkcie (0,0) w z metryką taksówkową jest przedstawiona na poniższym rysunku (zauważmy, że brzeg przedstawionej figury do niej nie należy):
Open ball-taxi metric.svg
  • Ćwiczenie: Narysować jednostkową kulę otwartą w i z metryką maksimum.
  • Ćwiczenie: Opisać kule domknięte w przestrzeniach z powyższych przykładów.

Ciągi w przestrzeniach metrycznych[edytuj]

Definicja[edytuj]

Niech będzie dowolną przestrzenią metryczną, zaś dowolnym ciągiem elementów zbioru .

Mówimy, że ciąg jest zbieżny do granicy (co zapisujemy symbolicznie lub ), o ile .

Własności[edytuj]

  1. Zauważmy, że definicję zbieżności ciągu możemy sformułować równoważnie: Ciąg zbiega w do granicy wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego istnieje takie, że dla mamy: .
  2. Co więcej, ponieważ kule otwarte o środku w są wyznaczane jednoznacznie przez swój promień, od ciągu zbieżnego możemy żądać, by dla każdej kuli o środku w istniało takie, że dla .


Ćwiczenie: Wykazać, że jeżeli ciąg posiada granicę, to jest ona wyznaczona jednoznacznie.
Ćwiczenie: Wykazać, że wtedy i tylko wtedy, gdy (tzn. gdy ciąg odległości od zbiega do w ).

Przykłady[edytuj]

  1. Jeśli jest ciągiem elementów przestrzeni metrycznej dyskretnej, to jest on zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest od pewnego miejsca ciągiem stałym (tzn. gdy istnieje takie , że dla każdego zachodzi ).
  2. Niech będzie ciągiem w z metryką euklidesową. Przyjmijmy dla każdego oznaczenie: . Pokażemy, że jest granicą ciągu dokładnie wtedy, gdy dla każdego zachodzi: , gdzie zbieżność ciągów rozważamy w z metryką euklidesową.
    Dowód:
    [] Przypuśćmy, że dla pewnego , to znaczy .
    Zauważmy, że: .
    Zatem: , czyli
    [] Wykażemy, że zachodzi implikacja w drugą stronę. Przypuśćmy, że dla każdego . Weźmy dowolny . Dla każdego istnieje takie, że . Niech . Wówczas: . Wobec dowolności wykazaliśmy, że .

Punkty wewnętrzne, izolowane, skupienia[edytuj]

Definicje[edytuj]

Niech będzie przestrzenią metryczną, zaś .

Mówimy, że jest:

  • Punktem wewnętrznym zbioru , o ile ;
  • Punktem skupienia zbioru , o ile ;
  • Punktem izolowanym zbioru , o ile i nie jest punktem skupienia .

Zauważmy, że z powyższych definicji wynika, iż punkty izolowane i punkty wewnętrzne zbioru są jego elementami. Natomiast punkty skupienia zbioru nie muszą do niego należeć.

Zbiór wszystkich punktów skupienia zbioru nazywamy pochodną zbioru i oznaczamy .

Zbiór wszystkich punktów wewnętrznych zbioru nazywamy wnętrzem i oznaczamy .

Domknięciem zbioru nazywamy zbiór .

Własności[edytuj]

Niech będzie przestrzenią metryczną oraz .

  1. Zauważmy, że definicję punktu skupienia można sformułować równoważnie: jest punktem skupienia , jeżeli .
  2. Punkt jest zatem punktem izolowanym zbioru , o ile .
  3. Fakt, że jest punktem skupienia możemy też wyrazić korzystając z pojęcia zbieżności ciągu. Mianowicie: jest punktem skupienia zbioru dokładnie wtedy, gdy istnieje ciąg (tzn. ciąg elementów różnych od ) taki, że .
    Dowód:
    []Załóżmy, że taki ciąg istnieje. Weźmy dowolny . Wówczas istnieje takie, że dla . Ponieważ , to .
    []Załóżmy teraz, że jest punktem skupienia . Zdefiniujmy ciąg . Z aksjomatu wyboru wynika, iż istnieje ciąg taki, że . Nietrudno zauważyć, że .
  4. W związku z powyższym faktem możemy zdefiniować domknięcie zbioru jako zbiór wszystkich granic ciągów zbieżnych w o wyrazach ze zbioru . Istotnie, jeśli , to i jest granicą ciągu stałego , lub też i z ostatniego faktu istnieje ciąg elementów zbieżny do .

