suma częściowa
Suma częściowa ciągu to inaczej suma kilku kolejnych wyrazów pewnego ciągu. Najprostszym przykładem może być
, czy też
dla pewnego ciągu
.
Policzmy sumę czterech kolejnych wyrazów ciągu
zdefiniowanego wzorem
. Mamy
,
,
,
, czyli:
![{\displaystyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=4+2+0+2=8}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1c1315d2bae993c81c5ae828d8da3c75e95f7bb)
Podobnie policzmy sumę wyrazów
ciągu arytmetycznego
, gdzie
, a różnica ciągu wynosi -3. Jednak najpierw musimy policzyć ile wynoszą odpowiednie wyrazy. Ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego mamy:
![{\displaystyle c_{2}=10+(2-1)\cdot (-3)=7}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1da9b6ace1b29d436be1c7f4da4df88a0fd7d56a)
![{\displaystyle c_{10}=10+(10-1)\cdot (-3)=-17}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c9f3fd8b4086598b5adafd100f0482e03b6aa05)
![{\displaystyle c_{30}=10+29\cdot (-3)=-77}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a893c37816a915f6901efd404ef7c0654b1db67)
![{\displaystyle c_{51}=10+50\cdot (-3)=-140}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d02464fd0a3ef21f00090a9518e43133960384e)
![{\displaystyle c_{1001}=10+1000\cdot (-3)=-2990}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/890b52478a0fdd4537e24d289cd6002df2ed9121)
Zatem suma
.
Sumę kolejnych n wyrazów pewnego ciągu, czyli
z reguły oznaczamy jako
. Kilka przykładów ...:
![{\displaystyle S_{5}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89582e843b36deb9c82e2a12022950bf983f45b0)
![{\displaystyle S_{3}=a_{1}+a_{2}+a_{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06dc04aeaebd86208013d272ee07d26670c141f0)
![{\displaystyle S_{50}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+\dots +a_{50}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c15d7d543469e02659069bbcdd21fef24943340)
![{\displaystyle S_{1}=a_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ba5c7cf6169d04288c432732bf9bbde5c58929a)
Używając tego oznaczenia możemy zapisać także sumę kolejnych, ale nie koniecznie początkowych wyrazów, na przykład:
![{\displaystyle a_{3}+a_{4}+a_{5}=(a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5})-(a_{1}+a_{2})=S_{5}-S_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ff34c943576be319977c4179bb613d754ef9dab)
![{\displaystyle a_{5}+a_{6}+a_{7}=(a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{7})-(a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4})=S_{7}-S_{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b469da31fdc6888d5a519e5393dba99a0dc9264c)
![{\displaystyle a_{50}+a_{51}+a_{52}+\dots +a_{100}=(a_{1}+a_{2}+\dots +a_{49}+a_{50}+\dots +a_{100})-(a_{1}+a_{2}+\dots +a_{49})=S_{100}-S_{49}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0a553dafd3b9400bd6276c4abe493fc5c4b245d)
W ogólności suma
.
Suma częściowa ciągu arytmetycznego
[edytuj]
suma częściowa ciągu arytmetycznego
|
TWIERDZENIE
Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego wynosi:
![{\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\dots +a_{n}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}\cdot n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e7985b8e4dad2f11b603d7dc6eb5f9de7c67780)
|
Znając to twierdzenie możemy policzyć sumę
. Widzimy, że
i ponadto
i
. Zatem
.
Korzystając z tego wzoru możemy w bardzo prosty sposób znaleźć wzór na sumę n kolejnych liczb naturalnych. Zero możemy pominąć, ponieważ nic nie wnosi do naszej sumy. Zobaczmy -- pierwszą liczbą będzie 1, czyli
, a n-tą liczbą jest
. Ponadto od 1 do n jest dokładnie n liczb. Czyli mamy wzór:
,
być może już przez niektórych znany.
Policzmy teraz sumę trzydziestu jeden kolejnych wyrazów ciągu
, gdzie
i
. Wiemy, że
, ale nie znamy wartości
, dlatego musimy wykorzystać wzór ogólny na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
![{\displaystyle t_{31}=10+(31-1)\cdot 4=10+120=130}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/328ca0b05278fbcc0eded59839a90f7405310c18)
Teraz tylko zastosować wzór na sumę początkowych wyrazów:
.
Znajdźmy wzór na sume n początkowych wyrazów ciągu znając jedynie n,
i r. Wiemy ze wzoru na n-ty wyraz, że
. Podstawiając do wzoru na sumę otrzymujemy:
![{\displaystyle S_{n}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}\cdot n={\frac {a_{1}+a_{1}+(n-1)\cdot r}{2}}\cdot n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81c52bf489237c4ddf433912c9dc3797919c4f48)
Po drobnym przekształceniach mamy:
![{\displaystyle S_{n}={\frac {[2a_{1}+(n-1)\cdot r]\cdot n}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2864dc2a01d97ff08dfab8964de570f1f7d16fc)
(suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego o różnicy r)
Czy wzór
jest prawdziwy dla dowolnego ciągu arytmetycznego? Odpowiedź, brzmi tak. Aby się o tym przekonać przedstawimy dowód.
