Matematyka dla liceum/Funkcja liniowa/Układy równań

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Skocz do: nawigacja, szukaj

Układ równań z dwiema niewiadomymi[edytuj]

Układ równań z dwiema niewiadomymi, jak sama nazwa wskazuje, jest to układ dwóch lub więcej równań, w których mamy dwie niewiadome, np. x i y.

Spójrzmy na kilka przykładowych układów równań:

Poznamy trzy możliwości rozwiązywania takich układów.

Metoda podstawiania[edytuj]

Metoda podstawiania polega na wyznaczeniu pewnej zmiennej z jednego równania i wstawieniu do drugiego. Rozwiążmy w ten sposób pierwszy układ:

Najpierw wyznaczymy sobie którąś niewiadomą - w tym układzie najlepiej y x (1.2), czyli:

i w takiej wersji możemy podstawić do (1.1):

i otrzymujemy:

Mamy już x. Teraz wystarczy do (1.2) podstawić znaleziony x, więc:

.

Odp. i

Drugim wariantem tej metody jest początkowe wyznaczenie x z (1.1), czyli:

(1.2')

i możemy podstawić do (1.2). Otrzymujemy:

.

Mamy już y. Teraz wystarczy do (1.2') podstawić znaleziony y, więc:

.

Odp. i .

Drugi układ











Jak widać, wybór niewiadomej, którą chcemy wyznaczyć na początku, nie wpływa na wynik. Jednak dobrze wybrana, może czasami znacznie ułatwić zadanie.

Metoda przeciwnych współczynników[edytuj]

Metoda przeciwnych współczynników polega na przekształceniu jednego lub obu równań w taki sposób, aby współczynniki przy jednej zmiennej w obu równaniach miały przeciwne wartości. Rozwiążmy w ten sposób ponownie pierwszy układ:

Współczynnik przy zmiennej x w równaniu (1.2) powinien mieć wartość -2, czyli:

.

Teraz należy wstawić to do układu:

i dodać stronami:

Mamy już y. Teraz wystarczy do (1.1') lub (1.2') podstawić znaleziony y, więc:

Odp. i .

Drugi przykład:

Przenosimy zmienną y na lewą stronę, a po prawej piszemy 0.


Teraz mnożymy obustronnie, aby przy y była taka sama cyfra i przeciwny znak.


Teraz rozwiązujemy.



Po rozwiązaniu zostaje nam takie równanie:



Przenosimy na drugą stronę, aby podzielić obustronnie.



Ostatecznie x wynosi:


Podstawiamy x i wyliczamy.



Gdy sprowadziliśmy do wspólnego mianownika wyszedł nam y.


Odpowiedź i

Metoda graficzna[edytuj]

Metoda graficzna polega na przekształceniu równania do postaci kierunkowej, następnie narysowaniu prostych na układzie współrzędnych i na końcu odczytania współrzędnych punktu przecięcia prostych.

Zróbmy taki przykład

Przekształcamy układ to postaci kierunkowej

Następnie rysujemy proste w układzie współrzędnych i odczytujemy punkty przecięcia prostych. W tym przypadku są to punkty:

Metoda wyznacznikowa[edytuj]




Jeśli , to układ równań ma jedno rozwiązanie i .

Jeśli i i to układ równań jest nieoznaczony (nieskończenie wiele rozwiązań).

Jeśli i to układ równań jest sprzeczny.

Przykład