Przykłady[edytuj]

  1. Rozważmy zbiór . , , , zaś jedynym punktem izolowanym w jest .
  2. Rozważmy podprzestrzeń wyznaczaną przez zbiór z powyższego przykładu. W tej przestrzeni ,, zaś jest nadal punktem izolowanym. Zauważmy, że w tym przypadku jest jednocześnie punktem izolowanym i wewnętrznym.
  3. Jeśli jest przestrzenią metryczną, to .
  4. Rozważmy zbiór jako podzbiór z metryką euklidesową. Nietrudno sprawdzić, że , .
  5. W przestrzeni metrycznej dyskretnej dla każdego mamy: , zaś (tzn. każdy punkt jest izolowany).

Zbiory otwarte i domknięte[edytuj]

Definicje[edytuj]

Zbiorem otwartym w przestrzeni metrycznej nazywamy każdy taki zbiór , że .

Zbiorem domkniętym w przestrzeni metrycznej nazywamy każdy taki zbiór , że .

Własności[edytuj]

Niech będzie przestrzenią metryczną oraz .

  1. Bezpośrednio z definicji wnętrza wynika, że zbiór jest otwarty dokładnie wtedy, gdy każdy jego element jest jego punktem wewnętrznym.
  2. Zbiór jest domknięty dokładnie wtedy, gdy dla każdego ciągu zbieżnego w zachodzi: .
    Wynika to z (podanej jako własność 4. w poprzednim podrozdziale) równoważnej definicji domknięcia zbioru jako zbioru wszystkich granic ciągów zbieżnych o wyrazach z .
  3. jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy jest otwarty.
    Dowód:
    [] Załóżmy, że jest otwarty. Weźmy dowolny . Stąd: , zatem nie jest prawdą, że , co oznacza, że . Zatem: .
    [] Załóżmy teraz, że jest domknięty. Weźmy dowolny . Przypuśćmy, że nie jest punktem wewnętrznym . Zatem: dla każdego istnieje taki, że , tzn. . Wobec tego (ponieważ ) . Otrzymaliśmy sprzeczność z założeniem . Zatem każdy musi być punktem wewnętrznym , czyli .
  4. Wykażemy teraz trzy istotne własności zbiorów otwartych, które w kolejnym rozdziale posłużą nam do zdefiniowania przestrzeni topologicznej.
    Niech oznacza rodzinę wszystkich podzbiorów otwartych przestrzeni metrycznej . Wykażemy, że:
    1. .
    Dowód:
    [1.] Oczywiste.
    [2.] Jeśli , to teza jest prawdziwa (z 1.). Możemy więc założyć, że powyższy iloczyn zbiorów jest niepusty. Niech . Ponieważ każdy ze zbiorów jest otwarty, to istnieją takie, że dla każdego . Niech . Wówczas , czyli . Wobec dowolności teza jest udowodniona.
    [3.] Możemy założyć, że . Niech . Wtedy istnieje taki, że . jest otwarty, więc istnieje takie, że . Zatem . Wobec dowolności teza jest udowodniona.
  5. Każdy zbiór otwarty jest sumą pewnej rodziny kul otwartych o promieniach wymiernych.
    Dowód:
    Niech będzie zbiorem otwartym. Dla każdego istnieje takie, że . Zauważmy, że istnieje takie, że . Mamy zatem dla każdego : . Wobec tego: . Ale również . Dowód jest zakończony.

