Matematyka dla liceum/Funkcja kwadratowa/Postać iloczynowa

Postać iloczynowa trójmianu kwadratowego

postać iloczynowa trójmianu kwadratowego

TWIERDZENIE Dany jest trójmian kwadratowy $ax^{2}+bx+c$ o współczynnikach rzeczywistych, gdzie $x_{1}$ i $x_{2}$ są rozwiązaniami trójmianu 1. Jeżeli $\Delta ~>0$, to postać iloczynowa trójmianu kwadratowego wyraża się wzorem: $y=a(x-x_{1})(x-x_{2})$ 2. Jeżeli $\Delta ~=0$, to postać iloczynowa trójmianu kwadratowego wyraża się wzorem: $y=a(x-x_{0})^{2}$ 3. Jeżeli $\Delta ~<0$, to trójmian kwadratowy nie ma postaci iloczynowej.

Dowód (informacje dodatkowe)

Odpowiednio przekształcimy postać kanoniczną trójmianu:

$a(x+{\frac {b}{2a}})^{2}-{\frac {\Delta }{4a}}=0$

Chcemy zamienić podaną formułę na iloczyn. Możemy to zrobić stosując wzór skróconego mnożenia, po uprzednim przekształceniu.

$a[(x+{\frac {b}{2a}})^{2}-{\frac {\Delta }{4a^{2}}}]=0$

Zamieniamy wyrażenia w nawiasie aby powstała różnica kwadratów:

$a[(x+{\frac {b}{2a}})^{2}-({\frac {\sqrt {\Delta }}{2a}})^{2}]=0$

I stosujemy wzór $a^{2}-b^{2}$ = (a-b)(a+b)

$a(x+{\frac {b}{2a}}-{\frac {\sqrt {\Delta }}{2a}})(x+{\frac {b}{2a}}+{\frac {\sqrt {\Delta }}{2a}})$

$a(x+{\frac {b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}})(x+{\frac {b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}})$

$a(x+{\frac {-(-b+{\sqrt {\Delta }})}{2a}})(x+{\frac {-(-b-{\sqrt {\Delta }})}{2a}})$

$a(x-{\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}})(x-{\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}})$

Gdy $\Delta <0$ to niemożliwe jest doprowadzenia równania do postaci iloczynowej.

Z definicji wynika, że postacią iloczynową jest np:

$y=2(x-3)(x+4)$

$y=(x-9)(x+4)$

$y=(x-3)^{2}$

Postać iloczynowa jest czytelniejszym zapisem - widać na niej od razu rozwiązania trójmianu.

Przykłady - postać iloczynowa

• Przykład 1. Wypisz rozwiązania równania (x-3)(x+2)=0

Patrząc na taki przykład możemy od razu podać pierwiastki. Jeśli podstawimy pod x 3, to pierwszy nawias się "wyzeruje". Iloczyn jakiejkolwiek liczby przez 0 daje nam 0. Jeśli podstawimy pod drugi x liczbę -2 to ten nawias także nam się wyzeruje. Rozwiązaniami są więc wartości x=3 i x=-2.

• Przykład 2. Zapisz w postaci iloczynowej równanie:$x^{2}+4x-5=0$

Postępujemy analogicznie jak w rozwiązywaniu równań kwadratowych.

$\Delta =4^{2}-4\cdot 1\cdot (-5)=36$

${\sqrt {\Delta }}=6$

$x_{1}={\frac {-4-6}{2}}=-5$

$x_{2}={\frac {-4+6}{2}}=1$

$\Delta >0\$ więc korzystamy ze wzoru: $y=a(x-x_{1})(x-x_{2})$. Widzimy, że a = 1.

$1\cdot (x-(-5))(x-1)=0$

$(x+5)(x-1)=0\$

• Przykład 3. Zapisz w postaci iloczynowej równanie:$2x^{2}-4x+2=0$

Bystry obserwator od razu odgadłby, że podane wyrażenie można zwinąć ze wzoru skróconego mnożenia. Jednak taki sposób był już omawiany przy okazji rozwiązywania równań kwadratowych. Policzymy więc wszystko przez deltę.

$\Delta =(-4)^{2}-4\cdot 2\cdot 2=0$

$x_{0}={\frac {4}{4}}=1$

$\Delta =0\$ - korzystamy więc ze wzoru: $y=a(x-x_{0})^{2}$. a jest równe 2.

$2(x-1)^{2}=0$

• Przykład 4. Napisz wzór równania, którego rozwiązaniami są liczby -3 i 7.

Jak już wiesz, w postaci iloczynowej widać od razu rozwiązania. Jeśli chcemy ułożyć równanie, które będzie miało takie pierwiastki wystarczy, że podstawimy te wartości do wzoru.

$(x-(-3))(x-7)=0$

$(x+3)(x-7)=0$

Możemy już taką postać pozostawić, jednak wymnóżmy wartości w nawiasach przez siebie i stwórzmy w ten sposób trójmian kwadratowy:

$x^{2}-7x+3x-21=0$

$x^{2}-4x-21=0$

W ten sposób ułożyliśmy równanie, którego rozwiązaniami są liczby -3 i 7. Można to sprawdzić poprzez policzenie delty i pierwiastków (sprawdź!).