Postać iloczynowa trójmianu kwadratowego
[edytuj]
postać iloczynowa trójmianu kwadratowego
Dowód (informacje dodatkowe)
- Odpowiednio przekształcimy postać kanoniczną trójmianu:
![{\displaystyle a(x+{\frac {b}{2a}})^{2}-{\frac {\Delta }{4a}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7392d5a037b191ef5b750891e8d1e53fcd33a27)
- Chcemy zamienić podaną formułę na iloczyn. Możemy to zrobić stosując wzór skróconego mnożenia, po uprzednim przekształceniu.
![{\displaystyle a[(x+{\frac {b}{2a}})^{2}-{\frac {\Delta }{4a^{2}}}]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1820ff230c8bd67336ad27eb5716637e040e6e72)
- Zamieniamy wyrażenia w nawiasie aby powstała różnica kwadratów:
![{\displaystyle a[(x+{\frac {b}{2a}})^{2}-({\frac {\sqrt {\Delta }}{2a}})^{2}]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ffd2e4b693b8badcc03eb50d11a1225259eb86f)
- I stosujemy wzór
= (a-b)(a+b)
![{\displaystyle a(x+{\frac {b}{2a}}-{\frac {\sqrt {\Delta }}{2a}})(x+{\frac {b}{2a}}+{\frac {\sqrt {\Delta }}{2a}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d755474825241c568de28e71d97920638592ca2)
![{\displaystyle a(x+{\frac {b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}})(x+{\frac {b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2eb939b178819bfbb484b605bb91a843779ee0ab)
![{\displaystyle a(x+{\frac {-(-b+{\sqrt {\Delta }})}{2a}})(x+{\frac {-(-b-{\sqrt {\Delta }})}{2a}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b1fd75c86d2e3af1d9861b34739e3079a169217)
![{\displaystyle a(x-{\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}})(x-{\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d741836bbc60f87a64bfb21aad49c5e337b4826b)
- Gdy
to niemożliwe jest doprowadzenia równania do postaci iloczynowej.
Z definicji wynika, że postacią iloczynową jest np:
Postać iloczynowa jest czytelniejszym zapisem - widać na niej od razu rozwiązania trójmianu.
Przykłady - postać iloczynowa
[edytuj]
- Przykład 1. Wypisz rozwiązania równania (x-3)(x+2)=0
Patrząc na taki przykład możemy od razu podać pierwiastki. Jeśli podstawimy pod x 3, to pierwszy nawias się "wyzeruje". Iloczyn jakiejkolwiek liczby przez 0 daje nam 0. Jeśli podstawimy pod drugi x liczbę -2 to ten nawias także nam się wyzeruje. Rozwiązaniami są więc wartości x=3 i x=-2.
- Przykład 2. Zapisz w postaci iloczynowej równanie:
![{\displaystyle x^{2}+4x-5=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5bd1b2b2d9787ec1d1cc71035980c92cfaf9ab5)
Postępujemy analogicznie jak w rozwiązywaniu równań kwadratowych.
więc korzystamy ze wzoru:
. Widzimy, że a = 1.
- Przykład 3. Zapisz w postaci iloczynowej równanie:
![{\displaystyle 2x^{2}-4x+2=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cb223769b6ba8407e6a83a77f7f92b908708127)
Bystry obserwator od razu odgadłby, że podane wyrażenie można zwinąć ze wzoru skróconego mnożenia. Jednak taki sposób był już omawiany przy okazji rozwiązywania równań kwadratowych. Policzymy więc wszystko przez deltę.
- korzystamy więc ze wzoru:
. a jest równe 2.
- Przykład 4. Napisz wzór równania, którego rozwiązaniami są liczby -3 i 7.
Jak już wiesz, w postaci iloczynowej widać od razu rozwiązania. Jeśli chcemy ułożyć równanie, które będzie miało takie pierwiastki wystarczy, że podstawimy te wartości do wzoru.
Możemy już taką postać pozostawić, jednak wymnóżmy wartości w nawiasach przez siebie i stwórzmy w ten sposób trójmian kwadratowy:
W ten sposób ułożyliśmy równanie, którego rozwiązaniami są liczby -3 i 7. Można to sprawdzić poprzez policzenie delty i pierwiastków (sprawdź!).