Przykłady[edytuj]

  1. Kula otwarta jest zbiorem otwartym.
    Dowód:
    Niech będzie kulą otwartą w przestrzeni o środku i promieniu . Weźmy dowolny . Niech . Pokażemy, że . Istotnie, z nierówności trójkąta, dla dowolnego mamy: . Zatem .
  2. Ćwiczenie: Wykazać, że kula domknięta jest zbiorem domkniętym.
  3. W każdej przestrzeni metrycznej zbiory i są jednocześnie otwarte i domknięte. Zbiory takie nazywamy otwarto-domkniętymi. W z metryką euklidesową są to jedyne takie zbiory. Jednak na przykład w traktowanym jako podprzestrzeń otwarto-domknięty jest zbiór . Każdy podzbiór przestrzeni metrycznej dyskretnej jest otwarto-domknięty.
  4. Zbiór nie jest ani otwarty, ani domknięty.

Funkcje ciągłe[edytuj]

Definicje[edytuj]

Funkcją ciągłą w punkcie z przestrzeni metrycznej do przestrzeni mestrycznej nazywamy każdą funkcję taką, że: .

Funkcją ciągłą (odwzorowaniem ciągłym) z przestrzeni metrycznej do przestrzeni metrycznej nazywamy funkcję ciągłą w każdym punkcie .

Własności[edytuj]

Niech będą przestrzeniami metrycznymi.

  1. Zauważmy, że korzystając z pojęcia kuli warunek ciągłości funkcji w punkcie możemy zapisać: , czy też krócej: (gdzie oznaczają kule otwarte odpowiednio w przestrzeniach ).
  2. Definicję ciągłości w punkcie można sformułować korzystając z pojęcia zbieżności ciągu. Mianowicie, funkcja jest ciągła w punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu zbieżnego w do zachodzi: .
    Dowód:
    [] Załóżmy, że spełniony jest powyższy warunek. Przypuśćmy, że nie jest ciągła. Znajdziemy zatem taki , że dla każdej istnieje takie, że oraz . Wobec tego możemy wybrać ciąg taki, że dla każdego : oraz . Zauważmy, że , ale . Otrzymaliśmy sprzeczność z założeniem, zatem musi być ciągła.
    [] Załóżmy teraz, że jest ciągła. Weźmy dowolny ciąg taki, że . Pokażemy, że . Niech będzie dowolne. Z ciągłości istnieje taka, że dla dowolnego jeśli , to . Ponieważ , to istnieje takie, że dla wszystkich . Stąd dla . Wobec dowolności teza jest udowodniona.
  3. Definicję ciągłości można sformułować także korzystając z pojęcia zbioru otwartego. Fakt ten posłuży nam w rozdziale 3. do uogólnienia pojęcia odwzorowania ciągłego.
    Funkcja jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego zbioru otwartego w , jego przeciwobraz jest zbiorem otwartym w .
    Dowód:
    [] Niech funkcja spełnia powyższy warunek. Wybierzmy dowolne . Pokażemy, że jest ciągła w punkcie , co z dowolności jego wyboru oznaczało będzie ciągłość . Ustalmy . Niech . Z początkowego założenia wynika, że jest otwarty jako przeciwobraz kuli otwartej. Ponadto , bo . Z otwartości wynika, że istnieje taka, że . Zauważmy, że jeśli , to , zatem . Z dowolności jest ciągła w .
    [] Niech będzie zbiorem otwartym w . Weźmy dowolny punkt . Ponieważ i jest otwarty, istnieje taki, że . Z ciągłości wynika, że istnieje taka, że jeśli , to . Zatem dla każdego , czyli . jest zatem punktem wewnętrznym , co z dowolności jego wyboru oznacza, że jest otwarty w .

Przykłady[edytuj]

  1. Niech będzie przestrzenią metryczną dyskretną, zaś dowolną przestrzenią metryczną. Każda funkcja jest ciągła.
  2. W dowolnej przestrzeni metrycznej funkcja identycznościowa jest ciągła.
  3. Dla ustalonej przestrzeni metrycznej i punktu ciągła jest funkcja , jeżeli w przyjmiemy metrykę euklidesową.
  4. Jeśli jest punktem izolowanym przestrzeni , jest przestrzenią metryczną, to dowolna funkcja jest ciągła w punkcie .
  5. W z metryką euklidesową ciągłe są funkcje:
    • ,
    • ,
    • .
  • Ćwiczenie: Udowodnić powyższe stwierdzenia.


>> Zadania