Zbiór zadań maturalnych/Matematyka/Zadania/P1

Tryb Jasny

Tryb Ciemny

Zadanie P1 (0-2)
Wykaż, że jeśli ${\frac {a}{b}}<{\frac {a+c}{b-c}}$, to dla takich wartości a, b, i c gdzie ${\begin{cases}a>0\\b>0\\c>0\\b\neq c\end{cases}}$ zachodzi nierówność $c<b$.

Klucz odpowiedzi
Odniesienie do podstawy programowej	Wymagania ogólne Cele kształcenia	Wymagania szczegółowe Treści nauczania
Zasady oceniania	Zdający otrzymuje   1 p. gdy doprowadzi ułamki po obu stronach nierówności do postaci ${\frac {a(b-c)}{b(b-c)}}<{\frac {b(a+c)}{b(b-c)}}$ uzyskując wspólny mianownik, a następnie przeniesie jeden z ułamków na drugą stronę ze zmienionym znakiem uzyskując np. postać $0<{\frac {(ab+bc)-(ab-ac)}{b(b-c)}}$ i uprości do postaci $0<{\frac {bc+ac}{b(b-c)}}$ lub do postaci $0<{\frac {c(b+a)}{b(b-c)}}$, po czym na tym etapie zakończy dowodzenie lub popełni błąd podczas dalszego dowodzenia. Zdający otrzymuje   2 p. gdy pomnoży obie strony przez $b$ i $(b-c)^{2}$ podając prawidłowe uzasadnienie tego przekształcenia, podzieli obie strony przez $c$ i $(a+b)$ podając prawidłowe uzasadnienie tego przekształcenia, a na koniec do obu stron doda $c$ uzyskując tym samym wyrażenie $c<b$ stanowiące tezę w tym zadaniu.
Przykładowe rozwiązania	${\begin{aligned}{\frac {a}{b}}<&\ {\frac {a+c}{b-c}}&\\[10pt]{\frac {a(b-c)}{b(b-c)}}<&\ {\frac {b(a+c)}{b(b-c)}}&\\[10pt]{\frac {ab-ac}{b(b-c)}}<&\ {\frac {ab+bc}{b(b-c)}}&{\bigg |}-{\frac {ab-ac}{b(b-c)}}\\[10pt]0<&\ {\frac {ab+bc}{b(b-c)}}-{\frac {ab-ac}{b(b-c)}}&\\[10pt]0<&\ {\frac {(ab+bc)-(ab-ac)}{b(b-c)}}&\\[10pt]0<&\ {\frac {ab+bc-ab+ac}{b(b-c)}}&\\[10pt]0<&\ {\frac {{\cancel {ab}}+bc-{\cancel {ab}}+ac}{b(b-c)}}&\\[10pt]0<&\ {\frac {bc+ac}{b(b-c)}}&\\[10pt]0<&\ {\frac {c(b+a)}{b(b-c)}}&{\bigg |}\cdot b{\text{ }}{\text{ }}{\text{bo}}{\text{ }}{\text{ }}b>0\\[10pt]0<&\ {\frac {c(b+a)}{b-c}}&{\bigg |}:c{\text{ }}{\text{ }}{\text{bo}}{\text{ }}{\text{ }}c>0\\[10pt]0<&\ {\frac {b+a}{b-c}}&{\bigg |}:(b+a){\text{ }}{\text{ }}{\text{bo}}{\text{ }}{\text{ }}{\begin{cases}a>0\\b>0\end{cases}}\Rightarrow (b+a)>0\\[10pt]0<&\ {\frac {1}{b-c}}&{\bigg |}\cdot (b-c)^{2}{\text{ }}{\text{ }}{\text{bo}}{\text{ }}{\text{ }}{\begin{cases}(b-c)^{2}\geq 0\\b\neq c\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}(b-c)^{2}\geq 0\\(b-c)\neq 0\end{cases}}\Rightarrow (b-c)^{2}>0\\[10pt]0<&\ b-c&{\bigg |}+c\\[10pt]c<&\ b&{\text{co kończy dowód}}\\\end{aligned}}$
Uwagi	Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość nierówności jedynie dla wybranych wartości $a$, $b$ i $c$, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie. Jeżeli zdający przeprowadzi poprawne merytorycznie wnioskowanie w dowodzie, lecz nie poda uzasadnień w przekształceniach wymagających dzielenia przez $c$, $(a+b)$ oraz mnożenia przez $b$ i $(b-c)^{2}$, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.