Matematyka dla liceum/Funkcja wykładnicza i logarytmiczna/Rozwiązywanie równań logarytmicznych

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Skocz do: nawigacja, szukaj

Rozwiązywanie równań logarytmicznych[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Równaniem logarytmicznym nazywamy równanie, w którym niewiadoma występuje jedynie w wyrażeniu logarytmowanym lub w podstawie logarytmu. Przykładami równań logarytmicznych są:

Wyznaczając rozwiązania równania logarytmicznego powinno się:

  1. Ustalić dziedzinę
  2. Rozwiązać równanie. Mogą się okazać przydatne poniższe własności logarytmów:
    • np.
    • Z równości logarytmów o tych samych podstawach wynika równość liczb logarytmowanych np. , ze względu na to, że funkcja logarytmiczna jest różnowartościowa.
  3. Podać odpowiedź.

Przykład 1

Rozwiążmy równanie .

  1. Ustalamy dziedzinę:
  2. Własność sprawdzi się w tym przypadku. Otrzymamy
  3. Odp.


Przykład 2

Chcemy rozwiązać równanie . Możemy to zrobić w ten sposób:

  1. Ustalamy dziedzinę:
    Zatem mamy równanie
  2. Z własności i przekształcając odrobinę to równanie otrzymujemy:
  3. Czyli rozwiązaniem tego równania jest -25.

Przykład 3

Rozwiążemy równanie .

  1. Ustalamy dziedzinę:
    Liczba logarytmowana musi być większa od 0, dlatego zakładamy, że . Zatem .
  2. I znajdujemy pierwiastki równania:
    czyli i
  3. Odp.

Przykład 4

Rozwiążmy równanie . (Pamiętamy, że , a nie .)

  1. Ustalamy dziedzinę:
  2. Podstawiamy zmienną pomocniczą do równania i otrzymujemy:
  3. , .
  4. ,
  5. Ponieważ , więc:
    lub
  6. Odp.

Przykład 5

Spróbujmy rozwiązać równanie .

  1. Ustalamy dziedzinę:
  2. Obydwa logarytmy musimy sprowadzić do wspólnej podstawy. W tym celu wykorzystujemy wzór . możemy zapisać jako . Zatem nasze równanie przybierze postać:
    Obustronnie mnożymy przez 2:
  3. Odp.

Przykład 6

Rozwiążmy równanie

  1. Ustalamy dziedzinę:
  2. Obydwa logarytmy podobnie jak w poprzednim przykładzie sprowadzamy do wspólnej podstawy otrzymując:
  3. Teraz obustronnie dzielimy przez i mamy:
  4. Odp.

Przykład 7

Rozwiążmy równanie .

  1. Ustalamy dziedzinę pamiętając, że podstawa logarytmu musi należeć do sumy przedziałów :
    czyli
  2. Skorzystamy z własności :
    zatem
  3. Ostatecznie otrzymujemy równanie kwadratowe:
    Otrzymujemy: i
  4. Odp.