Matematyka dla liceum/Ciągi liczbowe/Inne przykłady ciągów

Przykłady ciągów

Ciąg harmoniczny

Jeśli ciąg harmoniczny oznaczymy jako $(h_{n})$, to k-ty wyraz będzie określony wzorem:

$h_{k}={\frac {1}{k}}$.

Czyli na przykład $a_{10}={\frac {1}{10}}$, $a_{13}={\frac {1}{13}}$, a $a_{1}=1$ itp.

Nazwa pochodzi z fizyki, a dokładniej od tego, że w drgającej strunie kolejne możliwe do uzyskania długości fali stojącej są w stosunku $1:{\frac {1}{2}}:{\frac {1}{3}}:{\frac {1}{4}}:\dots$.

Liczby harmoniczne

$H_{n}$, czyli n-ta liczba harmoniczna jest sumą kolejnych n wyrazów ciągu harmonicznego tzn.

$H_{n}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\dots {\frac {1}{n}}$.

Zobaczmy kilka przykładów:

$H_{1}=1$

$H_{3}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}$

$H_{5}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}$

Oznaczenie $H_{n}$ jako n-tą liczbę harmoniczną jest powszechnie znane. Jeśli napiszemy $H_{n}$, to raczej wszyscy będą wiedzieli, że chodzi o n-tą liczbę harmoniczną.

Ciąg Fibonacciego

Ciąg ten zaczyna się od dwóch jedynek, a każdy następny wyraz jest sumą dwóch poprzednich. Ciąg ten oznaczamy przez $(F_{n})=(1,1,2,3,5,8,13,21,34,\dots )$. Z definicji ciągu widzimy, że zachodzi relacja:

$F_{1}=1$

$F_{2}=1$

$F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}{\mbox{ dla }}n>2$

Gdy $F_{6}=8$ i $F_{7}=13$, wówczas $F_{8}=F_{7}+F_{6}=13+8=21$. Podobnie, gdy wiemy, że:

$F_{44}=701408733$

$F_{45}=1134903170$,

wtedy:

$F_{46}=F_{45}+F_{44}=1134903170+701408733=1836311903$.

Można łatwo przez indukcję dowieść, że n-ty wyraz tego ciągu wynosi:

$F_{n}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-{\frac {1}{\sqrt {5}}}\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}$ (wzór Bineta)