Matematyka dla liceum/Ciągi liczbowe/Monotoniczność ciągu

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Monotoniczność ciągu[edytuj]

Podobnie jak dla funkcji tak i dla ciągu możemy zdefiniować monotoniczność. Spójrzmy na ciąg:

Domyślamy się, że ciąg ten jest ciągiem rosnącym, ponieważ liczby w ciągu są coraz większe, czyli . Ogólnie mówiąc n-ty wyraz jest mniejszy od następnego, czyli , a to możemy zapisać jako:

Definicja
DEFINICJA

Ciąg nazywamy ciągiem rosnącym, jeżeli dla każdej liczby spełniona jest nierówność

Podobnie ciąg:

będzie ciągiem malejącym, ponieważ . W tym przypadku dla n-tego wyrazu będziemy mieli , czyli:

Definicja
DEFINICJA

Ciąg nazywamy ciągiem malejącym, jeżeli dla każdej liczby spełniona jest nierówność

Zobaczmy kolejny przykład:

.

ciąg ten prawie rośnie, ale jednak nie rośnie, ponieważ np. . Ciąg ten jest ciągiem niemalejącym, więc zachodzi w nim:

Definicja
DEFINICJA

Ciąg nazywamy ciągiem niemalejącym, jeżeli dla każdej liczby spełniona jest nierówność

Skoro ciąg może być ciągiem niemalejącym, to może i być ciągiem nierosnącym. Stwórzmy odpowiedni przykład:

Już wiemy, że ciąg ten jest nierosnący, co oznacza, że zachodzi:

Definicja
DEFINICJA

Ciąg nazywamy ciągiem nierosnącym, jeżeli dla każdej liczby spełniona jest nierówność


Wszystkie wyrazy mają taką samą wartość. Czyli ten ciąg jest stały.
Definicja
DEFINICJA

Ciąg nazywamy ciągiem stałym, jeżeli wszystkie wyrazy tego ciągu są równe

Spójrzmy teraz na ten ciąg:

Analizując ten przykład nie możemy stwierdzić, że jest on rosnący czy malejący. O takim ciągu mówimy, że jest ciągiem niemonotonicznym.

Definicja
DEFINICJA

Ciągiem niemonotonicznym nazywamy ciąg, który nie jest ciągiem monotonicznym.