Matematyka dla liceum/Funkcja kwadratowa/Równania i nierówności z parametrem

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Skocz do: nawigacja, szukaj
  • Przykład 1. Dla jakiej wartości parametru m równanie ma dwa różne miejsca zerowe?
  • Przykład 2. Dla jakiej wartości parametru m równanie ma jedno miejsce zerowe?
  • Przykład 3. Dla jakiej wartości parametru m równanie ma jedno miejsce zerowe?
  • Przykład 4. Dla jakiej wartości parametru m nierówność jest spełniona w zbiorze liczb rzeczywistych?
  • Przykład 5. Dla jakiej wartości parametru m suma kwadratów pierwiastków równania osiąga minimum?
  • Przykład 6. Dla jakiej wartości parametru m równanie ma dwa różne rozwiązania ujemne?
  • Przykład 7. Dla jakiej wartości parametru m równanie ma dwa różne rozwiązania dodatnie?
  • Przykład 8. Ustal liczbę rozwiązań funkcji w zależności od parametru m, a następnie naszkicuj wykres funkcji h(x) obrazujący liczbę rozwiązań tego równania.
  • Przykład 9. Dla jakiej wartości parametru m równanie ma dwa różne rozwiązania należące do przedziału (-3,1)?

  • Przykład 1

Dla jakiej wartości parametru m równanie ma dwa różne miejsca zerowe?

Wypiszmy współczynniki:

a = 1, b = -m, c = 2

Równanie ma dwa różne miejsca zerowe gdy . Policzmy więc deltę:

Skoro równanie będzie miało dwa różne pierwiastki gdy to musimy rozwiązać odpowiednią nierówność:

pomijamy szkicowanie wykresu, nierówność rozwiązujemy pamięciowo

Podany wynik warto sprawdzić podstawiając liczby należące i nienależące do przedziału.


  • Przykład 2

Dla jakiej wartości parametru m równanie ma jedno miejsce zerowe?

Wypiszmy współczynniki:

a=1, b =-(m-2), c=4

Funkcja ma jedno miejsce zerowe gdy . Obliczmy więc kiedy delta się zeruje.

Teraz tworzymy drugą deltę i obliczamy miejsca zerowe równania

Czyli funkcja ma jedno miejsce zerowe dla lub . Podany wynik możesz z łatwością sprawdzić podstawiając w odpowiednie miejsca wartości m.


  • Przykład 3

Dla jakiej wartości parametru m równanie ma jedno miejsce zerowe?

Patrząc na ten przykład pozornie nie istnieje różnica pomiędzy nim, a przykładem poprzednim. Jest jednak jeden bardzo ważny element - co jeśli m będzie równe 1 lub -1? Wtedy po podstawieniu w odpowiednie miejsce współczynnik a "zwinie się", i otrzymamy funkcję liniową. Musimy więc rozpatrzeć tutaj 3 przypadki. Pierwszy gdy m=1, drugi gdy m=-1 i trzeci gdy i .

Pierwszy przypadek dla m= -1

Otrzymaliśmy równanie sprzeczne. Więc parametr m=-1 nie spełnia równania.

Drugi przypadek dla m=1

Czyli funkcja ma jedno miejsce zerowe dla .

Trzeci przypadek dla i . Teraz możemy policzyć deltę bez obawy, że rozwiązujemy równość liniową.

Znowu mamy równanie kwadratowe.

Jak widać -1 odpada na mocy założenia " i ". Gdybyśmy więc od razu obliczyli deltę to otrzymalibyśmy błędny wynik! Zawsze trzeba dokładnie przyjrzeć się przykładowi zanim zacznie się go rozwiązywać.

Równanie ma więc jedno miejsce zerowe dla i .


  • Przykład 4

Dla jakiej wartości parametru m nierówność jest spełniona w zbiorze liczb rzeczywistych?

Znowu mamy parametr przy . Zastanówmy się jak musi wyglądać wykres takiej nierówności aby była spełniona dla każdego x. Musi to być parabola całkowicie znajdująca się pod osią OX z ramionami skierowanymi w dół (pomijamy szkicowanie osi OY ponieważ nie ma ona żadnego wpływu na położenie naszej paraboli):

Wykres6.PNG

Może to być także stała (a = 0) funkcja liniowa, która znajduje się poniżej osi OX. Sprawdźmy więc co się dzieje gdy m=0.

1 przypadek m=0

Nierówność jest spełniona tylko dla , czyli x nie należy do zbioru liczb rzeczywistych. Teraz zastanówmy się jak doprowadzić parabolę do stanu jak na ilustracji. Po pierwsze współczynnik kierunkowy a musi być mniejszy od 0. Po drugie, nie może być miejsc wspólnych z osią OX, czyli musi być mniejsza od 0. Otrzymamy w ten sposób układ dwóch warunków:

1.

2.

Delta jest zawsze dodatnia ( i ). Czyli układ nigdy nie jest spełniony.


  • Przykład 5

Dla jakiej wartości parametru m suma kwadratów pierwiastków równania osiąga minimum?

Zastanówmy się jakie warunki muszą zostać spełnione aby rozwiązać to zadanie:

Pierwszy warunek jest po to aby pierwiastki w ogóle istniały, drugi aby obliczyć minimum.