Dowód:
Wiemy, że
, a ponieważ
jest ciągiem arytmetycznym, więc
. Z tych dwóch zależności wynika, że:
,
sumę tę możemy także przepisać jako (idąc od końca do początku):
![{\displaystyle S_{n}=[a_{1}+(n-1)\cdot r]+[a_{1}+(n-2)\cdot r]+\dots +[a_{1}+(2-1)\cdot r]+[a_{1}+(1-1)\cdot r]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b18dc95191ea216dfe949b50b087d6873a0bff0)
Dodając obydwie sumy do siebie otrzymujemy:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Wszystkie powyższe sumy posiadają n składników, zatem:
![{\displaystyle 2S_{n}=[2a_{1}+(n-1)\cdot r]\cdot n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f85bbbdd3b4b7cce0dda2d9ac7aced024c6f4d8d)
Po podzieleniu przez dwa mamy:
![{\displaystyle S_{n}={\frac {[2a_{1}+(n-1)\cdot r]\cdot n}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2864dc2a01d97ff08dfab8964de570f1f7d16fc)
Czyli dochodzimy do wzoru przedstawionego nieco wyżej.
Suma częściowa ciągu geometrycznego
[edytuj]
suma częściowa ciągu geometrycznego
Możemy teraz bez problemu obliczyć sumę stu dwójek, czyli
. Nie powinno to sprawić problemu osobie, która nie zna powyższego twierdzenia. Mamy sto dwójek, więc
, proste. Oczywiście możemy wykorzystać odpowiedni wzór. Ponieważ
, więc zastosujemy pierwszego wzór otrzymując
.
Obliczmy sumę 4 kolejnych wyrazów ciągu
, gdzie:
,
.
Ponieważ
, więc wykorzystamy wzór dla
:
.
Przejdźmy teraz do nieco trudniejszego przykładu. Obliczmy sumę
. Sumę tę tworzą kolejne wyrazy ciągu geometrycznego. Widzimy, że
, ponadto
. Zastanówmy się, z ilu elementów składa się ta suma (czyli ile wynosi n)? Z wzoru ogólnego wynika, że
, a z sumy do policzenia, że
. Więc
, czyli
. Ponieważ
, więc wykorzystamy wzór drugi:
.
Obliczmy sumę 9 kolejnych wyrazów ciągu
zdefiniowanego wzorem:
.
Pamiętamy, że każdy ciąg geometryczny zdefiniowany jest wzorem:
![{\displaystyle a_{k}=a_{1}\cdot q^{k-1}{\mbox{ dla }}k\in \mathbb {Z} _{+}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d9b221a5c5ddc715fe96dd8ba45c3b70f725042)
Zauważmy, że gdybyśmy jako
podstawili 11, a jako q liczbę -10, otrzymalibyśmy taki sam wzór na n-ty wyraz, jaki ma ciąg
. Zatem musi zachodzić
, a
. Możemy teraz wyliczyć sumę, a ponieważ
mamy:
![{\displaystyle S_{9}=11\cdot {\frac {1-(-10)^{9}}{1-(-10)}}={\frac {1-(-10)^{9}}{1}}=(10)^{9}+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b55f705c3d11f841f558cc8590af83992f88b2b6)
Pomyślmy teraz, ile wynosi suma 10 kolejnych wyrazów ciągu zdefiniowanego wzorem:
![{\displaystyle c_{k}=2\cdot \left(-{\frac {1}{2}}\right)^{2(k-1)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fd9ac485f2a8f38b37b5696e0fca66d1ec6ae89)
Ze wzoru możemy w łatwy sposób wyliczyć kilka pierwszych wyrazów:
![{\displaystyle c_{1}=2\cdot \left(-{\frac {1}{2}}\right)^{2\cdot 0}=2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e50320705e425454711a1c21e7ec73ad17b958a6)
![{\displaystyle c_{2}=2\cdot \left(-{\frac {1}{2}}\right)^{2\cdot 1}=2\cdot {\frac {1}{4}}={\frac {1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/041d2bbabe3a3426e21e7768252aa545a528d759)
![{\displaystyle c_{3}=2\cdot \left(-{\frac {1}{2}}\right)^{2\cdot 2}=2\cdot {\frac {1}{16}}={\frac {1}{8}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8306153f2d054739818a66ad7e5f4190dcb3001)
- ...
Zatem widzimy, że
, a
. Otrzymujemy:
![{\displaystyle S_{10}=2\cdot {\frac {1-\left({\frac {1}{4}}\right)^{10}}{1-\left({\frac {1}{4}}\right)}}=2\cdot {\frac {1-\left({\frac {1}{4}}\right)^{10}}{\frac {3}{4}}}=2\cdot {\frac {4}{3}}\cdot (1-\left({\frac {1}{4}}\right)^{10})={\frac {8}{3}}\cdot \left[1-\left({\frac {1}{4}}\right)^{10}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dda98313130fbed08ddb2a947a2d4947cf01c5e4)
Wyznaczmy wzór ogólny na sumę n kolejnych elementów ciągu
, w którym
i
. Ponieważ
możemy ze znanego nam już twierdzenia powiedzieć, że:
.
Na koniec spróbujmy udowodnić, że ten wzór jest poprawny, nie odwołując się do wcześniej przedstawionego twierdzenia. Wypiszemy najpierw założenia i tezę, a potem przedstawimy dowód.
Założenia:
![{\displaystyle d_{k}=3\cdot 5^{k-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c731b446e0e07248d0cb3881d2c91a569d32129e)
.
Teza:
![{\displaystyle S_{n}=3\cdot {\frac {5^{n}-1}{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/471310df308949436679b7d7031e118820e42470)
Dowód:
Sumę
możemy wymnożyć przez
:
![{\displaystyle 5S_{n}=3\cdot 5^{1}+3\cdot 5^{2}+3\cdot 5^{3}+\dots +3\cdot 5^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5170291d200f2ed0580cf17c6fd5b4f6a53757a3)
Teraz odejmijmy od siebie obydwie sumy:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Czyli
, po podzieleniu przez -4 dochodzimy do:
,
a co chcieliśmy udowodnić.