Matematyka dla liceum/Rachunek prawdopodobieństwa/Elementy kombinatoryki

Elementy kombinatoryki

Silnia

Jeśli mamy wyrażenie, którym jest ciąg mnożeń kolejnych liczb od 1, np. $1 * 2 * 3 * 4 * 5$ , możemy zapisać go w skrócie jako 5! (pięć silnia).

DEFINICJA

Silnia z liczby naturalnej n jest oznaczana przez n!. Dla $n = 0$ lub $n = 1$ wynosi ona 1, natomiast dla $n \geq 2$ jest równa iloczynowi wszystkich liczb naturalnych od 1 do n.

$n! = {\begin{matrix} 1, gdy n = 0 lub n = 1 \\ 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot (n - 1) \cdot n, gdy n \geq 2 \end{matrix}$

Przykłady:

$4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$
$\frac{5!}{6!} = \frac{120}{720} = \frac{1}{6}$
$3! \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 6! = 720$
$\frac{(n + 2)!}{n!} = \frac{n! \cdot (n + 1) \cdot (n + 2)}{n!} = (n + 1) \cdot (n + 2)$

Permutacje

Jeśli, mając liczbę 1243, zechcemy zamienić miejscami niektóre cyfry, możemy otrzymać np. 4321 lub 1432 lub 3214. Każda z nich jest permutacją zbioru cyfr ${1, 2, 3, 4}$ .

DEFINICJA

Ciąg utworzony ze wszystkich n elementów zbioru nazywamy jego permutacją. Liczbę wszystkich permutacji danego n-elementowego zbioru obliczamy wg wzoru $P_{n} = n!$ .

Przykłady:

$P_{2} = 2! = 1 \cdot 2 = 2$

$P_{7} = 7! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 = 5040$

Wyjaśnienie:

Załóżmy, że mamy zbiór składający się z 4 elementów: a, b, c oraz d. Ile możemy ułożyć permutacji? Pierwszy element permutacji wybieramy spośród liter a, b, c i d. Mamy więc 4 możliwości. Gdy już wybierzemy, zostaną nam 3 litery i spośród nich wybierzemy drugi element. Dla każdego wybranego pierwszego elementu drugi możemy wybrać na 3 możliwości. Możemy takich par stworzyć 3*4=12. Dla każdej z 12 par, trzeci element wybierzemy z pozostałych 2 liter, czyli na 2 możliwości, dzięki czemu możemy uzyskać 24 trójki (2*3*4). Zostaje nam jedna litera, która będzie czwartym elementem (tak więc 1 możliwość). Mamy więc 1*2*3*4=24 opcji ułożenia permutacji z 4 liter.

W przypadku, w którym zbiór składałby się z trzech elementów i tymi elementami byłyby a, b oraz c:

$P_{3} = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$

1. abc 2. acb

3. bac 4. bca

5. cab 6. cba

Wariacje z powtórzeniami

Ułóżmy dowolną 3-cyfrową liczbę, mając do dyspozycji cyfry 1,2,3,4,5. Może to być np. 134, 325, 222. Wszystkie one są 3-wyrazowymi wariacjami zbioru 5-elementowego.

DEFINICJA

Wariacją z powtórzeniami nazywamy ciąg o długości k, którego wyrazy pochodzą z n-elementowego zbioru. Liczbę wszystkich wariacji danego zbioru obliczamy ze wzoru $W_{n}^{k} = n^{k}$ .

Przykłady:

$W_{3}^{2} = 3^{2} = 9$

$W_{4}^{5} = 4^{5} = 1024$

$W_{1}^{100} = 1^{100} = 1$

Wyjaśnienie:

Policzmy, ile można stworzyć wariacji k=2 elementowych ze zbioru n=4 elementów, np. {a,b,c,d}. Pierwszym elementem ciągu (wariacji) może być dowolna z liter a,b,c,d. Są więc 4 możliwości, dla każdej z nich możemy wybrać drugi element, także z liter a,b,c,d. Dla każdego z 4 możliwych pierwszych elementów mamy 4 możliwości wybrania drugiego elementu, razem 4*4=16 możliwych wariacji (z powtórzeniami). Wg wzoru: $W_{4}^{2} = 4^{2} = 16$ .

1. aa 2. ab 3. ac 4. ad

5. ba 6. bb 7. bc 8. bd

Itd.

Wariacje bez powtórzeń

DEFINICJA

Wariacją bez powtórzeń nazywamy ciąg k wyrazów, nie powtarzających się, które są elementami danego zbioru o liczności n. Ilość wszystkich wariacji obliczamy ze wzoru $V_{n}^{k} = \frac{n!}{(n - k)!}$ .

Przykład:

$V_{3}^{2} = \frac{3!}{(3 - 2)!} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{1} = 6$

Tzn. mając zbiór n=3 elementowy, np. {a,b,c}, możemy uzyskać 6 wariacji o długości k=2:

1. ab 2. ac

3. ba 4. bc

5. ca 6. cb

Symbol Newtona

Czy wiesz, że...

Isaac Newton - matematyk, fizyk, astronom i filozof angielski. Zasłynął odkryciami w fizyce. Był także współtwórcą rachunku różniczkowego i całkowego.

DEFINICJA

Symbol Newtona $(\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!}, gdzie n, k \in ℕ i n \geq k .$

Symbol $(\binom{n}{k})$ czytamy n po k lub n nad k.

Warto zapamiętać, że:

$(\binom{n}{0}) = 1$
$(\binom{n}{1}) = n$
$(\binom{n}{n}) = 1$
$(\binom{n}{n - 1}) = n$
$(\binom{n}{k}) = (\binom{n}{n - k})$
Pewna równość dla symboli Newtona

(\binom{n}{k}) + (\binom{n}{k + 1}) = (\binom{n + 1}{k + 1})

Ciekawostka:
Wyżej wymienione równanie jest wykorzystane w trójkącie Pascala. Obliczamy k-tą liczbę w n-tym wierszu jako wartość $(\binom{n}{k})$ . Zauważmy, że każda liczba jest sumą dwóch stojących nad nią (z wyjątkiem jedynek, tworzących "boki" trójkąta).

Kombinacje

W odróżnieniu od permutacji i wariacji, kombinacja nie jest ciągiem, a podzbiorem elementów. Ważna cecha - kolejność nie ma znaczenia.

DEFINICJA

Kombinacją k-elementową nazywamy dowolny podzbiór (k- wyrazowy) danego n-elementowego zbioru. Liczbę wszystkich takich kombinacji wyraża wzór: $C_{n}^{k} = (\binom{n}{k})$ .

Przykład:
W urnie znajduje się biała, czarna i niebieska kula (zbiór {b,c,n}). Losujemy z niej 2 kule. W ten sposób uzyskujemy k=2 elementową kombinację zbioru n=3 elementowego. Wszystkich takich kombinacji jest
$C_{3}^{2} = (\binom{3}{2}) = \frac{3!}{2! (3 - 2)!} = 3$

Istotnie, możemy wylosować tylko
1. białą i czarną,
2. białą i niebieską,
3. czarną i niebieską.

> Rozwiązane zadania

« Ćwiczenia (Stereometria)

Spis treści

Pojęcie prawdopodobieństwa »