Matematyka dla liceum/Funkcja wykładnicza i logarytmiczna/Rozwiązywanie równań logarytmicznych
Przejdź do nawigacji
Przejdź do wyszukiwania
Rozwiązywanie równań logarytmicznych[edytuj]
równania logarytmiczne, rozwiązywanie równań logarytmicznych
![]() |
DEFINICJA Równaniem logarytmicznym nazywamy równanie, w którym niewiadoma występuje jedynie w wyrażeniu logarytmowanym lub w podstawie logarytmu. Przykładami równań logarytmicznych są: |
Wyznaczając rozwiązania równania logarytmicznego powinno się:
- Ustalić dziedzinę
- Rozwiązać równanie. Mogą się okazać przydatne poniższe własności logarytmów:
- np.
- Z równości logarytmów o tych samych podstawach wynika równość liczb logarytmowanych np. , ze względu na to, że funkcja logarytmiczna jest różnowartościowa.
- Podać odpowiedź.
Przykład 1
Rozwiążmy równanie .
- Ustalamy dziedzinę:
- Własność sprawdzi się w tym przypadku. Otrzymamy
- Odp.
Przykład 2
Chcemy rozwiązać równanie . Możemy to zrobić w ten sposób:
- Ustalamy dziedzinę:
- Zatem mamy równanie
- Z własności i przekształcając odrobinę to równanie otrzymujemy:
- Czyli rozwiązaniem tego równania jest -25.
Przykład 3
Rozwiążemy równanie .
- Ustalamy dziedzinę:
- Liczba logarytmowana musi być większa od 0, dlatego zakładamy, że . Zatem .
- I znajdujemy pierwiastki równania:
- czyli i
- Odp.
Przykład 4
Rozwiążmy równanie . (Pamiętamy, że , a nie .)
- Ustalamy dziedzinę:
- Podstawiamy zmienną pomocniczą do równania i otrzymujemy:
- , .
- ,
- Ponieważ , więc:
- lub
- Odp.
Przykład 5
Spróbujmy rozwiązać równanie .
- Ustalamy dziedzinę:
- Obydwa logarytmy musimy sprowadzić do wspólnej podstawy. W tym celu wykorzystujemy wzór . możemy zapisać jako . Zatem nasze równanie przybierze postać:
- Obustronnie mnożymy przez 2:
- Odp.
Przykład 6
Rozwiążmy równanie
- Ustalamy dziedzinę:
- Obydwa logarytmy podobnie jak w poprzednim przykładzie sprowadzamy do wspólnej podstawy otrzymując:
- Teraz obustronnie dzielimy przez i mamy:
- Odp.
Przykład 7
Rozwiążmy równanie .
- Ustalamy dziedzinę pamiętając, że podstawa logarytmu musi należeć do sumy przedziałów :
- czyli
- Skorzystamy z własności :
- zatem
- Ostatecznie otrzymujemy równanie kwadratowe:
- Otrzymujemy: i
- Odp.