Matematyka dla liceum/Ciągi liczbowe/Pojęcie ciągu

Pojęcie ciągu

ciąg

Zacznijmy od przykładu. Wyobraźmy sobie, że jesteśmy w hipermarkecie i stoimy w kolejce przy kasie. Przed nami stoi kolejno Józek, Maryśka, Krzysiek, Kaśka, Magda, Zdzichu i Mietek. Każda z tych osób zapewne zastanawia się, która jest w kolejce i jak długo sobie jeszcze postoi. Na samym początku przy kasie jest Mietek, więc jest pierwszy, potem jest Zdzichu, więc jest drugi, następna jest Magda, więc jest trzecia, czwarta jest Kaśka itd. W ten sposób otrzymaliśmy pewien ciąg. Otóż każdej liczbie naturalnej od 1 do iluś tam, przypisaliśmy konkretną osobę np. dla 1 mamy Mietka, a dla 6 Maryśkę.

Spojrzmy teraz na definicję:

definicja ciągu, ciąg skończony, ciąg nieskończony

DEFINICJA Ciągiem nazywamy funkcję, która jest określona dla kolejnych liczb całkowitych dodatnich. Jeśli są to wszystkie liczby całkowite dodatnie, wówczas ciąg taki nazywamy ciągiem nieskończonym. Jeśli ta funkcja jest zdefiniowana dla kolejnych liczb mniejszych lub równych pewnej liczbie n, ciąg ten jest nazywany ciągiem skończonym.

Co to oznacza? Jeśli mamy funkcję a(x) i wiemy, że jest ciągiem, to dziedzina funkcji a zawiera się w zbiorze liczb całkowitych dodatnich, czyli $D_{a}\subset \mathbb {Z} _{+}$. Ponadto jeśli ciąg jest nieskończony, wówczas a(1), a(2), a(3), a(4), ... jest zdefiniowane, zatem $D_{a}=\mathbb {Z} _{+}$.

Jeśli ciąg jest skończony, wówczas określone jest jedynie a(1), a(2), a(3), ..., a(n), czyli $D_{a}=\{1,2,3,\dots ,n\}$.

Ponieważ ciąg jest zdefiniowany dla kolejnych liczb, więc jeśli wiemy, że np. a(100) jest zdefiniowane, wówczas a(99) będzie także zdefiniowane, ponieważ następną liczbą po 99 jest 100. Analogicznie a(98) także będzie zdefiniowane, ponieważ następną liczbą po 98 jest 99 itd. W końcu zejdziemy tak do 50, aż w końcu dotrzemy do 1. Nie wiemy natomiast czy a(101) jest określone, ponieważ 100 mogło być największą liczbą, dla której właśnie ten ciąg jest określony.

Jeśli mamy na myśli ciąg z reguły piszemy $a_{1}$ zamiast $a(1)$, $a_{2}$ zamiast $a(2)$, $a_{3}$ zamiast $a(3)$ itd. W ogólności zamiast $a(n)$ napiszemy $a_{n}$.

wyraz ciągu

$a_{1}$, $a_{10}$, czy też $a_{n}$ są nazywane wyrazami ciągu. $a_{1}$ to pierwszy wyraz ciągu, $a_{5}$ to piąty wyraz ciągu, a $a_{k}$ to k-ty wyraz ciągu itd.

Pisząc $(a_{n})$ mamy na myśli pewien cały ciąg, czyli wszystkie wyrazy $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$, ..., $a_{n}$, ..., a nie tylko jeden wyraz $a_{n}$.

Zamiast a może być dowolna inna litera.

ciąg liczbowy

Popatrzmy na kolejny przykład ciągu: $a_{1}=1$, $a_{2}=4$, $a_{3}=2$, $a_{4}=10$. Widać, że ciąg ten jest skończony. Możemy powiedzieć, że ma tylko 4 wyrazy. Zauważmy także, że wartościami tego ciągu są liczby np. 10 dla wyrazu $a_{4}$. Ciąg taki nazywamy ciągiem liczbowym.

DEFINICJA Ciąg nazywamy ciągiem liczbowym, jeśli wartości tego ciągu są liczbami.

Przykład przedstawiony na samym początku nie jest ciągiem liczbowym, ponieważ Kaśki, Mietka czy Maryśki do liczb nie zakwalifikujemy.

ciąg nieskończony

Zanim przejdziemy dalej, rozważmy przykład ciągu nieskończonego $(b_{n})$, w którym zachodzi:

$b_{n}=2\cdot n$

O ciągu tym możemy powiedzieć, że jest nieskończony, co zresztą już wiemy. Na pewno jest ciągiem liczbowy. Kilka pierwszych wyrazów wynosi:

$b_{1}=2\cdot 1=2$, $b_{2}=2\cdot 2=4$, $b_{3}=2\cdot 3=6$.

Ciąg ten możemy zapisać także jako:

$(b_{n})=(2,4,6,8,\dots )$.

Kolejnym przykładem ciągu liczbowego jest $(c_{n})$, gdzie

$c_{n}=2(n-4){\mbox{ dla }}1\leq n\leq 8$.

Wypiszmy wszystkie wyrazy tego ciągu:

$c_{1}=2\cdot (1-4)=-6$, $c_{2}=2\cdot (2-4)=-4$, $c_{3}=2\cdot (3-4)=-2$, $c_{4}=2\cdot (4-4)=0$, $c_{5}=2\cdot (5-4)=2$, $c_{6}=2\cdot (6-4)=4$, $c_{7}=2\cdot (7-4)=6$, $c_{8}=2\cdot (8-4)=8$.

wykres ciągu

Jak dla każdej funkcji określonej w podzbiorze liczb rzeczywistych, także dla ciągu możemy narysować wykres. Dla powyższego przykładu wykres będzie wyglądał tak:

Wykres ciągu liczbowego zawsze będzie składał się z punktów, ponieważ dziedziną jest zbiór liczb całkowitych dodatnich lub jego pewien podzbiór, a zbiór liczb całkowitych, w przeciwieństwie do zbioru liczb rzeczywistych nie jest wszędzie gęsty.