Matematyka dla liceum/Funkcja wykładnicza i logarytmiczna/Rozwiązywanie nierówności logarytmicznych

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Rozwiązywanie nierówności logarytmicznych[edytuj]

nierówności logarytmiczne, rozwiązywanie nierówności logarytmicznych
Definicja
DEFINICJA

Nierównością logarytmiczną nazywamy nierówność, w której niewiadoma występuje jedynie w wyrażeniu logarytmowanym lub w podstawie logarytmu. Przykładami nierówności logarytmicznych są:

Ze względu na to, że funkcja logarytmiczna jest malejąca dla podstawy należącej do przedziału , dlatego przy pozbywaniu się logarytmu z nierówności należy zmienić znak na przeciwny. Natomiast dla podstawy zawierającej się w zostawiamy znak taki, jaki był. Zresztą zaraz zobaczymy to na przykładach.

Przykład 1

Rozwiążmy nierówność .

  1. Ustalamy dziedzinę:
  2. Ponieważ podstawa logarytmu jest większa od 1, więc nie zmieniamy znaku na przeciwny, zatem:
  3. Znajdujemy cześć wspólną rozwiązania z dziedziną, czyli:
  4. Odp.

Przykład 2

Rozwiążmy nierówność

  1. Ustalamy dziedzinę:
    , czyli:
  2. Podstawa logarytmu (czyli )zawiera się w przedziale , więc musimy zmienić znak nierówności na przeciwny:
    i otrzymujemy, że:
    czyli
  3. Teraz znajdujemy część wspólną tego rozwiązania z dziedziną, czyli:
    Odp.

Przykład 3

Zajmijmy się teraz taką nierównością :

  1. , ponieważ podstawa jest mniejsza od 1
  2. Czyli
  3. Biorąc część wspólną z dziedziną otrzymujemy, że
  4. Odp.

Przykład 4

Rozwiążmy nierówność :

  1. Ustalamy dziedzinę:
    Ponieważ podstawa logarytmu musi należeć do zbioru , więc będzie także w tym przypadku. Mamy:
    czyli
  2. Teraz musimy rozważyć dwa przypadki, co będzie, gdy i gdy , ponieważ w pierwszym przypadku będziemy musimy zmienić znak nierówności na przeciwny, a w drugim nie.
    • dla
      , tu możemy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia:
      czyli , a także (z założenia)
      czyli
    • dla
      czyli i
      czyli
  3. Ostatecznie podsumowując te dwa przypadki otrzymujemy, że
  4. Odp.