Matematyka dla liceum/Liczby i ich zbiory/Przedziały liczbowe

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Spójrzmy na kilka przykładów, które za chwile omówimy:

  • Przykład 1. - przedział domknięty
  • Przykład 2. - przedział otwarty
  • Przykład 3. - przedział lewostronnie otwarty
  • Przykład 4. - przedział nieograniczony
  • Przykład 5.

Przedział domknięty[edytuj]

W podręczniku używany jest zapis oznaczający przedział domknięty, jednak może on być znany czytelnikowi również pod postacią: . Będziemy jednak używać pierwszego sposobu, gdyż drugi jest często używany do oznaczania pary liczb.

  • Przykład 1. Pisząc mamy na myśli wszystkie liczby rzeczywiste od -4 do 7, razem z -4 i 7. Jeśli napiszemy , będziemy mówić o zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych od -50 do -20, łącznie z -50 i -20. Podobnie pisząc mamy na myśli wszystkie liczby rzeczywiste od a do b, łącznie z a i b (oczywiście a i b są liczbami rzeczywistymi). Definicja będzie wyglądała tak:
Definicja
DEFINICJA

Przedziałem domkniętym o końcach a i b (dla a<b) nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x spełniających warunek .

Przedział liczbowy zaznaczymy na osi liczbowej w ten sposób:

Przedział ((-4;7)).png

Zwróćmy uwagę, że krańce przedziałów oznaczyliśmy kółkami zamalowanymi, ponieważ zarówno liczba -4 jak i 7 należą do tego przedziału.

Przedział otwarty[edytuj]

  • Przykład 2. Za pomocą oznaczamy wszystkie liczby rzeczywiste większe od -4 i mniejsze od 7, podobnie w przedziale znajdują się wszystkie liczby, które są większe od a i mniejsze od b. Przedział otwarty różni się od przedziału domkniętego tym, że nie zawiera on liczb a i b.
Definicja
DEFINICJA

Przedziałem otwartym o końcach a i b (dla a<b) nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x spełniających warunek .

Przedział otwarty na osi zaznaczymy w ten sposób:

Przedział (-4;7).png

Krańce przedziałów oznaczone zostały kółkami niezamalowanymi, ponieważ zarówno liczba -4 jak i liczba 7 nie należy do tego przedziału. Dodatkowo można narysować linie pod pewnym kątem, podobnie jak to zrobiliśmy na rysunku.

Przedział lewostronnie otwarty[edytuj]

  • Przykład 3. oznacza zbiór wszystkich liczb rzeczywistych większych od -4, ale mniejszych bądź równych 7. Możemy zdefiniować przedział lewostronnie otwarty dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b dla a<b w ten sposób:
Definicja
DEFINICJA

Przedziałem lewostronnie otwartym (prawostronnie domkniętym) o końcach a i b (dla a<b) nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x spełniających warunek .


Przedział na osi liczbowej zaznaczymy tak:

Przedział (-4;7)).png

Analogicznie możemy zdefiniować przedział prawostronnie otwarty:

Definicja
DEFINICJA

Przedziałem prawostronnie otwartym (lewostronnie domkniętym) o końcach a i b (dla a<b) nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x spełniających warunek .

Przedziały nieograniczone[edytuj]

Do oznaczania przedziałów nieograniczonych wykorzystujemy symbol nieskończoności -- .

  • Przykład 4. Przez oznaczamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych większych od -4 (łatwo zauważyć, że wszystkie liczby są mniejsze od . Podobnie wszystkie liczby rzeczywiste większe bądź równe -4 będziemy oznaczać przez .
Definicja
DEFINICJA

Przedziałem lewostronnie otwartym nieograniczonym nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x większych od a. Podobnie przedziałem lewostronnie domkniętym nieograniczonym nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x większych bądź równych a.

Przedział możemy zaznaczyć na osi liczbowej w ten sposób:

Przedział ((-4;+oo).png

  • Przykład 5. oznacza przedział wszystkich liczb rzeczywistych mniejszych bądź równych 5. Analogicznie przez będziemy oznaczamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych mniejszych od 5.
Definicja
DEFINICJA

Przedziałem prawostronnie otwartym nieograniczonym nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x mniejszych od a. Podobnie przedziałem prawostronnie domkniętym nieograniczonym nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x mniejszych bądź równych a.

Przedział analogicznie, jak to robiliśmy w poprzednich przykładach, zaznaczymy na osi liczbowej tak:

Przedział (-oo;5).png

Działania na przedziałach[edytuj]

Ponieważ przedział jest zbiorem, więc możemy wyznaczać między innymi sumę, iloczyn czy też różnicę przedziałów.


  • Przykład 6

Wyznaczmy , , , , i , gdzie , a

Zaznaczmy najpierw oba przedziały na osi liczbowej:

Przedział A=((-2;3) i B=(1;4).png

Z rysunku widzimy, że: