Matematyka dla liceum/Funkcje i ich własności/Pojęcie funkcji

Funkcje i ich własności

Pojęcie funkcji

pojęcie funkcji

Zanim zaznajomimy się z formalną definicją funkcji, poznajmy kilka przykładów funkcji:

• Przykład 1

  Ucząc się słów z języka angielskiego i ich polskich odpowiedników mamy do czynienia ze swoistą funkcją. Na przykład słysząc dog myślimy pies, słysząc cow - krowa, a horse - koń. Podobne „zjawisko” występuje w matematyce. Moglibyśmy zapisać f(dog)=pies, f(cow)=krowa, f(horse)=koń (choć być może taki zapis niektórym nie przypadłby do gustu). Wówczas funkcja f byłaby odwzorowaniem, która pewnemu wyrazowi angielskiemu przyporządkowuje wyraz z języka polskiego. Matematycznie moglibyśmy zapisać tak $f\colon S_{angielski}\to S_{polski}$, gdzie $S_{angielski}$ to zbiór angielskich słówek i analogicznie $S_{polski}$ - zbiór polskich słówek.

• Przykład 2

  Każdej osobie w pewnej klasie jest przyporządkowany pewien numer z dziennika.

• Przykład 3

  Każdej liczbie możemy przyporządkować jej trzykrotność.

Podając te przykłady pominęliśmy jeden ważny warunek, aby pewne przyporządkowanie było funkcją. Otóż każdemu elementowi z jednego zbioru przyporządkowujemy dokładnie jeden element z drugiego. Co to oznacza? Odwołując się do naszego pierwszego przykładu, dla pewnego słówka (elementu) ze zbioru $S_{angielski}$(zbiór angielskich słówek) musimy wybrać dokładnie jedno słówko z $S_{polski}$(zbiór polskich słówek), czyli musielibyśmy założyć, że istnieje dokładnie jedno tłumaczenie pewnego słówka z języka angielskiego na język polski. Spójrzmy teraz na definicję funkcji:

definicja funkcji, dziedzina funkcji, zbiór wartości funkcji

DEFINICJA Funkcją f ze zbioru X w zbiór Y nazywamy takie odwzorowanie, w którym każdemu elementowi ze zbioru X został przyporządkowany dokładnie jeden element ze zbioru Y. Taką funkcję oznaczamy przez $f\colon X\to Y$. Zbiór X jest nazywany dziedziną funkcji, a zbiór Y przeciwdziedziną .

W przykładzie pierwszym dziedziną funkcji jest $S_{angielski}$, a przeciwdziedziną $S_{polski}$.

DEFINICJA Zbiór wartości funkcji jest to zbiór tych wszystkich y, które funkcja przyjmuje jako swoje wartości.

Przykład 4.

Każdej liczbie całkowitej możemy przyporządkować liczbę przeciwną do niej. W tym przypadku dziedziną jest zbiór liczb całkowitych – $X=\mathbb {Z}$, a przeciwdziedziną także zbiór liczb całkowitych – $Y=\mathbb {Z}$.

$f\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {Z}$

Przykład 5.

graf

Zobaczmy na poniższy graf przedstawiający pewną funkcję.

Łatwo zauważyć, że dziedziną jest $X=\{-1,0,1,2,3\}$ a przeciwdziedziną jest zbiór $Y=\{0,1,3,4,5,6,9\}$. Zbiorem wartości tej funkcji jest $ZW_{f}=\{0,1,4,9\}$, są to te elementy ze zbioru Y, które zostały połączone strzałką. Każdemu elementowi ze zbioru X musi zostać przyporządkowany dokładnie jeden element, dlatego wszystkie elementy ze zbioru X muszą być początkiem dokładnie jednej strzałki, ale nie na wszystkie elementy ze zbioru Y muszą być połączone z grotem pewnej strzały np. w tym przykładzie 5,6 i 3. Z grafu widzimy, że: $f(-1)=1$, $f(0)=0$, $f(1)=1$, $f(2)=4$ i $f(3)=9$. Nie możemy nic powiedzieć o wartości funkcji f(6) czy też f(-2), ponieważ liczba 6 ani -2 nie należy do dziedziny funkcji, dlatego też dla tych wartości funkcja nie jest zdefiniowana.

Przykład 6.

Dziedziną funkcji jest zbiór $X=\{1,2,3,4,5\}$, a przeciwdziedziną jest zbiór różnych kolorowych figur. Zbiorem wartości $ZW$ tej funkcji jest zbiór zawierający niebieską i pomarańczową gwiazdę, trójkąt, a także prostokąt.

Przykład 7.

Nie każde odwzorowanie jest funkcją:

Graf ten nie przedstawia funkcji, ponieważ element d ze zbioru X jest połączony nie z jednym, tylko z dwoma elementami ze zbioru Y – z elementem g i h.