Układ równań z dwiema niewiadomymi[edytuj]
Układ równań z dwiema niewiadomymi, jak sama nazwa wskazuje, jest to układ dwóch lub więcej równań, w których mamy dwie niewiadome, np. x i y.
Spójrzmy na kilka przykładowych układów równań:


Poznamy trzy możliwości rozwiązywania takich układów.
Metoda podstawiania[edytuj]
Metoda podstawiania polega na wyznaczeniu pewnej zmiennej z jednego równania i wstawieniu do drugiego. Rozwiążmy w ten sposób pierwszy układ:

Najpierw wyznaczymy sobie którąś niewiadomą - w tym układzie najlepiej y x (1.2), czyli:

i w takiej wersji możemy podstawić do (1.1):


i otrzymujemy:

Mamy już x. Teraz wystarczy do (1.2) podstawić znaleziony x, więc:
.
Odp.
i
Drugim wariantem tej metody jest początkowe wyznaczenie x z (1.1), czyli:


(1.2')
i możemy podstawić do (1.2). Otrzymujemy:




.
Mamy już y. Teraz wystarczy do (1.2') podstawić znaleziony y, więc:
.
Odp.
i
.
Drugi układ






Jak widać, wybór niewiadomej, którą chcemy wyznaczyć na początku, nie wpływa na wynik. Jednak dobrze wybrana, może czasami znacznie ułatwić zadanie.
Metoda przeciwnych współczynników[edytuj]
Metoda przeciwnych współczynników polega na przekształceniu jednego lub obu równań w taki sposób, aby współczynniki przy jednej zmiennej w obu równaniach miały przeciwne wartości. Rozwiążmy w ten sposób ponownie pierwszy układ:

Współczynnik przy zmiennej x w równaniu (1.2) powinien mieć wartość -2, czyli:

.
Teraz należy wstawić to do układu:

i dodać stronami:


Mamy już y. Teraz wystarczy do (1.1') lub (1.2') podstawić znaleziony y, więc:


Odp.
i
.
Drugi przykład:

Przenosimy zmienną y na lewą stronę, a po prawej piszemy 0.
Teraz mnożymy obustronnie, aby przy y była taka sama cyfra i przeciwny znak.
Teraz rozwiązujemy.
Po rozwiązaniu zostaje nam takie równanie:
Przenosimy na drugą stronę, aby podzielić obustronnie.
Ostatecznie x wynosi:
Podstawiamy x i wyliczamy.
Gdy sprowadziliśmy do wspólnego mianownika wyszedł nam y.
Odpowiedź
i
Metoda graficzna[edytuj]
Metoda graficzna polega na przekształceniu równania do postaci kierunkowej, następnie narysowaniu prostych na układzie współrzędnych i na końcu odczytania współrzędnych punktu przecięcia prostych.
Zróbmy taki przykład
Przekształcamy układ to postaci kierunkowej
Następnie rysujemy proste w układzie współrzędnych i odczytujemy punkty przecięcia prostych. W tym przypadku są to punkty:
Metoda wyznacznikowa[edytuj]

Jeśli
, to układ równań ma jedno rozwiązanie
i
.
Jeśli
i
i
to układ równań jest nieoznaczony (nieskończenie wiele rozwiązań).
Jeśli
i
to układ równań jest sprzeczny.
Przykład



|
W przygotowaniu:
- napisać, co to jest układ zależny, niezależny i sprzeczny
- parametr
|