Matematyka dla liceum/Ciągi liczbowe/Suma częściowa ciągu

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Skocz do: nawigacja, szukaj

Sumy częściowe[edytuj]

Suma częściowa ciągu to inaczej suma kilku kolejnych wyrazów pewnego ciągu. Najprostszym przykładem może być , czy też dla pewnego ciągu .

Policzmy sumę czterech kolejnych wyrazów ciągu zdefiniowanego wzorem . Mamy , , , , czyli:

Podobnie policzmy sumę wyrazów ciągu arytmetycznego , gdzie , a różnica ciągu wynosi -3. Jednak najpierw musimy policzyć ile wynoszą odpowiednie wyrazy. Ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego mamy:

Zatem suma .

Sumę kolejnych n wyrazów pewnego ciągu, czyli z reguły oznaczamy jako . Kilka przykładów ...:

Używając tego oznaczenia możemy zapisać także sumę kolejnych, ale nie koniecznie początkowych wyrazów, na przykład:

W ogólności suma .

Suma częściowa ciągu arytmetycznego[edytuj]

Twierdzenie
TWIERDZENIE

Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego wynosi:

Znając to twierdzenie możemy policzyć sumę . Widzimy, że i ponadto i . Zatem .

Korzystając z tego wzoru możemy w bardzo prosty sposób znaleźć wzór na sumę n kolejnych liczb naturalnych. Zero możemy pominąć, ponieważ nic nie wnosi do naszej sumy. Zobaczmy -- pierwszą liczbą będzie 1, czyli , a n-tą liczbą jest . Ponadto od 1 do n jest dokładnie n liczb. Czyli mamy wzór:

,

być może już przez niektórych znany.

Policzmy teraz sumę trzydziestu jeden kolejnych wyrazów ciągu , gdzie i . Wiemy, że , ale nie znamy wartości , dlatego musimy wykorzystać wzór ogólny na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:

Teraz tylko zastosować wzór na sumę początkowych wyrazów:

.

Znajdźmy wzór na sume n początkowych wyrazów ciągu znając jedynie n, i r. Wiemy ze wzoru na n-ty wyraz, że . Podstawiając do wzoru na sumę otrzymujemy:

Po drobnym przekształceniach mamy:

(suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego o różnicy r)

Czy wzór jest prawdziwy dla dowolnego ciągu arytmetycznego? Odpowiedź, brzmi tak. Aby się o tym przekonać przedstawimy dowód.

Dowód:

Wiemy, że , a ponieważ jest ciągiem arytmetycznym, więc . Z tych dwóch zależności wynika, że:

,

sumę tę możemy także przepisać jako (idąc od końca do początku):

Dodając obydwie sumy do siebie otrzymujemy:

Wszystkie powyższe sumy posiadają n składników, zatem:

Po podzieleniu przez dwa mamy:

Czyli dochodzimy do wzoru przedstawionego nieco wyżej.

Suma częściowa ciągu geometrycznego[edytuj]

Twierdzenie
TWIERDZENIE

Suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego wynosi:

  1. dla ilorazu :
  2. dla ilorazu

Możemy teraz bez problemu obliczyć sumę stu dwójek, czyli . Nie powinno to sprawić problemu osobie, która nie zna powyższego twierdzenia. Mamy sto dwójek, więc , proste. Oczywiście możemy wykorzystać odpowiedni wzór. Ponieważ , więc zastosujemy pierwszego wzór otrzymując .


Obliczmy sumę 4 kolejnych wyrazów ciągu , gdzie:

,
.

Ponieważ , więc wykorzystamy wzór dla :

.


Przejdźmy teraz do nieco trudniejszego przykładu. Obliczmy sumę . Sumę tę tworzą kolejne wyrazy ciągu geometrycznego. Widzimy, że , ponadto . Zastanówmy się, z ilu elementów składa się ta suma (czyli ile wynosi n)? Z wzoru ogólnego wynika, że , a z sumy do policzenia, że . Więc , czyli . Ponieważ , więc wykorzystamy wzór drugi:

.


Obliczmy sumę 9 kolejnych wyrazów ciągu zdefiniowanego wzorem:

.

Pamiętamy, że każdy ciąg geometryczny zdefiniowany jest wzorem:

Zauważmy, że gdybyśmy jako podstawili 11, a jako q liczbę -10, otrzymalibyśmy taki sam wzór na n-ty wyraz, jaki ma ciąg . Zatem musi zachodzić , a . Możemy teraz wyliczyć sumę, a ponieważ mamy:


Pomyślmy teraz, ile wynosi suma 10 kolejnych wyrazów ciągu zdefiniowanego wzorem:

Ze wzoru możemy w łatwy sposób wyliczyć kilka pierwszych wyrazów:

...

Zatem widzimy, że , a . Otrzymujemy:

Wyznaczmy wzór ogólny na sumę n kolejnych elementów ciągu , w którym i . Ponieważ możemy ze znanego nam już twierdzenia powiedzieć, że:

.

Na koniec spróbujmy udowodnić, że ten wzór jest poprawny, nie odwołując się do wcześniej przedstawionego twierdzenia. Wypiszemy najpierw założenia i tezę, a potem przedstawimy dowód.

Założenia:

.


Teza:


Dowód:

Sumę możemy wymnożyć przez :

Teraz odejmijmy od siebie obydwie sumy:


Czyli , po podzieleniu przez -4 dochodzimy do:

,

a co chcieliśmy udowodnić.