Przejdź do zawartości

Matematyka dla liceum/Ciągi liczbowe/Monotoniczność ciągu

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.

Monotoniczność ciągu[edytuj]

monotoniczność ciągu
ciąg rosnący

Podobnie jak dla funkcji tak i dla ciągu możemy zdefiniować monotoniczność. Spójrzmy na ciąg:

Domyślamy się, że ciąg ten jest ciągiem rosnącym, ponieważ liczby w ciągu są coraz większe, czyli . Ogólnie mówiąc n-ty wyraz jest mniejszy od następnego, czyli , a to możemy zapisać jako:

Definicja DEFINICJA

Ciąg nazywamy ciągiem rosnącym, jeżeli dla każdej liczby spełniona jest nierówność


ciąg malejący

Podobnie ciąg:

będzie ciągiem malejącym, ponieważ . W tym przypadku dla n-tego wyrazu będziemy mieli , czyli:

Definicja DEFINICJA

Ciąg nazywamy ciągiem malejącym, jeżeli dla każdej liczby spełniona jest nierówność


ciąg niemalejący

Zobaczmy kolejny przykład:

.

ciąg ten prawie rośnie, ale jednak nie rośnie, ponieważ np. . Ciąg ten jest ciągiem niemalejącym, więc zachodzi w nim:

Definicja DEFINICJA

Ciąg nazywamy ciągiem niemalejącym, jeżeli dla każdej liczby spełniona jest nierówność


ciąg nierosnący

Skoro ciąg może być ciągiem niemalejącym, to może i być ciągiem nierosnącym. Stwórzmy odpowiedni przykład:

Już wiemy, że ciąg ten jest nierosnący, co oznacza, że zachodzi:

Definicja DEFINICJA

Ciąg nazywamy ciągiem nierosnącym, jeżeli dla każdej liczby spełniona jest nierówność



Wszystkie wyrazy mają taką samą wartość. Czyli ten ciąg jest stały.
Definicja DEFINICJA

Ciąg nazywamy ciągiem stałym, jeżeli wszystkie wyrazy tego ciągu są równe


ciąg niemonotoniczny

Spójrzmy teraz na ten ciąg:

Analizując ten przykład nie możemy stwierdzić, że jest on rosnący czy malejący. O takim ciągu mówimy, że jest ciągiem niemonotonicznym.

Definicja DEFINICJA

Ciągiem niemonotonicznym nazywamy ciąg, który nie jest ciągiem monotonicznym.