Matematyka dla liceum/Funkcja kwadratowa/Postać iloczynowa

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Postać iloczynowa trójmianu kwadratowego[edytuj]

Twierdzenie
TWIERDZENIE

Dany jest trójmian kwadratowy o współczynnikach rzeczywistych, gdzie i są rozwiązaniami trójmianu

1. Jeżeli , to postać iloczynowa trójmianu kwadratowego wyraża się wzorem:

2. Jeżeli , to postać iloczynowa trójmianu kwadratowego wyraża się wzorem:

3. Jeżeli , to trójmian kwadratowy nie ma postaci iloczynowej.

Dowód (informacje dodatkowe)

Odpowiednio przekształcimy postać kanoniczną trójmianu:
Chcemy zamienić podaną formułę na iloczyn. Możemy to zrobić stosując wzór skróconego mnożenia, po uprzednim przekształceniu.
Zamieniamy wyrażenia w nawiasie aby powstała różnica kwadratów:
I stosujemy wzór = (a-b)(a+b)
Gdy to niemożliwe jest doprowadzenia równania do postaci iloczynowej.


Z definicji wynika, że postacią iloczynową jest np:

Postać iloczynowa jest czytelniejszym zapisem - widać na niej od razu rozwiązania trójmianu.

Przykłady - postać iloczynowa[edytuj]

  • Przykład 1. Wypisz rozwiązania równania (x-3)(x+2)=0

Patrząc na taki przykład możemy od razu podać pierwiastki. Jeśli podstawimy pod x 3, to pierwszy nawias się "wyzeruje". Iloczyn jakiejkolwiek liczby przez 0 daje nam 0. Jeśli podstawimy pod drugi x liczbę -2 to ten nawias także nam się wyzeruje. Rozwiązaniami są więc wartości x=3 i x=-2.

  • Przykład 2. Zapisz w postaci iloczynowej równanie:

Postępujemy analogicznie jak w rozwiązywaniu równań kwadratowych.

więc korzystamy ze wzoru: . Widzimy, że a = 1.

  • Przykład 3. Zapisz w postaci iloczynowej równanie:

Bystry obserwator od razu odgadłby, że podane wyrażenie można zwinąć ze wzoru skróconego mnożenia. Jednak taki sposób był już omawiany przy okazji rozwiązywania równań kwadratowych. Policzymy więc wszystko przez deltę.

- korzystamy więc ze wzoru: . a jest równe 2.

  • Przykład 4. Napisz wzór równania, którego rozwiązaniami są liczby -3 i 7.

Jak już wiesz, w postaci iloczynowej widać od razu rozwiązania. Jeśli chcemy ułożyć równanie, które będzie miało takie pierwiastki wystarczy, że podstawimy te wartości do wzoru.

Możemy już taką postać pozostawić, jednak wymnóżmy wartości w nawiasach przez siebie i stwórzmy w ten sposób trójmian kwadratowy:

W ten sposób ułożyliśmy równanie, którego rozwiązaniami są liczby -3 i 7. Można to sprawdzić poprzez policzenie delty i pierwiastków (sprawdź!).