W poprzednim rozdziale wyprowadziliśmy wzór na sumę kwadratów pierwiastków, który wygląda następująco:

Utwórzmy z tego funkcję i podstawmy odpowiednie wartości:

Funkcja o współczynniku kierunkowym dodatnim osiąga minimum w punkcie wierzchołka:

Punkt . Funkcja więc przyjmie najmniejszą wartość na jednym z krańców określoności:

Funkcja osiąga minimum dla


  • Przykład 6

Dla jakiej wartości parametru m równanie ma dwa różne rozwiązania ujemne?

Wskażmy warunki jakie muszą istnieć aby otrzymać poprawny wynik.

Od razu zauważamy, że współczynnik a musi być różny od 0. Ponieważ gdyby było równy zeru równanie kwadratowe "przeszło by" w równanie liniowe, które może mieć maksimum 1 rozwiązanie.

Teraz drugi warunek, aby istniały dwa różne pierwiastki:

Aby istniały dwa pierwiastki ujemne ich iloczyn musi być dodatni, a suma ujemna. Dlaczego? Ponieważ iloczyn dowolnych liczb ujemnych jest dodatni (np. ), a suma dowolnych liczb ujemnych jest ujemna (np. ). Mamy więc:

i

Otrzymujemy w ten sposób układ, który należy rozwiązać:

1. - można odgadnąć pamięciowo.

2.

3.

4.

Podane wyniki zaznaczamy na osi liczbowej (w przeciwnym wypadku łatwo się pogubić)

Przedzialy.PNG

Wszystkie kolory przecinają się w przedziale:

który jest rozwiązaniem całego zadania.


  • Przykład 7

Tego przykładu już nie będziemy robić w całości. Wskażemy tylko prawidłowy tok myślenia.

Właściwie to spora część elementów jest taka sama jak w poprzednim przykładzie. Współczynnik a musi być różny od zera i delta większa od zera. Jednak aby istaniały dwa rozwiązania dodatnie muszą być jeszcze spełnione podane warunki:

Iloczyn dwóch liczb dodatnich jest liczbą dodatnią, a ich suma także jest liczbą dodatnią. Mamy więc układ podobny jak w poprzednim przykładzie:


  • Przykład 8

Ustal liczbę rozwiązań funkcji w zależności od parametru m, a następnie naszkicuj wykres funkcji h(x) obrazujący liczbę rozwiązań tego równania.

Podany przykład najłatwiej rozwiązać metodą graficzną. Najpierw wprowadźmy pewne oznaczenia, które nam ułatwią rozwiązanie takiego zadania:

Wyróżniliśmy w ten sposób dwie funkcje - jedna jest funkcją kwadratową z nałożoną wartościa bezwzględną, natomiast druga jest to funkcja o wzorze y=m (np. y=1, y=2, y=3 ... y=m, jest to funkcja liniowa, stała). W celu naszkicowania wykresu funkcji f(x) należy rozpatrzeć dwa przypadki - pierwszy, gdy wartość pod modułem jest mniejsza od 0, i drugi gdy jest większa bądź równa zeru. Skorzystamy jednak z pewnego ułatwienia, które już wcześniej miałeś okazję poznać w dziale Przekształcanie wykresu funkcji. Jako, że moduł jest nałożony na "całą" funkcję f(x) to przenosimy wszystko spod osi OX nad nią. Obliczmy najpierw wartości f(x).

Teraz nakładamy moduł i powstaje nam funkcja |f(x)|. Wygląda następująco (linią przerywaną jest oznaczona funkcja bez nałożenia modułu):

Bezwzgl.PNG

Wartość p nie zmienia się, jednak q zostaje symetrycznie odbite względem osi OX.

q' = 4

Teraz gdy już wiemy jak wygląda wykres funkcji f(x) zastanówmy się na funkcją g(x). Skoro jest to funkcja stała o dowolnej wartości to może ona przecinać funkcję f(x) w różnych miejscach:

Bezwzgl2.PNG

Punkty wspólne f(x) i g(x) to rozwiązania tych funkcji. Z łatwością odczytujemy więc z obrazka ilość rozwiązań:

0 rozwiązań dla

2 rozwiązańia dla

4 rozwiązania dla

3 rozwiązania dla

2 rozwiązania dla

Ukończyliśmy w ten sposób pierwszą część zadania. Teraz pozotaje nam jeszcze szkic funkcji h(x). Jest to bardzo proste, i nie wymaga dłuższego tłumaczenia. Jest to po prostu obraz naszych wyników:

Wykres7.PNG


  • Przykład 9

Dla jakiej wartości parametru m równanie ma dwa różne rozwiązania należące do przedziału (-3,1)?

Zastanówmy się jakie założenia należy postawić aby ustawić w taki sposób pierwiastki. Już na początku zakładamy, że aby istniały dwa różne rozwiązania. Dalej domyślamy się, że na pewno wierzchołek paraboli musi należeć do zbioru (-3,1) . Jednak sam ten warunek nie rozwiązuje całego problemu:

Wykres8.PNG

Pomimo, że wierzchołek znajduję się w podanym przedziale to pierwiastki nie należa do zbioru (-3,1). Na pierwszy rzut oka rozwiązanie całego problemu może się wydawać trudne, jednak jest ono bardzo proste. Wartość równania na krańcach przedziału musi być po prostu większa od zera:

Wykres9.PNG

Czyli inaczej i .W ten sposób doprowadzamy parabolę do stanu, który jest podany w zadaniu. Mamy więc układ warunków:

1.

, czyli jest zawsze większa od 0.

2.

a)

b)

3.

4.

Częścią wspólną układu tych warunków jest przedział (najlepiej nałożyć rozwiązania na oś liczbową w celu lepszego odczytania wyniku).