Układ równań z dwiema niewiadomymi
[edytuj]
Układ równań z dwiema niewiadomymi, jak sama nazwa wskazuje, jest to układ dwóch lub więcej równań, w których mamy dwie niewiadome, np. x i y.
Spójrzmy na kilka przykładowych układów równań:
![{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}2x+1=3y\\x-5=y\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94ae158069ba5dffb516806014b0b6eaf2a911c4)
![{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}-3x-6y+4=0\\5x-5=y\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cbf3a1930197803a8415ba927e684cdae17bba)
Poznamy trzy możliwości rozwiązywania takich układów.
Metoda podstawiania polega na wyznaczeniu pewnej zmiennej z jednego równania i wstawieniu do drugiego. Rozwiążmy w ten sposób pierwszy układ:
![{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}2x+1=3y&(1.1)\\x-5=y&(1.2)\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a6129f73d29f76e8cc02d52430fdda0f1590549)
Najpierw wyznaczymy sobie którąś niewiadomą - w tym układzie najlepiej y x (1.2), czyli:
![{\displaystyle y=x-5\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39f0ac3f144454b01b2e9beb1f20d42cd0b70174)
i w takiej wersji możemy podstawić do (1.1):
![{\displaystyle 2x+1=3\cdot \left(x-5\right)\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8eee59e6eb0a73cc387d6be20b488bbf8f78b251)
![{\displaystyle 2x+1=3x-15\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d51e57305bdbaf84cdd632c9a9477916881df13a)
i otrzymujemy:
![{\displaystyle x=16\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cc2448684ff13b9299099bacd096e95312b7579)
Mamy już x. Teraz wystarczy do (1.2) podstawić znaleziony x, więc:
.
Odp.
i
Drugim wariantem tej metody jest początkowe wyznaczenie x z (1.1), czyli:
![{\displaystyle 2x+1=3y\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04a24b0274f6976ba511244bc29cf780c43001fb)
![{\displaystyle 2x=3y-1\ \ /{:}2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fe4914ee4231a9ee876527e4f4c5382fb84d22a)
(1.2')
i możemy podstawić do (1.2). Otrzymujemy:
![{\displaystyle {\frac {3}{2}}y-{\frac {1}{2}}-5=y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3af8309022f4b1f546506146496e966905b6fe1)
![{\displaystyle {\frac {3}{2}}y-5{\frac {1}{2}}=y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccd2acda2cd30556a8d35da7f2e7756a4d0c47dc)
![{\displaystyle {\frac {3}{2}}y-y=5{\frac {1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2903696b5fc52fca9ae29b0426db819e3e7cbcbf)
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}y=5{\frac {1}{2}}\quad \ /{\cdot }2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47fd1fed94d3a1e8337fd996699f05a48b4f0611)
.
Mamy już y. Teraz wystarczy do (1.2') podstawić znaleziony y, więc:
.
Odp.
i
.
Drugi układ
![{\displaystyle -33x=-34\quad /:(-33)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5484319aee7f0ffb30a2b37fff6958eedaab4d29)
![{\displaystyle x={\frac {34}{33}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ae3417d8b249d1dcf47d16e6f01cdf54d6083e8)
![{\displaystyle y=5\cdot {\frac {34}{33}}-5\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf930f1cf5964392791f2d767f31e8fa7663cc5c)
![{\displaystyle y={\frac {170}{33}}-5\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71d5f7f119023aafd6a6db36a4415cc4438918fe)
![{\displaystyle y={\frac {5}{33}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1df2ddc9ac15f42bc1f44bc7fd8118c4aaff71ad)
![{\displaystyle x={\frac {34}{33}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ae3417d8b249d1dcf47d16e6f01cdf54d6083e8)
Jak widać, wybór niewiadomej, którą chcemy wyznaczyć na początku, nie wpływa na wynik. Jednak dobrze wybrana, może czasami znacznie ułatwić zadanie.
Metoda przeciwnych współczynników
[edytuj]
Metoda przeciwnych współczynników polega na przekształceniu jednego lub obu równań w taki sposób, aby współczynniki przy jednej zmiennej w obu równaniach miały przeciwne wartości. Rozwiążmy w ten sposób ponownie pierwszy układ:
![{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}2x+1=3y&(1.1)\\x-5=y&(1.2)\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a6129f73d29f76e8cc02d52430fdda0f1590549)
Współczynnik przy zmiennej x w równaniu (1.2) powinien mieć wartość -2, czyli:
![{\displaystyle x-5=y\quad /{\cdot }(-2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47d75124dcb88d92848911f9a86652b3e7064225)
.
Teraz należy wstawić to do układu:
![{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}2x+1=3y&(1.1)\\-2x+10=-2y&(1.2)\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bc270765aef3c7a7b7b973a188829de1bd4bd94)
i dodać stronami:
![{\displaystyle 2x+(-2x)+11=3y+(-2y)\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd8ddc1dac8653c9581af05c3f3904581d7e8540)
![{\displaystyle 11=y\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c287e01ac3b5f7f9858eafb6e0af76a435747ca0)
Mamy już y. Teraz wystarczy do (1.1') lub (1.2') podstawić znaleziony y, więc:
![{\displaystyle x-5=11\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/655b198c65901b7a78f8fd0b359a4724549ee5ce)
![{\displaystyle x=16\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8867fd7dfe784613c27cd936989dbd728263fb4)
Odp.
i
.
Drugi przykład:
![{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}-3x-6y+4=0\\5x-5=y\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cbf3a1930197803a8415ba927e684cdae17bba)
Przenosimy zmienną y na lewą stronę, a po prawej piszemy 0.
Teraz mnożymy obustronnie, aby przy y była taka sama cyfra i przeciwny znak.
Teraz rozwiązujemy.
Po rozwiązaniu zostaje nam takie równanie:
Przenosimy na drugą stronę, aby podzielić obustronnie.
Ostatecznie x wynosi:
Podstawiamy x i wyliczamy.
Gdy sprowadziliśmy do wspólnego mianownika wyszedł nam y.
Odpowiedź
i
Metoda graficzna polega na przekształceniu równania do postaci kierunkowej, następnie narysowaniu prostych na układzie współrzędnych i na końcu odczytania współrzędnych punktu przecięcia prostych.
Zróbmy taki przykład
Przekształcamy układ to postaci kierunkowej
Następnie rysujemy proste w układzie współrzędnych i odczytujemy punkty przecięcia prostych. W tym przypadku są to punkty:
![{\displaystyle W_{y}={\begin{bmatrix}a_{1}&c_{1}\\a_{2}&c_{2}\end{bmatrix}}=a_{1}c_{2}-a_{2}c_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbd72717e1c4a0f18d15d78863bfbdf7c5516f2d)
Jeśli
, to układ równań ma jedno rozwiązanie
i
.
Jeśli
i
i
to układ równań jest nieoznaczony (nieskończenie wiele rozwiązań).
Jeśli
i
to układ równań jest sprzeczny.
Przykład
![{\displaystyle W_{x}={\begin{bmatrix}16&5\\17&1\end{bmatrix}}=16\cdot 1-17\cdot 5=16-85=-69}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b631124521ecc8ee4341953e9704d78d0d1bc375)
![{\displaystyle W_{y}={\begin{bmatrix}2&16\\5&17\end{bmatrix}}=2\cdot 17-5\cdot 16=34-80=-46}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b01a76446f809b6434997c9f02e65041a4144002)
![{\displaystyle x={\frac {W_{x}}{W}}={\frac {-69}{-23}}=3\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bcf7fe9d7173804d7cdbb90fa3a82a68af8d171)
|
W przygotowaniu:
- napisać, co to jest układ zależny, niezależny i sprzeczny
- parametr
|