Matematyka dla liceum/Ciągi liczbowe/Monotoniczność ciągu

Monotoniczność ciągu

monotoniczność ciągu

ciąg rosnący

Podobnie jak dla funkcji tak i dla ciągu możemy zdefiniować monotoniczność. Spójrzmy na ciąg:

(a_{n})=(5,10,30,50,90,100,1000,10000)\

Domyślamy się, że ciąg ten jest ciągiem rosnącym, ponieważ liczby w ciągu są coraz większe, czyli $5<10<30<50<\dots <10000$ . Ogólnie mówiąc n-ty wyraz jest mniejszy od następnego, czyli $a_{n}<a_{n+1}\$ , a to możemy zapisać jako:

a_{n+1}-a_{n}>0\

DEFINICJA

Ciąg $(a_{n})$ nazywamy ciągiem rosnącym, jeżeli dla każdej liczby $n\in \mathbb {N} _{+}\,$ spełniona jest nierówność $a_{n+1}-a_{n}>0\,$

ciąg malejący

Podobnie ciąg:

(b_{n})=(1000,999,998,997,996,995,994,\dots )

będzie ciągiem malejącym, ponieważ $1000>999>998>997>\dots$ . W tym przypadku dla n-tego wyrazu będziemy mieli $a_{n}>a_{n+1}\$ , czyli:

a_{n+1}-a_{n}<0\

DEFINICJA

Ciąg $(a_{n})$ nazywamy ciągiem malejącym, jeżeli dla każdej liczby $n\in \mathbb {N} _{+}\,$ spełniona jest nierówność $a_{n+1}-a_{n}<0\,$

ciąg niemalejący

Zobaczmy kolejny przykład:

(c_{n})=(1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,\dots )

.

ciąg ten prawie rośnie, ale jednak nie rośnie, ponieważ np. $c_{2}=c_{3}=2\$ . Ciąg ten jest ciągiem niemalejącym, więc zachodzi w nim:

a_{n+1}-a_{n}\geqslant 0

DEFINICJA

Ciąg $(a_{n})$ nazywamy ciągiem niemalejącym, jeżeli dla każdej liczby $n\in \mathbb {N} _{+}\,$ spełniona jest nierówność $a_{n+1}-a_{n}\geqslant 0\,$

ciąg nierosnący

Skoro ciąg może być ciągiem niemalejącym, to może i być ciągiem nierosnącym. Stwórzmy odpowiedni przykład:

(d_{n})=(16,16,16,8,8,8,4,4,4,2,2,2,\dots )

Już wiemy, że ciąg ten jest nierosnący, co oznacza, że zachodzi:

a_{n+1}-a_{n}\leqslant 0

DEFINICJA

Ciąg $(a_{n})$ nazywamy ciągiem nierosnącym, jeżeli dla każdej liczby $n\in \mathbb {N} _{+}\,$ spełniona jest nierówność $a_{n+1}-a_{n}\leqslant 0\,$