Matematyka dla liceum/Funkcja liniowa/Równania liniowe

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Równanie liniowe z jedną niewiadomą[edytuj]

Przykładem równania liniowego może być:

  • 2x + 3 = 5
  • -x + 2 = 0

Rozwiązaniem równania jest liczba x, która spełnia to równanie.

Definicja
DEFINICJA

Równaniem liniowym z jedną niewiadomą nazywamy równanie, które można zapisać w postaci ,  gdzie x jest niewiadomą.

Aby rozwiązać równanie liniowe, czyli aby znaleźć liczbę x, przeważnie trzeba wykonać następujące czynności:

  • przenieść niewiadomą na jedną stronę równania, pozostawiając liczby (bądź parametry) po drugiej stronie (przy przenoszeniu zmieniamy znak),
  • wymnożyć lub podzielić obustronnie przez wartość tak, aby pozbyć się liczby stojącej przy niewiadomej.

Wyjaśnienie

  • Aby rozwiązać równanie  ,  wykonamy kolejne kroki wymienione powyżej.
Po lewej stronie równania zostawimy niewiadomą, przenosząc liczbę 3 na prawą stronę. Wystarczy zapisać ją po drugiej stronie ze zmienionym znakiem.
  czyli  
Aby z wyrażenia 2x uzyskać x, dzielimy przez 2. Zawsze dzielimy obie strony, czyli
,   tak więc liczba 1 jest rozwiązaniem.

Przy przekształcaniu równania należy pamiętać o tym, że przenosząc pewną liczbę z jednej strony na drugą, należy zmienić znak na przeciwny, na przykład:

  • jeśli  ,  to  ,
  • jeśli  ,   to  .

Jeśli chcemy wymnożyć lub podzielić równanie przez pewną liczbę, wówczas zapisujemy to dodając na końcu np. "  " lub np. "  ".

  • - obustronnie mnożymy przez 2
  • - obustronnie dzielimy przez 3
  • - obustronnie mnożymy przez ułamek .

Przykłady

  • Równanie
  • Równanie
Pozbywamy się ułamka, mnożąc przez wartość mianownika.

Rozwiązania
Jeżeli nie są podane wartości współczynników a i b, wówczas możemy postawić następujące założenia:

  • jeśli , to istnieje jedno rozwiązanie ,
  • jeśli , to równanie przyjmie postać . Jest to równanie tożsamościowe i dla każdego x jest prawdą (czyli rozwiązaniem jest każda liczba),
  • jeśli , wówczas równanie może wyglądać np. tak: , co oczywiście jest fałszem. Równanie to nazywa się równaniem sprzecznym i nie istnieje liczba, która je spełnia (brak rozwiązań).

Inną nazwą rozwiązania równania jest też miejsce zerowe, jak i pierwiastek.

Nierówność liniowa z jedną niewiadomą[edytuj]

Zacznijmy od kilku przykładów:

Zanim je rozwiążemy, spójrzmy na definicję:

Definicja
DEFINICJA

Nierówność liniową z jedną niewiadomą można zapisać w postaci np. , gdzie niewiadomą jest x.
Inne postacie: .

Ważna uwaga: przy mnożeniu (lub dzieleniu) nierówności przez liczbę ujemną, znak nierówności zmieniamy na przeciwnie skierowany (np. > na <).

Przejdźmy do rzeczy, czyli rozwiążmy przedstawione przykłady.

Zaczniemy od   :

Rozwiązaniem tej nierówności nie jest jedna liczba, a cały zbiór liczb większych od jednego i jednej drugiej.
Odp. .

Teraz możemy przejść do kolejnego przykładu   :

Odp. .

Rozwiążmy teraz nierówność   :

- przy mnożeniu przez liczbę ujemną trzeba zmienić znak nierówności na przeciwny.
Odp. .

Dlaczego gdy mnożymy lub dzielimy przez liczbę ujemną, znak nierówności trzeba zmienić? Słuszność tego możemy sprawdzić na przykładzie:

  - fałsz, brakuje zmienionego znaku
  - prawda, zmieniony znak na '>'.

Równanie z parametrem (R)[edytuj]

Dla jakich wartości parametru funkcja jest malejąca oraz nieparzysta?

Musimy ustalić warunki, które musi spełniać to równanie, aby założenia z zadania były spełnione .

  1. aby funkcja była malejąca
  2. Wykres funkcji musi przechodzić przez punkt (0,0) aby funkcja była nieparzysta. W przypadku funkcji nieparzystej zachodzi , zatem w naszym przypadku zachodzi
Mamy:
Teraz musimy złączyć oba te warunki, aby otrzymać wynik. Po złączeniu otrzymujemy:
Co oczywiście jest sprzeczne dlatego: