Matematyka dla liceum/Ciągi liczbowe/Monotoniczność ciągu
Monotoniczność ciągu[edytuj]
Podobnie jak dla funkcji tak i dla ciągu możemy zdefiniować monotoniczność. Spójrzmy na ciąg:
Domyślamy się, że ciąg ten jest ciągiem rosnącym, ponieważ liczby w ciągu są coraz większe, czyli . Ogólnie mówiąc n-ty wyraz jest mniejszy od następnego, czyli , a to możemy zapisać jako:
![]() |
DEFINICJA Ciąg nazywamy ciągiem rosnącym, jeżeli dla każdej liczby spełniona jest nierówność |
Podobnie ciąg:
będzie ciągiem malejącym, ponieważ . W tym przypadku dla n-tego wyrazu będziemy mieli , czyli:
![]() |
DEFINICJA Ciąg nazywamy ciągiem malejącym, jeżeli dla każdej liczby spełniona jest nierówność |
Zobaczmy kolejny przykład:
- .
ciąg ten prawie rośnie, ale jednak nie rośnie, ponieważ np. . Ciąg ten jest ciągiem niemalejącym, więc zachodzi w nim:
![]() |
DEFINICJA Ciąg nazywamy ciągiem niemalejącym, jeżeli dla każdej liczby spełniona jest nierówność |
Skoro ciąg może być ciągiem niemalejącym, to może i być ciągiem nierosnącym. Stwórzmy odpowiedni przykład:
Już wiemy, że ciąg ten jest nierosnący, co oznacza, że zachodzi:
![]() |
DEFINICJA Ciąg nazywamy ciągiem nierosnącym, jeżeli dla każdej liczby spełniona jest nierówność |
- Wszystkie wyrazy mają taką samą wartość. Czyli ten ciąg jest stały.
![]() |
DEFINICJA Ciąg nazywamy ciągiem stałym, jeżeli wszystkie wyrazy tego ciągu są równe |
Spójrzmy teraz na ten ciąg:
Analizując ten przykład nie możemy stwierdzić, że jest on rosnący czy malejący. O takim ciągu mówimy, że jest ciągiem niemonotonicznym.
![]() |
DEFINICJA Ciągiem niemonotonicznym nazywamy ciąg, który nie jest ciągiem monotonicznym. |