Matematyka dla liceum/Funkcja liniowa/Równania liniowe

Równanie liniowe z jedną niewiadomą

Przykładem równania liniowego może być:

• 2x + 3 = 5
• -x + 2 = 0
• ${\tfrac {7x+2}{2}}=6$

Rozwiązaniem równania jest liczba x, która spełnia to równanie.

DEFINICJA Równaniem liniowym z jedną niewiadomą nazywamy równanie, które można zapisać w postaci $ax+b=0\,$,  gdzie x jest niewiadomą.

Aby rozwiązać równanie liniowe, czyli aby znaleźć liczbę x, przeważnie trzeba wykonać następujące czynności:

• przenieść niewiadomą na jedną stronę równania, pozostawiając liczby (bądź parametry) po drugiej stronie (przy przenoszeniu zmieniamy znak),
• wymnożyć lub podzielić obustronnie przez wartość tak, aby pozbyć się liczby stojącej przy niewiadomej.

Wyjaśnienie

• Aby rozwiązać równanie  $2x+3=5\,$,  wykonamy kolejne kroki wymienione powyżej.

Po lewej stronie równania zostawimy niewiadomą, przenosząc liczbę 3 na prawą stronę. Wystarczy zapisać ją po drugiej stronie ze zmienionym znakiem.

$2x=5-3\,$  czyli  $2x=2\,$

Aby z wyrażenia 2x uzyskać x, dzielimy przez 2. Zawsze dzielimy obie strony, czyli

$2x=2\quad /:2\,$

$x=1\,$,   tak więc liczba 1 jest rozwiązaniem.

Przy przekształcaniu równania należy pamiętać o tym, że przenosząc pewną liczbę z jednej strony na drugą, należy zmienić znak na przeciwny, na przykład:

• jeśli  $2x+5\;=\;6$,  to  $2x\;=\;6-5$,
• jeśli  $x-4\;=\;2$,   to  $x\;=\;2+4$.

Jeśli chcemy wymnożyć lub podzielić równanie przez pewną liczbę, wówczas zapisujemy to dodając na końcu np. " $/\cdot 4$ " lub np. " $\,/:3$ ".

• ${\frac {x}{2}}=3\ \ \left/{\cdot }\ 2\right.$ - obustronnie mnożymy przez 2
• $3x=6\ \ \left/{:}\ 3\right.$ - obustronnie dzielimy przez 3
• ${\tfrac {3}{4}}x=2\ \ \left/{\cdot }\ {\tfrac {4}{3}}\right.$ - obustronnie mnożymy przez ułamek ${\tfrac {4}{3}}$.

Przykłady

• Równanie $-x+2=0\,$

$-x\,=\,0-2$

$-x=-2\ \;/{\cdot }\ (-1)$

$x\,=\,2$

• Równanie ${\tfrac {7x+2}{2}}=6$

Pozbywamy się ułamka, mnożąc przez wartość mianownika.

${\frac {7x+2}{2}}=6\ \ \left/{\cdot }\ 2\right.$

$7x+2\,=\,12$

$7x=10\ \;/{:}\ 7$

$x={\tfrac {10}{7}}$

Rozwiązania
Jeżeli nie są podane wartości współczynników a i b, wówczas możemy postawić następujące założenia:

• jeśli $a\neq 0$, to istnieje jedno rozwiązanie $x=-{\frac {b}{a}}$,
• jeśli $a=0\;{\mbox{i}}\;b=0\,$, to równanie przyjmie postać $0=0\,$. Jest to równanie tożsamościowe i dla każdego x jest prawdą (czyli rozwiązaniem jest każda liczba),
• jeśli $a=0\;{\mbox{i}}\;b\neq 0$, wówczas równanie może wyglądać np. tak: $0=3$, co oczywiście jest fałszem. Równanie to nazywa się równaniem sprzecznym i nie istnieje liczba, która je spełnia (brak rozwiązań).

Inną nazwą rozwiązania równania jest też miejsce zerowe, jak i pierwiastek.

Nierówność liniowa z jedną niewiadomą

Zacznijmy od kilku przykładów:

• $2x>3\,$
• $5x-2<2\,$
• $-2x+4\geq -3x+5$
• $-{\tfrac {1}{2}}x+3\geq 5$

Zanim je rozwiążemy, spójrzmy na definicję:

DEFINICJA Nierówność liniową z jedną niewiadomą można zapisać w postaci np. $ax+b>0\,$, gdzie niewiadomą jest x. Inne postacie: $ax+b\geq 0,\;ax+b<0\;{\mbox{lub}}\;ax+b\leq 0$.

Ważna uwaga: przy mnożeniu (lub dzieleniu) nierówności przez liczbę ujemną, znak nierówności zmieniamy na przeciwnie skierowany (np. > na <).

Przejdźmy do rzeczy, czyli rozwiążmy przedstawione przykłady.

Zaczniemy od  $2x>3\,$ :

$2x>3\quad /{:}\ 2$

$x>1{\frac {1}{2}}$

Rozwiązaniem tej nierówności nie jest jedna liczba, a cały zbiór liczb większych od jednego i jednej drugiej.

Odp. $x\in \left(1{\frac {1}{2}};+\infty \right)$.

Teraz możemy przejść do kolejnego przykładu  $-2x+4\geq -3x+5\,$ :

$-2x+3x\geq 5-4$

$x\geq 1$

Odp. $x\in \langle 1;+\infty )$.

Rozwiążmy teraz nierówność  $-5x-2<2\,$ :

$-5x<2+2\,$

$-5x<4\quad /{:}(-5)\,$

$x>-{\frac {4}{5}}$ - przy mnożeniu przez liczbę ujemną trzeba zmienić znak nierówności na przeciwny.

Odp. $x\in \left(-{\frac {4}{5}};\infty \right)$.

Dlaczego gdy mnożymy lub dzielimy przez liczbę ujemną, znak nierówności trzeba zmienić? Słuszność tego możemy sprawdzić na przykładzie:

$3<4\quad /\cdot (-2)$

${\color {Red}-6<-8}\,$  - fałsz, brakuje zmienionego znaku

$-6>-8\,$  - prawda, zmieniony znak na '>'.

Równanie z parametrem (R)

Dla jakich wartości parametru $p$ funkcja $y=2px+4-p$ jest malejąca oraz nieparzysta?

Musimy ustalić warunki, które musi spełniać to równanie, aby założenia z zadania były spełnione .

1. $a<0$ aby funkcja była malejąca
2. Wykres funkcji musi przechodzić przez punkt (0,0) aby funkcja była nieparzysta. W przypadku funkcji nieparzystej $f(x)=ax+b$ zachodzi $b=0$, zatem w naszym przypadku zachodzi $4-p=0$

$\left\{{\begin{matrix}2p<0\\4-p=0\end{matrix}}\right.$

Mamy:

$\left\{{\begin{matrix}p<0\\p=4\end{matrix}}\right.$

Teraz musimy złączyć oba te warunki, aby otrzymać wynik. Po złączeniu otrzymujemy:

$4<0$

Co oczywiście jest sprzeczne dlatego:

$Z_{x}\in \varnothing$