Matematyka dla liceum/Funkcja wykładnicza i logarytmiczna/Rozwiązywanie nierówności logarytmicznych
Przejdź do nawigacji
Przejdź do wyszukiwania
Rozwiązywanie nierówności logarytmicznych[edytuj]
nierówności logarytmiczne, rozwiązywanie nierówności logarytmicznych
![]() |
DEFINICJA Nierównością logarytmiczną nazywamy nierówność, w której niewiadoma występuje jedynie w wyrażeniu logarytmowanym lub w podstawie logarytmu. Przykładami nierówności logarytmicznych są: |
Ze względu na to, że funkcja logarytmiczna jest malejąca dla podstawy należącej do przedziału , dlatego przy pozbywaniu się logarytmu z nierówności należy zmienić znak na przeciwny. Natomiast dla podstawy zawierającej się w zostawiamy znak taki, jaki był. Zresztą zaraz zobaczymy to na przykładach.
Przykład 1
Rozwiążmy nierówność .
- Ustalamy dziedzinę:
- Ponieważ podstawa logarytmu jest większa od 1, więc nie zmieniamy znaku na przeciwny, zatem:
- Znajdujemy cześć wspólną rozwiązania z dziedziną, czyli:
- Odp.
Przykład 2
Rozwiążmy nierówność
- Ustalamy dziedzinę:
- , czyli:
- Podstawa logarytmu (czyli )zawiera się w przedziale , więc musimy zmienić znak nierówności na przeciwny:
- i otrzymujemy, że:
- czyli
- Teraz znajdujemy część wspólną tego rozwiązania z dziedziną, czyli:
- Odp.
Przykład 3
Zajmijmy się teraz taką nierównością :
- , ponieważ podstawa jest mniejsza od 1
- Czyli
- Biorąc część wspólną z dziedziną otrzymujemy, że
- Odp.
Przykład 4
Rozwiążmy nierówność :
- Ustalamy dziedzinę:
- Ponieważ podstawa logarytmu musi należeć do zbioru , więc będzie także w tym przypadku. Mamy:
- czyli
- Teraz musimy rozważyć dwa przypadki, co będzie, gdy i gdy , ponieważ w pierwszym przypadku będziemy musimy zmienić znak nierówności na przeciwny, a w drugim nie.
- dla
- , tu możemy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia:
- czyli , a także (z założenia)
- czyli
- dla
- czyli i
- czyli
- dla
- Ostatecznie podsumowując te dwa przypadki otrzymujemy, że
- Odp.