Matematyka dla liceum/Funkcja kwadratowa/Nierówności kwadratowe

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Skocz do: nawigacja, szukaj

W poprzednim rozdziale opisane zostały sposoby rozwiązywania równań kwadratowych. Nierówności kwadratowe rozwiązuję się w nieco odmienny sposób.

Znalezienie rozwiązania nierówności polega na
  • obliczeniu miejsc zerowych,
  • narysowaniu szkicu wykresu funkcji,
  • wyznaczeniu przedziału, który spełnia nierówność, przy pomocy wykresu.
Dla nierówności dwukwadratowych
  • rozwiązujemy nierówność ze zmienną pomocniczą (np. ),
  • uzyskane rozwiązania dla t zamieniamy na nierówności i podstawiamy . Rozwiązania otrzymanych nierówności są rozwiązaniem nierówności dwukwadratowej.
  • np.       i obliczamy.

Przykłady - nierówności kwadratowe[edytuj]

  • Przykład 1.
  • Przykład 2.
  • Przykład 3.
  • Przykład 4.
  • Przykład 5.
  • Przykład 6.



  • Przykład 1

Jak przy równaniach liczymy deltę i miejsca zerowe:

Teraz naszkicujmy prowizoryczny wykres wyrażenia po lewej stronie nierówności. Rysujemy parabole, wiemy o niej, że ramiona są skierowane w górę (a>0) oraz że przecina oś OX w 2 miejscach (), wcześniej obliczonych:

Nierownosc1.jpg

Patrzymy na wykres i odczytujemy z niego, kiedy wykres funkcji znajdują się nad osią OX (rozwiązujemy bowiem nierówność f(x)>0), czyli kiedy funkcja przyjmuje wartości dodatnie. Oczywiście wówczas gdy x jest mniejszy od -3 lub większy od 5 (na wykresie -tam, gdzie występuje znak "+"). Zapisujemy to więc:

W tym miejscu trzeba zwrócić uwagę na parę istotnych szczegółów:

-Nawiasy są "otwarte" ponieważ 0 nie należy do zbioru rozwiązań (f(-3)=0 nie spełnia nierówności f(x)>0),

- - nawias po stronie tego oznaczenia jest zawsze otwarty,

-W równaniach rozwiązaniami były pojedyncze liczby. Tutaj rozwiązaniami jest ich cały zbiór.


  • Przykład 2

Podany przykład rozwiążemy podobnie jak poprzedni (według tego samego schematu).

Robimy szkic (a<0 więc ramiona są skierowane w dół):

Nierownosc2.jpg

Widzimy, że wykres jest ponad osią OX w przedziale od -9 do 5. Rozwiązaniem jest więc:

Nawiasy są domknięte, ponieważ 0 należy do zbioru rozwiązań nierówności (f(-9)=0 spełnia nierówność .


  • Przykład 3

- czyli wykres nie ma punktów wspólnych z osią OX. Naszkicujmy wykres:

Wykres3.PNG

Parabola w całości znajduję się ponad osią OX. Stąd wniosek, że nierówność nigdy nie jest spełniona. Nie ma rozwiązań, więc:


  • Przykład 4

- znowu nie ma miejsc wspólnych z osią OX. Szkicujemy pomocniczy wykres (a < 0):

Wykres4.PNG

Wykres w całości znajduję się pod osią OX. Oznacza to, że nierówność jest spełniona zawsze.


  • Przykład 5 (R)
Drachen p.png

Materiał ten dotyczy wiadomości na poziomie rozszerzonym.

Przy okazji omawiania równań kwadratowych poznałeś równanie dwukwadratowe. Teraz rozwiążemy nierówność dwukwadratową, w podobny sposób jak równanie.

Szkicujemy wykres funkcji i zaznaczamy część dodatnią:

Wykres5.PNG

Rozwiązaniem jest:

Rozwiązaliśmy nierówność ze zmienną pomocniczą t. Potrzeba nam jednak rozwiązać nierówność ze zmienną x. Zapiszmy powyższe rozwiązanie jako alternatywę dwóch nierówności (zamiast przedziałów):

 lub 

Podstawiamy    i rozwiązujemy dwie nierówności:

 lub 

1.  

(pomijamy rysowanie wykresu)

2.  

(także pomijamy rysowanie wykresu)

Rozwiązaniem jest suma rozwiązań 1. i 2.:


  • Przykład 6 (R)
Drachen p.png

Materiał ten dotyczy wiadomości na poziomie rozszerzonym.

Ten przykład rozwiążemy nieco innym sposobem niż poprzednie - bez szkicowania wykresu, za pomocą alternatywy układów. Zanim go jednak zaczniesz analizować, przeczytaj informacje o postaci iloczynowej, bowiem właśnie ten element wykorzystamy przy rozwiązaniu tej nierówności.

Teraz zamieniamy nierówność na postać iloczynową:

Całe wyrażenie jest ujemne gdy:

  1. (x+6) jest dodatnie i (x-2) ujemne lub
  2. (x+6) jest ujemne i (x-2) dodatnie

(iloczyn dowolnej liczby ujemnej, przez liczbę dodatnią jest zawsze ujemny, i na odwrót). Tworzymy w ten sposób alternatywę układów, która wygląda następująco:

lub

czyli

lub

Rozwiązaniem pierwszego układu jest , natomiast drugi układ jest sprzeczny. Rozwiązaniem jest więc:

Możesz podane wyniki sprawdzić szkicując wykres.